Diferențierea funcțiilor trigonometrice este derivata funcțiilor trigonometrice precum sin, cos, tan, cot, sec și cosec. Diferențierea este o parte importantă a calculului. Este definită ca rata de modificare a unei mărimi în raport cu o altă cantitate. Diferențierea funcțiilor trigonometrice este utilizată în viața reală în diverse domenii precum computere, electronică și matematică.

În acest articol, vom afla despre diferențierea funcțiilor trigonometrice împreună cu formulele, demonstrațiile aferente și aplicațiile lor. De asemenea, vom rezolva câteva exemple și vom obține răspunsuri la câteva întrebări frecvente despre diferențierea funcțiilor trigonometrice. Să începem învățarea pe tema diferențierii funcțiilor trigonometrice.

Ce este diferențierea?

Diferențierea unei funcții este rata de schimbare a unei funcții față de orice variabilă. The derivat din f(x) se notează ca f'(x) sau (d /dx)[f(x)].

Procedura de diferențiere a funcții trigonometrice se numește diferențierea funcțiilor trigonometrice. Cu alte cuvinte, găsirea ratei de schimbare a funcțiilor trigonometrice în raport cu unghiurile se numește diferențiere a funcției trigonometrice.

Cele șase funcții trigonometrice de bază sunt sin, cos, tan, cosec, sec și cot. Vom găsi derivatele tuturor funcțiilor trigonometrice cu formulele și demonstrația lor.

Regula de diferențiere pentru funcții trigonometrice

Diferențierea a șase funcții trigonometrice de bază este după cum urmează:

Puteți verifica demonstrația derivatei acestor șase funcții trigonometrice în linkurile de mai jos:

Dovada diferențierii funcțiilor trigonometrice Formula

După cum sa discutat mai sus formulele pentru toate funcțiile trigonometrice, acum vom demonstra formulele de mai sus de diferențiere a funcțiilor trigonometrice folosind primul principiu al derivatei, regula coeficientului și regula lanțului cu ajutorul limitelor.

Diferențierea sin(x)

Pentru a demonstra derivata lui sin x vom folosi primul principiu al diferențierii și câteva identități trigonometrice de bază și formule de limite. Identitățile trigonometrice și formula limitelor care sunt utilizate în demonstrație sunt prezentate mai jos:

1. sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Să începem demonstrația pentru diferențierea funcției trigonometrice sin x

După primul principiu al diferenţierii

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sin h / h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Folosind 2 și 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Prin urmare, diferențierea sin x este cos x.

Diferențierea cos(x)

Pentru a demonstra derivata lui cos x vom folosi primul principiu al diferențierii și câteva identități trigonometrice de bază și formule de limite. Identitățile trigonometrice și formula limitelor care sunt utilizate în demonstrație sunt prezentate mai jos:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Să începem demonstrația pentru diferențierea funcției trigonometrice cos x

După primul principiu al diferenţierii

(d/dx) cos x = lim_h→0[{cos (x + h) – cos x} / {(x + h) – x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_h→0[(fără h/h) fără x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Folosind 2 și 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Prin urmare, diferențierea cos x este -sin x.

Diferențierea tan(x)

Pentru a demonstra derivata lui tan x vom folosi regula coeficientului și câteva identități trigonometrice de bază și formule de limite. Identitățile trigonometrice și formula limitelor care sunt utilizate în demonstrație sunt prezentate mai jos:

1. tan x = sin x / cos x
2. sec x = 1 / cos x
3. cos²x + sin²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Să începem demonstrația pentru diferențierea funcției trigonometrice tan x

Deoarece, prin (1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Prin utilizarea regulii coeficientului

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [Până la 4 și 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + sin²x] / cos²X

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [Până la 3]

⇒ (d/dx) tan x = sec ² X [Până la 2]

Prin urmare, diferențierea lui tan x este sec ² X.

Diferențierea cosec(x)

Pentru a demonstra derivata lui cosec x vom folosi regula lanțului și câteva identități trigonometrice de bază și formule de limite. Identitățile trigonometrice și formula limitelor care sunt utilizate în demonstrație sunt prezentate mai jos:

1. cot x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. (d/dx) sin x = cos x

Să începem demonstrația pentru diferențierea funcției trigonometrice cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [Prin 2]

Folosind regula lanțului

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [Prin 1 și 2]

Prin urmare, diferențierea cosec x este – cosec x cot x.

Diferențierea sec(x)

Pentru a demonstra derivata lui sec x vom folosi regula coeficientului și câteva elemente de bază identități trigonometrice și formula limitelor . Identitățile trigonometrice și formula limitelor care sunt utilizate în demonstrație sunt prezentate mai jos:

1. tan x = sin x / cos x
2. sec x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Să începem demonstrația pentru diferențierea funcției trigonometrice sec x

(d/dx) sec x = (d/dx) [1 / cos x] [Prin 2]

Folosind regula lanțului

(d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sec x = [-1 / cos²x] (-fără x)

⇒ (d/dx) sec x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sec x = sec x tan x [Prin 1 și 2]

Prin urmare, diferențierea sec x este sec x tan x.

converti șirul în char

Diferențierea cot(x)

Pentru a demonstra derivata lui cot x vom folosi regula coeficientului și câteva identități trigonometrice de bază și formule de limite. Identitățile trigonometrice și formula limitelor care sunt utilizate în demonstrație sunt prezentate mai jos:

1. cot x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. cos²x + sin²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Să începem demonstrația pentru diferențierea funcției trigonometrice cot x

Deoarece, prin (1)

cot x = cos x / sin x

(d/dx) cot x = (d/dx)[cosx / sin x]

Prin utilizarea regulii coeficientului

(d/dx) cot x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²X

⇒ (d/dx) cot x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²x [Până la 4 și 5]

⇒ (d/dx) cot x = [ -sin²x – cos²x] / sin²X

⇒ (d/dx) cot x = -[ sin²x + cos²x] / sin²X

⇒ (d/dx) cot x = -1 / sin²x [Până la 3]

⇒ (d/dx) cot x = -cosec ² X [Până la 2]

Prin urmare, diferențierea cot x este -cosec ² X.

Unele alte derivate ale funcției de declanșare

Diferențierea funcțiilor trigonometrice se poate face cu ușurință folosind regula lanțului. Funcțiile trigonometrice complexe și funcțiile trigonometrice compozite pot fi rezolvate prin aplicare regula lanțului de diferentiere. În următoarele titluri vom studia în detaliu regula lanțului și diferențierea funcțiilor trigonometrice compozite.

• Diferențierea folosind Chain Rule
• Diferențierea funcției de declanșare compozită

Să discutăm aceste subiecte în detaliu.

Regula lanțului și funcția trigonometrică

Regula lanțului spune că, dacă p(q(x)) este o funcție, atunci derivata acestei funcții este dată de produsul dintre derivata lui p(q(x)) și derivata lui q(x). Regula lanțului este folosită pentru diferențiere funcții compozite . Regula lanțului este folosită mai ales pentru a diferenția cu ușurință funcțiile trigonometrice compozite.

Exemplu: Aflați derivata lui f(x) = tan 4x

Soluţie:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

Prin aplicarea regulii lanțului

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sec²4x)(4)

Diferențierea funcției de declanșare compozită

Pentru a evalua diferențierea funcțiilor trigonometrice compozite aplicăm regula lanțului de diferențiere. Funcțiile trigonometrice compuse sunt funcțiile în care unghiul funcției trigonometrice este el însuși o funcție. Diferențierea funcțiilor trigonometrice compozite poate fi ușor evaluată prin aplicarea regulii lanțului și a formulelor de diferențiere pentru funcțiile trigonometrice.

Exemplu: Aflați derivata lui f(x) = cos(x ² +4)

Soluţie:

f(x) = cos(x²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Prin aplicarea regulii lanțului

f'(x) = (d/dx) [cos(x²+4)](d/dx)[x²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Ce sunt funcțiile trigonometrice inverse?

The funcții trigonometrice inverse sunt funcțiile inverse ale funcțiilor trigonometrice. Există șase funcții trigonometrice inverse: sin^-1, cos^-1, asa de^-1, cosec^-1, sec^-1, patut^-1. Funcțiile trigonometrice inverse sunt numite și funcții arc.

Diferențierea funcțiilor trigonometrice inverse

Derivatele a șase funcții trigonometrice inverse sunt după cum urmează:

Exemplu: Aflați derivata lui f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 X

Soluţie:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1X]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x ]+ 4(d/dx) [cos^-1X]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²)] (3. 4)

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Aplicații privind diferențierea funcțiilor trigonometrice

Există multe aplicații diferite ale diferențierii funcțiilor trigonometrice în viața reală. Următoarele sunt aplicațiile diferențierii funcțiilor trigonometrice.

• Panta tangentei și dreapta normală la curba trigonometrică pot fi determinate folosind diferențierea funcțiilor trigonometrice.
• Poate fi folosit și pentru a determina maximele și minimele funcției.
• Este folosit și în domeniul computerelor și electronicii.

De asemenea, verifica

• Derivată Trig inversă
• Antiderivat
• Formule de diferențiere

Exemple de probleme privind diferențierea funcțiilor trig

Problema 1: Aflați derivata lui f(x) = tan 2x.

Soluţie:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Prin aplicarea regulii lanțului

f'(x) = (d/dx) [tan 2x](d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = (sec²2x)(2)

⇒ f'(x) = 2sec²2x

Problema 2: Aflați derivata lui y = cos x / (4x ² )

Soluţie:

y = cos x / (4x²)

Aplicarea regulii coeficientului

y’ = [(d/dx)cosx(4x²) – cosx (d/dx)(4x²)] / (4x²)²

⇒ y’ = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y’ = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y’ = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Problema 3: Evaluați derivata f(x) = cosec x + x tan x

Soluţie:

f(x) = cosec x + x tan x

Prin aplicarea formulei și a regulii produsului

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²X

Problema 4: Aflați derivata funcției f(x) = 6x ⁴ cos x

Soluţie:

f(x) = 6x⁴cos x

Prin aplicarea regulii produsului

f'(x) = (d/dx) [6x⁴cos x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴) (d/dx)(cos x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-fără x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x – x⁴fara x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

Problema 5: Evaluați derivata: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Soluţie:

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Prin aplicarea regulii produsului

f'(x) = (d /dx) [(x + cos x) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – sin x)²– (x + cos x) cos x

⇒ f'(x) = 1 + sin²x – 2 sinx – x cosx – cos²X

Probleme de practică privind diferențierea funcțiilor trigonometrice

Problema 1: Aflați derivata lui y = sin(x) + cos(x).

Problema 2: Calculați derivata lui y = 2sin(x) – 3cos(x).

Problema 3: Aflați derivata lui y = 2sin(3x).

Problema 4: Determinați derivata lui y = tan(5x).

Problema 5: Aflați derivata lui y = sin(x) cos(x).

Problema 6: Calculați derivata lui y = cos²(X).

Problema 7: Determinați derivata lui y = tan²(X).

Problema 8: Determinați derivata lui y = tan(x) sec(x).

Întrebări frecvente privind diferențierea funcțiilor trigonometrice

Ce este diferențierea?

Diferențierea este o operație matematică care calculează rata cu care o funcție se schimbă în raport cu variabila sa independentă.

Ce este funcția trigonometrică?

Funcțiile trigonometrice sunt funcții matematice care relaționează unghiurile unui triunghi dreptunghic cu rapoartele laturilor sale.

Care sunt funcțiile trigonometrice comune?

Funcțiile trigonometrice comune includ sinus (sin), cosinus (cos), tangentă (tan), cosecant (cosec), secant (sec) și cotangent (cot).

Definiți diferențierea funcțiilor trigonometrice.

Metoda de diferențiere a funcțiilor trigonometrice se numește diferențiere a funcțiilor trigonometrice.

Cum diferențiezi funcția sinusoială, adică sin (x)?

Derivata lui sin (x) este cos (x). În notația matematică, d/dx(sin(x)) = cos(x).

Ce obținem după diferențierea funcției cosinus, adică cos (x)?

Derivata lui cos (x) este -sin (x). În notația matematică, d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Cum diferențiezi funcția tangentă, adică tan (x)?

Derivata lui tan(x) este sec²(x), unde sec(x) este funcția secante. În notația matematică, d/dx(tan(x)) = sec²(X).

Care sunt formulele de diferențiere a funcțiilor trigonometrice?

Formula de diferențiere a funcțiilor trigonometrice este:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sec²X
• (d/dx) cosec x = -cosec x cot x
• (d/dx) sec x = sec x tan x
• (d/dx) cot x = -cosec²X

Dați un exemplu de diferențiere a unei funcții trigonometrice.

Să considerăm o funcție f(x) = 2sin(3x).

Folosind regula lanțului,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Ce metode sunt folosite pentru a obține diferențierea funcțiilor trigonometrice?

Diferitele moduri în care poate fi derivată formula de diferențiere a funcțiilor trigonometrice sunt:

• Prin utilizarea Primului Principiu al Derivatelor
• Prin folosirea Regula coeficientului
• Folosind regula lanțului

Ce este Antidiferențierea funcțiilor trigonometrice?

Antidiferențierea funcțiilor trigonometrice înseamnă găsirea integrării funcțiilor trigonometrice.