Regula coeficientului este o metodă de găsire a derivatei unei funcții care este coeficientul altor două funcții. Este o metodă folosită pentru diferențierea problemelor în care o funcție este împărțită de alta. Folosim regula coeficientului atunci când trebuie să găsim derivata unei funcții de forma: f(x)/g(x).

Să învățăm despre regula coeficientului în calcul, formula și derivarea acesteia, cu ajutorul exemplelor rezolvate.

Definiția regulii coeficientului

Regula coeficientului este regula de diferenţiere a acelor functii care sunt date sub forma de fractii , unde ambele numărător și numitor sunt funcții individuale. Regula coeficientului este o tehnică fundamentală în calcul pentru găsirea derivatei unei funcții care este câtul (raportul) a doi funcții diferențiabile . Oferă o metodă de diferențiere a expresiilor în care o funcție este împărțită la alta.

Să presupunem că ni se dă o funcție f(x) = g(x)/h(x) apoi diferențierea lui f(x), f'(x) se găsește ca,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Formula regulii coeficientului

Formula regulii coeficientului este formula utilizată pentru a găsi diferențierea funcției care este exprimată ca funcție coeficient. Mai jos este formula regulii coeficientului este,

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Unde,

• u(x) este prima funcție care este o funcție diferențiabilă,
• u'(x) este derivata funcției u(x),
• v(x) este a doua funcție care este o funcție diferențiabilă și
• v'(x) este derivata funcției v(x).

Dovada regulii coeficientului

Putem deriva regula coeficientului folosind următoarele metode:

• Utilizarea Chain Rule
• Utilizarea diferențierii implicite
• Utilizarea proprietăților derivate și limită

Acum să învățăm despre ele în detaliu.

Derivarea regulii coeficientului folosind regula lanțului

A dovedi: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Dat: H(x) = f(x)/g(x)

Dovada:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Folosind regula produsului,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Aplicând regula puterii,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (X)

Astfel, se dovedește regula coeficientului.

Citeşte mai mult:

• Regula lanțului

Derivarea regulii coeficientului folosind diferențierea implicită

Să luăm o funcție diferențiabilă f(x), astfel încât f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

folosind regula produsului,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Acum rezolvăm pentru f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Înlocuind valoarea lui f(x) ca, f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (X)

Astfel, se dovedește regula coeficientului.

Citeşte mai mult

• Diferențierea implicită

Derivarea regulii coeficientului folosind proprietățile derivate și limită

Să luăm o funcție diferențiabilă f(x) astfel încât f(x) = u(x)/v(x),

Noi stim aia,

f'(x) = lim_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

Înlocuind valoarea lui f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lim_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Distribuirea limitei,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/in²(X)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1/in²(X)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (X)

Care este regula coeficientului necesar.

Citeşte mai mult

• Proprietățile limitelor
• Regulile derivatelor

Cum se folosește regula coeficientului în diferențiere?

Pentru a aplica regula coeficientului, urmează următorii pași,

Pasul 1: Scrieți funcțiile individuale ca u(x) și v(x).

Pasul 2: Aflați derivata funcției individuale u(x) și v(x), adică găsiți u'(x) și v'(x). Acum aplicați formula regulii coeficientului,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Pasul 3: Simplificați ecuația de mai sus și dă diferențierea lui f(x).

Putem înțelege acest concept cu ajutorul unui exemplu.

Exemplu: Găsiți f'(x) dacă f(x) = 2x ³ /(x+2)

Dat,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Comparând cu f(x) = u(x)/v(x), obținem

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Acum diferențierea u(x) și v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Folosind regula coeficientului,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​​​)/(x + 1)²

Regula produsului și coeficientului

Regula de diferențiere a produsului este utilizată pentru a găsi diferențierea unei funcții atunci când funcția este dată ca produs a două funcții.

Regula de diferențiere a produsului afirmă că , dacă P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Întrucât regula coeficientului de diferentiere este folosit pentru a diferenția o funcție care este reprezentată ca împărțire a două funcții, adică f(x) = p(x)/q(x).

Apoi derivarea lui f(x) folosind regula coeficientului se calculează ca,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (X)

Trebuie citit

• Regula produsului în calcul
• Regula lanțului
• Formula de diferențiere și integrare
• Diferențierea logaritmică
• Fundamentele calculului
• Aplicarea derivatelor

Exemple de reguli de coeficient

Să rezolvăm câteva exemple de întrebări despre regula coeficientului.

Exemplul 1: diferențierea old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Soluţie:

Atât funcțiile Numărător, cât și Numitor sunt diferențiabile.

Aplicarea regulii coeficientului,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Exemplul 2: Diferențierea, f(x) = tan x.

Soluţie:

tan x este scris ca sinx/cosx, i.e.

tan x = (sin x) / (cos x)

Atât funcțiile Numărător, cât și Numitor sunt diferențiabile.

Aplicarea regulii coeficientului,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Exemplul 3: Diferențiere, f(x)= e ^X /X ²

Soluţie:

tutorial ssis

Atât funcțiile Numărător, cât și Numitor sunt diferențiabile.

Aplicarea regulii coeficientului,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Exemplul 4: diferențiere, y=frac{cosx}{x^2}

Soluţie:

Atât funcțiile Numărător, cât și Numitor sunt diferențiabile.

Aplicarea regulii coeficientului,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Exemplul 5: Diferențiere, f(p) = p+5/p+7

Soluţie:

Atât funcțiile Numărător, cât și Numitor sunt diferențiabile.

Aplicarea regulii coeficientului,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Probleme de practică

Iată câteva probleme de practică cu privire la regula coeficientului pe care să le rezolvați.

P1. Aflați derivata lui f(x) = (x ² + 3)/(fără x)

P2. Aflați derivata lui f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Aflați derivata lui f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Aflați derivata lui f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Regula coeficientului derivatului – Întrebări frecvente

Ce este regula de diferențiere a coeficientului?

Regula de diferențiere a coeficientului este regula care este utilizată pentru a găsi diferențierea funcției care este dată în forma de coeficient, adică o funcție dată ca împărțirea a două funcții.

Ce este formula regulii coeficientului?

Formula pentru regula coeficientului este,

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Această formulă oferă diferențierea funcției care este reprezentată ca f(x)/g(x).

Cum se deduce formula regulii coeficientului?

Regula coeficientului poate fi derivată folosind trei metode,

• După proprietăți derivate și limită
• Prin diferențiere implicită
• Prin regula lanțului

Cum se folosește regula coeficientului?

Regula coeficientului este folosită pentru a găsi diferențierea funcției exprimată ca împărțirea a două funcții care include toate funcțiile de forma f(x) și g(x) astfel încât să existe diferențierea individuală a f(x) și g(x) iar g(x) nu poate fi niciodată zero.

Cum găsiți derivata unei funcții de divizare?

Derivată a funcției de împărțire este ușor de găsit folosind formula regulii coeficientului, adică dacă trebuie să găsim diferențierea lui H(x) astfel încât H(x) să fie exprimat ca H(x) = f(x)/g(x) atunci derivata sa este exprimată ca,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Care este regula limitei coeficientului?

Regula coeficientului pentru limite spune că limita unei funcții de coeficient este egală cu câtul limitei fiecărei funcții.