Derivată a funcției trigonometrice inverse se referă la rata de schimbare a funcțiilor trigonometrice inverse. Știm că derivata unei funcții este rata de schimbare a unei funcții în raport cu variabila independentă. Înainte de a învăța acest lucru, ar trebui să cunoaștem formulele de diferențiere a funcțiilor trigonometrice. Pentru a găsi derivata funcției trigonometrice inverse, mai întâi vom echivala funcția trigonometrică cu o altă variabilă pentru a găsi inversul acesteia și apoi o diferențiam folosind formula de diferențiere implicită.

În acest articol, vom afla D derivată a funcțiilor de declanșare inversă, formule de diferențiere a funcțiilor de declanșare inversă, și Rezolvați câteva exemple pe baza acestuia. Dar, înainte de a merge mai departe, haideți să perfecționăm conceptul de i funcții trigonometrice inverse și diferențiere implicită.

• Funcții trigonometrice inverse
• Ce este diferențierea implicită?
• Ce este derivata funcțiilor trigonometrice inverse?
• Dovada derivată a funcțiilor de declanșare inversă
• Formula derivată inversă Trig
• Exemple de derivate trig invers

Funcții trigonometrice inverse

Funcții trigonometrice inverse sunt funcțiile inverse ale rapoartelor trigonometrice, adică sin, cos, tan, cot, sec și cosec. Aceste funcții sunt utilizate pe scară largă în domenii precum fizica, matematica, inginerie și alte domenii de cercetare. Așa cum adunarea și scăderea sunt inversele reciproce, același lucru este valabil și pentru inversul funcțiilor trigonometrice.

fără θ = x

⇒ i = s în ⁻¹ X ​

Reprezentarea funcţiilor trigonometrice inverse

Ele sunt reprezentate prin adunare arc în prefix sau prin adăugarea -1 la putere.

Sinusul invers poate fi scris în două moduri:

• fără^-1X
• arcsin x

Același lucru este valabil și pentru cos și bronz.

Notă: Nu confunda păcatul^-1x cu (sin x)^-1. Sunt diferite. Scriind păcat^-1x este o modalitate de a scrie sinus invers, în timp ce (sin x)^-1înseamnă 1/sin x.

Domeniul funcțiilor trigonometrice inverse

Știm că o funcție este diferențiabilă numai dacă este continuă în acel punct și dacă o funcție este continuă într-un punct dat, atunci acel punct este domeniul funcției. Prin urmare, ar trebui să învățăm domeniul funcțiilor trigonometrice inverse pentru aceeași.

Acum să învățăm pe scurt tehnica diferențierii implicite.

Ce este diferențierea implicită?

Diferențierea implicită este o metodă care folosește regula lanțului pentru a diferenția funcții definite implicit. O funcție implicită este funcția care conține două variabile mai degrabă decât o variabilă. În acest caz, uneori putem converti funcția într-o variabilă în mod explicit, dar acesta nu este întotdeauna cazul. Deoarece, în general, nu este ușor să găsiți funcția în mod explicit și apoi să diferențiați. În schimb, putem diferenția total f(x, y), adică ambele variabile și apoi rezolvăm restul ecuației pentru a găsi valoarea lui f'(x).

Citiți în detaliu: Calcul în matematică

Ce este derivata funcțiilor trigonometrice inverse?

Inverse Trig Derivative sunt derivate ale funcțiilor trigonometrice inverse. Sunt sase funcții trigonometrice și există inversă pentru fiecare dintre aceste funcții trigonometrice. Acestea sunt păcatul^-1x, cos^-1x, deci^-1x, cosec^-1x, sec^-1x, patut^-1X. Putem găsi derivata funcțiilor trigonometrice inverse folosind metoda diferențierii implicite. Să aflăm mai întâi care sunt derivatele funcțiilor trigonometrice inverse.

• Derivat al păcatului^-1x este d(sin^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) pentru toate x ϵ (-1, 1)
• Derivată a lui cos^-1x este d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) pentru toate x ϵ (-1, 1)
• Derivat al bronzului^-1x este d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) pentru toate x ϵ R
• Derivată a lui cosec^-1x este d(cosec^-1x)/dx = -1/ pentru toate x ϵ R – [-1, 1]
• Derivat de sec^-1x este d(sec^-1x)/dx = 1/x pentru toate x ϵ R – [-1, 1]
• Derivat de pătuț^-1x este d(cot^-1x)/dx = -1/(1 + x²) pentru toate x ϵ R

Imaginea pentru derivata trigonometrică inversă este atașată mai jos:

Acum am aflat care sunt derivatele tuturor celor șase funcții trigonometrice inverse, acum vom învăța cum să găsim derivata celor șase funcții trigonometrice inverse.

Dovada derivată a funcțiilor de declanșare inversă

Putem diferenția funcțiile trigonometrice inverse folosind primul principiu și, de asemenea, folosind formula de diferențiere implicită care implică și utilizarea regulii lanțului. A găsi derivata funcțiilor trigonometrice inverse folosind primul principiu este un proces lung. În acest articol învățăm cum să diferențiem funcții trigonometrice inverse folosind diferențierea implicită. Putem găsi derivata (dy/dx) a funcțiilor trigonometrice inverse utilizând pașii următori

Pasul 1: Să presupunem funcțiile trigonometrice sub forma sin y = x

Pasul 2: Găsiți derivata funcției de mai sus folosind diferențierea implicită

Pasul 3: Calculați dy/dx

Pasul 4: Înlocuiți valoarea funcției trigonometrice prezente în pasul 3 folosind identități trigonometrice.

Derivată a sin inversului x

Să presupunem că sin y = x

Diferențierea ambelor părți în raport cu x

⇒ cos și. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Din moment ce știm că Păcatul²și + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – sin²și

numele produselor de machiaj

⇒ confortabil = √(1 – sin²y) = √(1 – x²) deoarece avem sin y = x

Punând această valoare a lui cos y în ecuația (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²) unde y = sin^-1X

Derivată a inversului cos X

Să presupunem cos y = x

Diferențierea ambelor părți în raport cu x

⇒ -fără și. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Din moment ce știm că Păcatul²și + Cos²y = 1

⇒ fără²y = 1 – cos²și

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²) deoarece avem cos y = x

Punând această valoare a sin y în ecuația (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²) unde y = cos^-1X

Derivată a inversului tanar X

Să presupunem tan y = x

Diferențierea ambelor părți în raport cu x

⇒ sec²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sec²și →(i)

Din moment ce știm că sec²și așa²y = 1

⇒ sec²y = 1 + tan²și

⇒ sec²y = (1 + tan²y) = (1 + x²) deoarece avem tan y = x

Punând această valoare de sec²y în ecuația (i)

dy/dx = 1/(1 + x²) unde y = tan^-1X

Derivatul cot invers X

Să presupunem cot y = x

Diferențierea ambelor părți în raport cu x

⇒ -cosec²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²și →(i)

Din moment ce știm că csec²și – pătuț²y = 1

⇒ cosec²y = 1 + pat²și

⇒ cosec²y = (1 + pat²y) = (1 + x²) deoarece avem cot y = x

Punând această valoare a cosec²y în ecuația (i)

dy/dx = -1/(1 + x²) unde y = cot^-1X

Derivată a sec inversului X

Să presupunem sec y = x

Diferențierea ambelor părți în raport cu x

⇒ sec y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sec y.tan y →(i)

Din moment ce știm că sec²și așa²y = 1

⇒ deci²y = sec²și – 1

ce este hashmap java

⇒ tan y = √(sec²y – 1) = √(x²– 1) deoarece avem sec y = x

Punând această valoare a lui tan y în ecuația (i)

dy/dx = 1/x unde sec y = x și y = sec^-1X

Derivată a inversului cosec X

Să presupunem cosec y = x

Diferențierea ambelor părți în raport cu x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Din moment ce știm că cosec²și – pătuț²y = 1

⇒ patut²y = cosec²și – 1

⇒ cot y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1)deoarece avem cosec y = x

Punând această valoare a lui tan y în ecuația (i)

dy/dx = -1/x unde cosec y = x și y = cosec^-1X

Formula derivată inversă Trig

Acum am învățat cum să diferențiem funcțiile trigonometrice inverse, de aceea vom căuta acum formulele pentru derivata funcțiilor trigonometrice inverse care pot fi utilizate direct în probleme. Mai jos este prezentat tabelul cu formula derivată a funcției trigonometrice inverse.

Citeşte mai mult,

• Derivată în formă parametrică
• Formule derivate
• Aplicarea derivatului
• Derivată a funcției exponențiale

Exemple de derivate trig invers

Exemplul 1: Diferențierea păcatului ^-1 (X)?

Soluţie:

Lăsa, și = fără ⁻¹( X )

Luând sinus de ambele părți ale ecuației dă,

sin y = sin(sin^-1X)

Prin proprietatea trigonometriei inverse știm, sin(sin^-1x) = x

sin y = x

Acum diferențierea ambelor părți față de x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

O putem simplifica mai mult folosind observația de mai jos:

fără²și + cos²y = 1

X²+ cos²y = 1 {Ca sin y = x}

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Înlocuind valoarea, obținem

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Exemplul 2: Diferențierea cos ^-1 (X)?

Soluţie:

Lăsa,

și = cos⁻¹( X )

Luând cosinus de ambele părți ale ecuației dă,

cos y = cos(cos^-1X)

Prin proprietatea trigonometriei inverse știm, cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Acum diferențierea ambelor părți față de x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

O putem simplifica mai mult folosind observația de mai jos:

fără²și + cos²y = 1

fără²y + x²= 1 {Ca cos y = x}

fără²y = 1-x²

sin y = √(1 – x²)

Înlocuind valoarea, obținem

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Exemplul 3: Diferențierea bronzului ^-1 (X)?

Soluţie:

Lăsa, și = deci⁻¹( X )

Luând tan pe ambele părți ale ecuației dă,

tan y = tan(tan^-1X)

Prin proprietatea trigonometriei inverse știm, tan(tan^-1x) = x

tan y = x

Acum diferențierea ambelor părți față de x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sec²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/sec²X

O putem simplifica mai mult folosind observația de mai jos:

sec²și așa²y = 1

sec²y–x²= 1

sec²y = 1 + x²

Înlocuind valoarea, obținem

dy/dx = 1/sec²și

dy/dx = 1/(1 + x²)

Exemplul 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Aflați dy/dx la x = 1/2?

Soluţie:

Metoda 1 (utilizarea diferențierii implicite)

Dat, și = cos ⁻¹(−2 X ²)

⇒ cos și = −2 X ²

Diferențierea ambelor părți față de x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Simplificarea

fără²și + cos²y = 1

fără²și + (-2x²)²= 1 {As cos y = -2x²}

numerotati alfabetul

fără²y + 4x⁴= 1

fără²y = 1 – 4x⁴

sin y = √(1 – 4x⁴)

Punând valoarea obținută obținem,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Metoda 2 (Folosind regula lanțului așa cum cunoaștem diferențierea cos invers x)

Dat, și = cos ⁻¹(−2 X ²)

Diferențierea ambelor părți față de x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Exemplul 5: Diferențierea egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Solutii:

Lăsa,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Diferențierea ambelor părți față de x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Întrebări cu derivate trig invers

Încercați următoarele întrebări despre întrebările derivate inverse

Î1: Diferențiază păcatul ^-1 (3x – 4x ³ ) pentru x ϵ -1/2