logo

TechCodeview

Identități trigonometrice

Identități trigonometrice sunt diverse identități care sunt folosite pentru a simplifica diverse ecuații complexe care implică funcții trigonometrice. Trigonometria este o ramură a matematicii care se ocupă cu relația dintre laturile și unghiurile unui triunghi. Aceste relații sunt definite sub forma a șase rapoarte care se numesc rapoarte trigonometrice – sin, cos, tan, cot, sec și cosec.

Într-un mod extins, studiul este și al unghiurilor care formează elementele unui triunghi. În mod logic, o discuție despre proprietățile unui triunghi; rezolvarea unui triunghi și problemele fizice din zona înălțimilor și distanțelor folosind proprietățile unui triunghi – toate constituie o parte a studiului. De asemenea, oferă o metodă de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.



Cuprins

Ce sunt identitățile trigonometrice?

O ecuație care implică rapoarte trigonometrice ale unui unghi se numește identitate trigonometrică dacă este adevărată pentru toate valorile unghiului. Acestea sunt utile ori de câte ori funcțiile trigonometrice sunt implicate într-o expresie sau o ecuație. Cele șase rapoarte trigonometrice de bază sunt sinus, cosinus, tangentă, cosecantă, secantă și cotangentă . Toate aceste rapoarte trigonometrice sunt definite folosind laturile triunghiului dreptunghic, cum ar fi o latură adiacentă, latura opusă și latura ipotenuzei.

Identități trigonometrice



Lista identităților trigonometrice

Există o mulțime de identități în studiul trigonometriei, care implică toate rapoartele trigonometrice. Aceste identități sunt folosite pentru a rezolva diverse probleme din peisajul academic, precum și din viața reală. Să învățăm toate identitățile trigonometrice fundamentale și avansate.

Identitati trigonometrice reciproce

În toate rapoartele trigonometrice, există o relație reciprocă între o pereche de rapoarte, care este dată după cum urmează:

  • sin θ = 1/cosec θ
  • cosec θ = 1/sin θ
  • cos θ = 1/sec θ
  • sec θ = 1/cos θ
  • tan θ = 1/cot θ
  • cot θ = 1/tan θ

Identitati trigonometrice pitagoreice

Identitățile trigonometrice pitagorice se bazează pe teorema triunghiului dreptunghic sau Teorema lui Pitagora , și sunt după cum urmează:



  • fără2θ + cos2θ = 1
  • 1 + deci2θ = sec2i
  • cosec2θ = 1 + pat2i

Citiți mai multe despre Identitati trigonometrice pitagorice .

Identități de raport trigonometric

As tan și cot sunt definite ca raportul dintre sin și cos, care este dat de următoarele identități:

  • tan θ = sin θ/cos θ
  • cot θ = cos θ/sin θ

Identități trigonometrice ale unghiurilor opuse

În trigonometrie, unghiul măsurat în sensul acelor de ceasornic este măsurat în paritate negativă și toate rapoartele trigonometrice definite pentru paritatea negativă a unghiului sunt definite după cum urmează:

  • sin (-θ) = -sin θ
  • cos (-θ) = cos θ
  • tan (-θ) = -tan θ
  • cot (-θ) = -cot θ
  • sec (-θ) = sec θ
  • cosec (-θ) = -cosec θ

Unghiuri complementare Identitati

Unghiuri complementare sunt perechea de unghiuri a căror măsură însumează 90°. Acum, identitățile trigonometrice pentru unghiurile complementare sunt după cum urmează:

  • sin (90° – θ) = cos θ
  • cos (90° – θ) = sin θ
  • tan (90° – θ) = cot θ
  • cot (90° – θ) = tan θ
  • sec (90° – θ) = cosec θ
  • cosec (90° – θ) = sec θ

Identitati suplimentare de unghiuri

Unghiurile suplimentare sunt perechea de unghiuri a căror măsură se adună până la 180°. Acum, identitățile trigonometrice pentru unghiurile suplimentare sunt:

  • sin (180°- θ) = sinθ
  • cos (180°- θ) = -cos θ
  • cosec (180°- θ) = cosec θ
  • sec (180°- θ)= -sec θ
  • tan (180°- θ) = -tan θ
  • cot (180°- θ) = -cot θ

Periodicitatea funcției trigonometrice

Funcții trigonometrice precum sin, cos, tan, cot, sec și cosec, toate sunt periodice în natură și au periodicitate diferită. Următoarele identități pentru raportul trigonometric explică periodicitatea acestora.

  • sin (n × 360° + θ) = sin θ
  • sin (2nπ + θ) = sin θ
  • cos (n × 360° + θ) = cos θ
  • cos (2nπ + θ) = cos θ
  • tan (n × 180° + θ) = tan θ
  • tan (nπ + θ) = tan θ
  • cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
  • cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  • sec (n × 360° + θ) = sec θ
  • sec (2nπ + θ) = sec θ
  • cot (n × 180° + θ) = cot θ
  • cot (nπ + θ) = cot θ

Unde, n ∈ CU, (Z = mulțimea tuturor numerelor întregi)

Notă: sin, cos, cosec și sec au o perioadă de 360° sau 2π radiani, iar pentru tan și perioada cot este de 180° sau π radiani.

Identități de sumă și diferență

Identități trigonometrice pentru Sumă și Diferență de unghi includ formule precum sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B), etc.

  • sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
  • sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
  • cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
  • cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
  • tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
  • tan (A-B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Notă: Identitățile pentru sin (A+B), sin (A-B), cos (A+B) și cos (A-B) sunt numite Identitățile lui Ptolemeu .

Identitati cu unghi dublu

Folosind identitățile trigonometrice ale sumei unghiurilor, putem găsi o nouă identitate care se numește identitatea unghiului dublu. Pentru a găsi aceste identități putem pune A = B în suma identităților unghiulare. De exemplu,

a știm, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Înlocuiți aici A = B = θ pe ambele părți și obținem:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

  • sin 2θ = 2 sinθ cosθ

În mod similar,

  • cos 2θ = cos 2 θ – păcat 2 θ = 2 cos 2 θ – 1 = 1 – sin 2 i
  • tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan 2 i)

Citiți mai multe despre Identitati cu unghi dublu .

Formule cu jumătate de unghi

Folosind formule cu unghi dublu, se pot calcula formule cu jumătate de unghi. Pentru a calcula formulele semiunghiului înlocuiți θ cu θ/2 apoi,

  • sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
  • cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
  • an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Citiți mai multe despre Identități cu jumătate de unghi .

Mai multe identități cu jumătate de unghi

În afară de identitățile menționate mai sus, există mai multe identități cu jumătate de unghi, care sunt după cum urmează:

  • sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
  • cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
  • an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Identitati produs-suma

Următoarele identități stabilesc relația dintre suma a două rapoarte trigonometrice cu produsul a două rapoarte trigonometrice.

  • sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
  • cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
  • sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
  • cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Identitatile produselor

Identitățile de produs se formează atunci când adunăm două dintre suma și diferența identităților de unghi și sunt după cum urmează:

  • sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
  • cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
  • sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Formule cu unghi triplu

În afară de formulele cu unghi dublu și jumătate, există identități pentru rapoartele trigonometrice care sunt definite pentru unghiul triplu. Aceste identități sunt după cum urmează:

  • sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
  • cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
  • cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Citiți mai multe despre Identitati cu unghi triplu .

Dovada identităților trigonometrice

Pentru orice unghi ascuțit θ, demonstrați că

  1. tanθ = sinθ/cosθ
  2. cotθ = cosθ/sinθ
  3. tanθ . cotθ = 1
  4. fără 2 θ + cos 2 θ = 1
  5. 1 + deci 2 θ = sec 2 i
  6. 1 + patut 2 θ = cosec 2 i

Dovada:

Considerăm un △ABC în unghi drept în care ∠B = 90°

Fie AB = x unități, BC = y unități și AC = r unități.

Triunghi dreptunghic cu unghi acut Theta

Apoi,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ . cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ . cotθ = 1

Apoi, după teorema lui Pitagora, avem

X2+ și2= r2.

Acum,

(4) fără2θ + cos2θ = (y/r)2+ (x/r)2= ( și2/r2+ x2/r2)

= (x2+ și2)/r2= r2/r2= 1 [x2+ și2= r2]

fără 2 θ + cos 2 θ = 1

(5) 1 + deci2θ = 1 + (y/x)2= 1 + y2/X2= (și2+ x2)/X2= r2/X2[X2+ și2= r2]

(r/x)2= sec2i

∴ 1 + tan 2 θ = sec 2 i.

(6) 1 + patut2θ = 1 + (x/y)2= 1 + x2/și2= (x2+ și2)/și2= r2/și2[X2+ și2= r2]

(r2/și2) = cosec2i

∴ 1 + patut 2 θ = cosec 2 i

Relația dintre unghiuri și laturile triunghiului

Trei reguli care legau laturile triunghiurilor de unghiurile interioare ale triunghiurilor sunt:

  • Regula Sa
  • Regula Cosinusului
  • Regula tangentei

Dacă un triunghi ABC cu laturile a, b și c care sunt laturi opuse ∠A, ∠B și, respectiv, ∠C, atunci

Regula Sa

Regulile lui afirmă relația dintre laturile și unghiurile triunghiului, care este raportul dintre latura și sinusul unghiului opus laturii, rămâne întotdeauna aceeași pentru toate unghiurile și laturile triunghiului și este dată după cum urmează:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Regula Cosinusului

Regula Cosinusului implică toate laturile, iar un unghi interior al triunghiului este dat după cum urmează:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

SAU

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

SAU

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Regula tangentei

  • Regula tangentei stabilește, de asemenea, relația dintre laturile și unghiul interior al unui triunghi, folosind raportul trigonometric tan, care este după cum urmează:
  • old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
  • old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
  • old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

De asemenea, Citeste

  • Trigonometrie Înălțimea și distanța
  • Tabel trigonometric

Exemplu rezolvat pe identitățile trigonometrice

Exemplul 1: Demonstrați că (1 – sin 2 θ) sec 2 θ = 1

Soluţie:

Avem:

LHS = (1 – sin2θ) sec2i

= cos2θ . sec2i

= cos2θ . (1/cos2i)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Deci dovedit]

Exemplul 2: Demonstrați că (1 + tan 2 θ) cos 2 θ = 1

Soluţie:

Avem:

LHS = (1 + tan2θ)cos2i

⇒ LHS = sec2θ . cos2i

⇒ LHS = (1/cos2θ). cos2i

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Deci dovedit]

Exemplul 3: Demonstrați că (cosec 2 θ – 1) tan²θ = 1

Soluţie:

Avem:

LHS = (cosec²θ – 1) tan2i

⇒ LHS = (1 + pat2θ – 1) deci2i

⇒ LHS = patut2θ. asa de2i

⇒ LHS = (1/tan2θ). asa de2i

metoda de comparare java

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Deci dovedit]

Exemplul 4: Demonstrați că (sec 4 θ – sec 2 θ) = (brun 2 θ + bronz 4 i)

Soluţie:

Avem:

LHS = (sec4θ – sec2i)

⇒ LHS = sec2θ(sec2i – 1)

⇒ LHS = (1 + tan2θ) (1 + tan2i – 1)

⇒ LHS = (1 + tan2θ) deci2i

⇒ LHS = (tan2θ + bronz4θ) = RHS

∴ LHS = RHS. [Deci dovedit]

Exemplul 5: Demonstrați că √(sec 2 θ + cosec 2 θ) = (tanθ + cotθ)

Soluţie:

Avem:

LHS = √(sec2θ + cosec2θ ) = √((1 + tan2i) + (1 + pat2i))

⇒ LHS = √(tan2θ + pat2i + 2)

⇒ LHS = √(tan2θ + pat2θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)2

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [Demonstrat prin urmare]

Întrebări practice despre identitățile trigonometrice

Î1: Simplificați expresiafrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Î2: Demonstrați identitatea tan (x) . cot(x) = 1.

Î3: Arata astafrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

Î4: Simplificasin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

Î5: Dovediți identitateacos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

Î6: Simplificafrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

Î7: Dovediți identitateasec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Întrebări frecvente despre identitățile trigonometrice

Ce este identitatea trigonometrică?

Identitatea trigonometrică este o ecuație care leagă diferite funcții trigonometrice, cum ar fi sin, cos, tan, cot, sec și cosec.

Cum se dovedesc identitățile trigonometrice?

Există diferite metode pentru a demonstra identitățile trigonometrice, una dintre aceste metode este utilizarea celor 6 identități trigonometrice cunoscute pentru a rescrie o expresie într-o formă diferită. Ca orice altă dovadă, lucrăm cu o parte pentru a ajunge la o expresie identică cu cealaltă parte a ecuației.

Câte identități trigonometrice există?

Există o mulțime de identități trigonometrice, deoarece orice identitate poate fi cu o oarecare variație este încă și identitate. Prin urmare, nu putem spune exact câte identități există.

Cum să ne amintim toate identitățile trigonometrice?

Cea mai ușoară metodă de a reține toate identitățile este exersarea problemelor legate de identitate. De fiecare dată când rezolvați o problemă folosind o anumită identitate, revizuiți acea identitate și, în cele din urmă, va deveni a doua natură pentru voi.

Scrieți cele trei funcții trigonometrice principale.

Trei funcții principale utilizate în trigonometrie sunt Sinus, Cosinus și Tangenta.
sin θ = Perpendiculară/ Hipotenuză
cos θ = Baza/Hipotenuza
tan θ = Perpendicular/Baza

Ce este teorema lui Pitagora?

Teorema lui Pitagora afirmă într-un triunghi dreptunghic cu laturi ca ipotenuză (H), perpendiculară (P) și bază (B) relația dintre ele este dată de:

(H) 2 = (P) 2 + (B) 2

Scrieți utilizările identităților trigonometrice.

Identitățile trigonometrice sunt utilizate pentru rezolvarea diferitelor probleme care implică funcții trigonometrice complexe. Ele sunt folosite pentru a calcula ecuațiile de undă, ecuația oscilatorului armonic, rezolvarea întrebărilor geometrice și alte probleme.

Scrieți opt identități trigonometrice fundamentale.

Opt identități fundamentale în trigonometrie sunt:

  • sin θ = 1/cosec θ
  • cos θ = 1/sec θ
  • tan θ = 1/cot θ
  • fără2θ + cos2θ = 1
  • tanθ = sinθ/cos θ
  • 1+ deci2θ = sec2i
  • cot θ = cosθ/sinθ
  • 1+ patut2θ = cosec2i