Rangul unei matrice este definită ca dimensiunea spațiului vectorial format din coloanele sale. Rangul unei matrice este un concept foarte important în domeniul algebrei liniare, deoarece ne ajută să știm dacă putem găsi o soluție la sistemul de ecuații sau nu. Rangul unei matrice ne ajută, de asemenea, să cunoaștem dimensionalitatea spațiului său vectorial.

Acest articol explorează în detaliu conceptul de rang al unei matrice, inclusiv definiția acestuia, cum se calculează rangul matricei, precum și o nulitate și relația acesteia cu rangul. De asemenea, vom învăța cum să rezolvăm unele probleme pe baza rangului unei matrice. Deci, să începem mai întâi cu definirea rangului matricei.

Cuprins

• Ce este rangul matricei?
• Cum se calculează rangul unei matrice?
• Proprietățile rangului matricei
• Exemple de rang al unei matrice
• Întrebări frecvente

Ce este rangul matricei?

Rangul unei matrice este un concept fundamental în algebra liniară, care măsoară numărul maxim de rânduri sau coloane liniar independente din orice matrice. Cu alte cuvinte, vă spune câte dintre rândurile sau coloanele unei matrice nu sunt utile și contribuie la informația generală sau la dimensionalitatea matricei. Să definim rangul unei matrice.

Rangul unei definiții de matrice

Rangul unei matrice este definit ca numărul de rânduri liniar independente din a matrice .

.04 sub formă de fracție

Se notează folosind ρ(A) unde A este orice matrice. Astfel, numărul de rânduri ale unei matrice este o limită a rangului matricei, ceea ce înseamnă că rangul matricei nu poate depăși numărul total de rânduri dintr-o matrice.

De exemplu, dacă o matrice este de ordinul 3×3, atunci rangul maxim al unei matrice poate fi 3.

Notă: Dacă o matrice are toate rândurile cu zero elemente, atunci rangul unei matrice se spune că este zero.

Nulitatea Matricei

Într-o matrice dată, numărul de vectori din spațiul nul se numește nulitatea matricei sau poate fi definit și ca dimensiunea spațiului nul al matricei date.

Total coloane dintr-o matrice = Rang + Nulitate

Citiți mai multe despre Teorema nulității rangului .

Cum se calculează rangul unei matrice?

Există 3 metode care pot fi utilizate pentru a obține rangul oricărei matrice date. Aceste metode sunt după cum urmează:

• Metoda minoră
• Folosind formularul eșalon
• Folosind forma normală

Să discutăm aceste metode în detaliu.

Metoda minoră

Cerință prealabilă: Minorii lui Matrix

Pentru a găsi rangul unei matrice folosind metoda minoră, se parcurg următorii pași:

• Calculați determinantul matricei (să spunem A). Dacă det(A) ≠ 0, atunci rangul matricei A = ordinea matricei A.
• Dacă det(A) = 0, atunci rangul matricei este egal cu ordinul maximului minor posibil non zero al matricei.

Să înțelegem cum să găsim rangul matricei folosind metoda minoră.

Exemplu: Găsiți rangul matricei egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} folosind metoda minoră.

DatA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Pasul 1: Calculați determinantul lui A

it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Ca det(A) ≠ 0, ρ(A) = ordinul lui A = 3

Folosind formularul eșalon

Metoda minoră devine foarte plictisitoare dacă ordinea matricei este foarte mare. Deci, în acest caz, convertim matricea în formă eșalon. O matrice care se află în formă triunghiulară superioară sau formă triunghiulară inferioară este considerat a fi în formă de eșalon. O matrice poate fi convertită în forma sa eșalon prin utilizarea operații elementare pe rând . Următorii pași sunt urmați pentru a calcula rangul unei matrice folosind forma Echelon:

• Convertiți matricea dată în forma eșalonului.
• Numărul de rânduri non-nule obţinute în forma eşalonată a matricei este rangul matricei.

Să înțelegem cum să găsim rangul matricei folosind metoda minoră.

Exemplu: Găsiți rangul matricei egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} folosind metoda formei eșalonate.

DatA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Pasul 1: Convertiți A în formă eșalon

Aplică R₂= R₂– 4R₁

Aplică R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Aplică R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Deoarece matricea A este acum în formă triunghiulară inferioară, este în formă eșalon.

• Pasul 2: Numărul de rânduri diferite de zero în A = 2. Astfel ρ(A) = 2

Folosind forma normală

Se spune că o matrice este în formă normală dacă poate fi redusă la forma egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Aici eu_rreprezintă matricea de identitate de ordinul r. Dacă o matrice poate fi convertită în forma sa normală, atunci rangul matricei se spune că este r.

Să înțelegem cum să găsim rangul matricei folosind metoda minoră.

Exemplu: Găsiți rangul matricei old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} folosind metoda formei normale.

DatA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Aplică R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁și R₄= R₄– 3R₁

algoritmul kruskal

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Aplică R₁= R₁– 2R₂și R₄= R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplică R₁= R₁+ R₃și R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplica C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Astfel A poate fi scris ca egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Astfel, ρ(A) = 3

Proprietățile rangului matricei

Proprietățile rangului matricei sunt după cum urmează:

• Rangul unei matrice este egal cu ordinea matricei dacă este o matrice nesingulară.
• Rangul unei matrice este egal cu numărul de rânduri diferite de zero dacă este în formă eșalon.
• Rangul matricei este egal cu ordinea matricei de identitate din ea dacă este în formă normală.
• Rangul matricei
• Rangul matricei
• Rangul matricei de identitate este egal cu ordinea matricei de identitate.
• Rangul unei matrice zero sau al unei matrice nule este zero.

Citeşte mai mult,

• Tipuri de Matrici
• Transpunerea unei matrice
• Inversul Matricei

Exemple de rang al unei matrice

ȘI Exemplul 1: Găsiți rangul matricei old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} folosind metoda minoră.

Soluţie:

DatA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Pasul 1: Calculați determinantul lui A

it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Ca det(A) ≠ 0, ρ(A) = ordinul lui A = 3

Exemplul 2. Aflați rangul matricei old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} folosind metoda minoră.

Soluţie:

DatA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Pasul 1: Calculați determinantul lui A

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Ca det(A) ≠ 0, ρ(A) = ordinul lui A = 3

Exemplul 3. Aflați rangul matricei old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} folosind metoda formei eșalonate.

șir în int java

Soluţie:

DatA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Pasul 1: Convertiți A în formă eșalon

Aplică R₂= R₂– 4R₁

Aplică R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Aplică R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Deoarece matricea A este acum în formă triunghiulară inferioară, este în formă eșalon.

Pasul 2: Numărul de rânduri diferite de zero în A = 2. Astfel ρ(A) = 2

Exemplul 4. Aflați rangul matricei old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} folosind metoda formei eșalonate.

Soluţie:

DatA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Pasul 1: Convertiți A în formă eșalon

Aplică R₂= R₂– 4R₁

Aplică R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Aplică R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Deoarece matricea A este acum în formă triunghiulară inferioară, este în formă eșalon.

Pasul 2: Numărul de rânduri diferite de zero în A = 2. Astfel ρ(A) = 2

Exemplul 5. Aflați rangul matricei old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} folosind metoda formei normale.

Soluţie:

DatA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Aplică R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁și R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Aplică R₁= R₁– 2R₂și R4 = R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplică R₁= R₁+ R₃și R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplica C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Aplică R₁= R₁/2, R₂= R₂/2, R₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Astfel A poate fi scris caegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Astfel, ρ(A) = 3

Rangul unei matrice – Întrebări frecvente

Definiți rangul unei matrice.

Rangul unei matrice este definit ca numărul de rânduri liniar independente dintr-o matrice. Se notează folosind ρ(A) unde A este orice matrice.

Cum să găsiți rangul unei matrice?

Rangul matricei poate fi calculat folosind diferite metode, cum ar fi:

• Metoda minoră
• Folosind formularul eșalon
• Folosind forma normală

Care este rangul matricei dacă determinantul matricei nu este egal cu zero?

Dacă determinantul unei matrice este zero, atunci rangul matricei este egal cu ordinea matricei.

Când se spune că o matrice este în formă de eșalon?

Se spune că o matrice care este în formă triunghiulară superioară sau în formă triunghiulară inferioară este în formă de eșalon.

Ce este forma normală a matricei?

Se spune că o matrice este în formă normală dacă poate fi scrisă ca egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} unde eu_reste matricea identitară a ordinului „r”.

Care este rangul matricei nule?

Rangul unei matrice nule este zero.

Care este rangul unei matrice de identitate?

Rangul unei matrice de identitate este egal cu ordinea matricei.

cat de mare este ecranul monitorului meu

Care este relația dintre nulitatea și rangul unei matrice?

Relația dintre nulitatea și rangul unei matrice este:

Total coloane dintr-o matrice = Rang + Nulitate