Formule de probabilitate sunt instrumente matematice importante utilizate în calculul probabilității. Înainte de a cunoaște formulele de probabilitate, trebuie să înțelegem pe scurt conceptul de Probabilitate. Posibilitatea apariției unui eveniment aleatoriu este definită de probabilitate. O probabilitate este o șansă de predicție. Aplicațiile sale se extind pe diverse domenii, inclusiv strategii de jocuri, crearea de previziuni bazate pe probabilitatea în afaceri și domeniul în evoluție al inteligenței artificiale.

În acest articol, vom afla semnificația și definiția formulei probabilității și cum să folosim aceste formule în calcularea probabilității. De asemenea, vedem diverși termeni legați de Probabilitate și diferite formule pentru a rezolva cu ușurință probleme matematice.

Cuprins

• Care este formula probabilității?
• Termeni legați de formula probabilității
• Evenimente în formula probabilității
• Formule de probabilitate diferite
• Exemple de formule de probabilitate

Care este formula probabilității?

Formulele de probabilitate sunt utilizate pentru a determina posibilitățile unui eveniment prin împărțirea numărului de rezultate favorabile la totalul rezultatelor posibile. Folosind această formulă, putem estima probabilitatea asociată cu o anumită apariție.

Din punct de vedere matematic, putem scrie această formulă ca:

P(A) = Numărul de rezultate favorabile / Numărul total de rezultate posibile

Formula probabilității calculează raportul dintre rezultatele favorabile și întregul set de rezultate posibile. Valoarea probabilității se află într-un interval de la 0 la 1, ceea ce înseamnă că rezultatele favorabile nu pot depăși rezultatele totale, iar valoarea negativă a rezultatelor favorabile nu este posibilă.

Învăța,

• Probabilitatea în matematică
• Teoria probabilității

Cum se calculează probabilitatea?

Probabilitatea unui eveniment = (Numărul de rezultate favorabile) / (Numărul total de rezultate posibile pentru eveniment)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Aici, P(A) semnifică probabilitatea unui eveniment A, unde n(E) este numărul de rezultate favorabile și n(S) este numărul total de rezultate posibile pentru eveniment.

Când se consideră evenimentul complementar, reprezentat ca P(A’), care denotă neapariția evenimentului A. atunci formula va fi:

P(A’) = 1- P(A)

P(A’), este opusul evenimentului A, indicând faptul că are loc fie evenimentul P(A), fie apare complementul său P(A’).

Prin urmare, acum putem spune; P(A) + P(A’) = 1

Învăța,

• Evenimente în probabilitate
• Tipuri de evenimente în probabilitate

Termeni legați de formula probabilității

Unii dintre cei mai comuni termeni legați de formula probabilității sunt:

• Experiment: Un experiment este o acțiune sau o procedură efectuată pentru a genera un anumit rezultat.

• Spațiu de probă: Spațiul de probă include rezultatele potențiale complete care provin dintr-un experiment. De exemplu, când aruncați o monedă, spațiul eșantion include {head, tail}.

• Rezultat favorabil: Un rezultat favorabil este rezultatul care se aliniază cu concluzia intenționată sau așteptată. În cazul aruncării a două zaruri, exemple de rezultate favorabile rezultate la o sumă de 4 sunt (1,3), (2,2) și (3,1).

• Proces: O încercare denotă executarea unui experiment aleatoriu.

• Experiment aleatoriu: A Experiment aleatoriu se caracterizează printr-un set bine definit de rezultate posibile. Exemplul de experiment aleatoriu este aruncarea unei monede, unde rezultatul ar putea fi fie cap, fie cozi. Asta înseamnă că rezultatul ar fi incert.

• Eveniment: Un eveniment denotă rezultatele totale provin dintr-un experiment aleatoriu.

• Evenimente la fel de probabile: Evenimentele la fel de probabile sunt acele evenimente care au probabilități identice de apariție. Rezultatul unui eveniment nu afectează rezultatul altuia.

• Evenimente exhaustive: Un eveniment exhaustiv are loc atunci când setul de toate rezultatele posibile acoperă întreg spațiul eșantion.

• Evenimente care se exclud reciproc: Evenimente care se exclud reciproc sunt cele care nu pot apărea simultan. De exemplu, atunci când aruncăm moneda, rezultatul va fi fie cap, fie coadă, dar nu le putem obține pe amândouă în același timp.

Evenimente în formula probabilității

În teoria probabilității, un eveniment reprezintă un set de rezultate posibile derivate dintr-un experiment. Formează adesea un subset al spațiului general de probă. Dacă reprezentăm probabilitatea unui eveniment E ca P(E), se aplică următoarele principii:

octeți python în șir

Când evenimentul E este imposibil, atunci P(E) = 0.

Când evenimentul E este sigur, atunci P(E) = 1.

Probabilitatea P(E) este între 0 și 1.

Luați în considerare două evenimente, A și B. Probabilitatea evenimentului A, notată cu P(A), care este mai mare decât probabilitatea evenimentului B, P(B).

Pentru un anumit eveniment E, formula probabilității va fi:

P(E)= n(E)/n(S)

Aici, n(E) reprezintă numărul de rezultate favorabile evenimentului E.

n(S) reprezintă numărul total de rezultate în spațiul eșantion.

Formule de probabilitate diferite

Diferitele formule de probabilitate sunt discutate mai jos:

Formula clasică de probabilitate

P(A) = Numărul de rezultate favorabile/Numărul total de rezultate posibile

Formula regulii de adunare

Când avem de-a face cu un eveniment care este unirea a două evenimente separate, de exemplu A și B, probabilitatea unirii va fi:

P(A sau B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Formula probabilității comune

Reprezintă elementele comune care constituie submulțimile distincte ale ambelor evenimente A și B. Formula poate fi exprimată astfel:

P (A ∩ B) = P (A).P (B)

Regula suplimentară pentru evenimente care se exclud reciproc

Dacă evenimentele A și B se exclud reciproc, înseamnă că nu pot avea loc în același timp, probabilitatea ca oricare dintre evenimente să se producă este egală cu suma probabilităților lor respective.

P(A sau B)=P(A)+P(B)

Formula de regulă complementară

Dacă A este un eveniment, atunci probabilitatea de a nu A este exprimată prin regula complementară:

P(nu A) = 1 – P(A) sau P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

Unele formule de probabilitate bazate pe acestea sunt următoarele:

P(A.A’) = 0

P(A.B) + P (A’.B’) = 1

P(A’B) = P(B) – P(A.B)

P(A.B’) = P(A) – P(A.B)

P(A+B) = P(AB’) + P(A’B) + P(A.B)

Formula de regulă condiționată

În cazul în care apariția evenimentului A este deja cunoscută, probabilitatea evenimentului B va avea loc, denumită probabilitate condiționată. Poate fi calculat folosind formula:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Probabilitatea (condițională) a evenimentului B când a avut loc evenimentul A.

P (A/B): Probabilitatea (condițională) a evenimentului A când a avut loc evenimentul B.

Formula de frecvență relativă

Formula de frecvență relativă se bazează pe frecvențele observate în datele din lumea reală. Această formulă este dată ca

P(A) = Numărul de apariții evenimentului A/Numărul total de încercări sau observații

Formula probabilității cu regula înmulțirii

În situațiile în care un eveniment reprezintă apariția simultană a altor două evenimente, notate ca evenimente A și B, probabilitățile ca ambele evenimente să se întâmple simultan pot fi calculate folosind următoarele formule:

P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (în cazul evenimentelor independente)

P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (în cazul evenimentelor dependente)

Eveniment disjunc

Evenimentele disjunctive sunt evenimente care nu au loc niciodată în același timp. Acestea sunt cunoscute și ca evenimente care se exclud reciproc.

P(A∩B) = 0

Teorema lui Bayes

Teorema lui Bayes calculează probabilitatea evenimentului A având în vedere apariția evenimentului B. Teorema lui Baye Formula este dată ca

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Învăța, Teorema lui Bayes

Formula de probabilitate dependentă

Probabilitatea dependentă sunt evenimente care sunt afectate de apariția altor evenimente. Formula pentru probabilitatea dependentă este:

P(B și A) = P(A)×P(B | A)

Formula independentă de probabilitate

Probabilitatea independentă sunt evenimente care nu sunt afectate de apariția altor evenimente. Formula probabilității independente este:

P(A și B) = P(A)×P(B)

Formula de probabilitate binominală

Formula probabilității binomiale este dată ca

P(x) = ⁿ C _X · p ^X (1 − p) ^n−x sau P(r) = [n!/r!(n−r)!]· p ^r (1 − p) ^n−r

Unde, n = Numărul total de evenimente

r sau x = Numărul total de evenimente reușite.

p = Probabilitatea de succes într-o singură încercare.

ⁿC_r= [n!/r!(n−r)]!

1 – p = Probabilitatea de eșec.

Învăța, Distribuție binomială

Formula probabilității normale

Formula probabilității normale este dată de:

P(x) = (1/√2П) e ^{(-x^2/2)}

Învăța, Distributie normala

Formula de probabilitate experimentală

Formula pentru probabilitatea experimentală este;

Probabilitatea P(x) = Numărul de ori când apare un eveniment / Numărul total de încercări.

Formula probabilității teoretice

Formula probabilității teoretice este:

P(x) = Numărul de rezultate favorabile/ Numărul de rezultate posibile.

Formula probabilității abaterii standard

Formula probabilității deviației standard este dată ca

P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}

Formula probabilității Bernoulli

O variabilă aleatoare X va avea distribuție Bernoulli cu probabilitatea p, formula este:

P(X = x) = p ^X (1 – p) ^1−x , pentru x = 0, 1 și P(X = x) = 0 pentru alte valori ale lui x

Aici, 0 este eșecul și 1 este succesul.

Învăța, Distribuția Bernoulli

Formula de probabilitate clasa 10

În clasa 10, trebuie să studiem probabilitatea de bază, cum ar fi probabilitatea de a arunca o monedă, de a arunca 2 monede, de a arunca 3 monede, de a arunca un zar, de a arunca două zaruri, probabilitatea de a trage o carte din pachetul bine amestecat. Toate aceste întrebări pot fi rezolvate cu o singură formulă. Formula de probabilitate Clasa 10 este dată ca

P(E) = n(E)/n(s)

Unde,

P(E) este probabilitatea unui eveniment

n(E) este numărul de încercări în care a avut loc evenimentul

n(S) este numărul de spațiu eșantion

Formula probabilității pentru clasa 12

Diversele formule utilizate în clasa de probabilitate 12 sunt tabelate mai jos:

De asemenea, verifica

• Probabilitatea aruncării monedelor
• Probabilitatea cardului
• Formule statistice

Exemple de formule de probabilitate

Exemplul 1: Selectați o carte la întâmplare dintr-un pachet standard. Care este probabilitatea de a trage o carte cu chip feminin?

Soluţie:

Într-un pachet standard care conține 52 de cărți: Total rezultate posibile = 52

Numărul de evenimente favorabile (luând în considerare doar reginele drept fețe feminine) = 4

Prin urmare, probabilitatea P(A) se calculează folosind formula:

P(A) = Numărul de rezultate favorabile ÷ Numărul total de rezultate

= 4/52

= 1/13.

Exemplul 2: Dacă Probabilitatea evenimentului E, notată cu P(E)=0,35, care este probabilitatea evenimentului complementar „nu E”?

Soluţie:

Având în vedere că P(E)=0,35, putem folosi formula de probabilitate complementară:

P(E) + P(nu E) = 1

Înlocuind valoarea cunoscută:

P(nu E) = 1 – P(E)

P(nu E) = 1 – 0,35

Prin urmare, P(nu E) = 0,65

Exemplul 3: Incendiile periculoase sunt foarte rare în jur de 1%, dar fumul este destul de comun în jurul a 20% din cauza grătarelor. Găsiți focul periculos atunci când 80% dintre incendiile periculoase produc fum.

Soluţie:

Probabilitatea unui incendiu periculos atunci când există fum folosind teorema Bayes:

P(Foc|Fum) = {P(Foc)P(Foc Foc)}/P(Fum)

P(Foc)=0,01(1%) și P(Fum|Foc)=0,80 (80%), putem înlocui aceste valori:

P(Foc | Fum)=( 0,02×0,90)/ 0,30

(Foc | Fum)=0,018/0,30

(Foc | Fum)= 0,06 = 6%.

Exemplul 4: Într-o pungă, există 2 becuri verzi, 4 becuri portocalii și 6 becuri albe. Când un bec este ales aleatoriu din pungă, care este probabilitatea de a alege fie un bec verde, fie unul alb?

Soluţie:

Numărul total de becuri din pungă este de 2 verzi + 4 portocalii + 6 albi = 12 becuri

Numărul de becuri verzi = 2, iar numărul de becuri albe = 6

Probabilitate = (Număr de becuri verzi + Număr de becuri albe) / Număr total de becuri

Probabilitate = (2+6)/12

Probabilitate = 8/12

Probabilitate = 2/3.

Întrebări practice privind formula probabilității

Î1. Dintr-o colecție de bile dintr-o pungă - 8 roșii, 9 albastre și 6 verzi - două bile sunt alese aleatoriu fără a fi înlocuite. Care este probabilitatea ca ambele bile selectate să fie albastre?

Q2. Într-un sertar care conține 6 pixuri negre, 4 pixuri albastre și 7 pixuri roșii, un pix este extras la întâmplare. Care este probabilitatea ca stiloul să fie fie negru, fie albastru?

Q3. Tragând o carte dintr-un pachet de 52 de cărți bine amestecat, determinați probabilitatea ca cartea să:

• Fii un rege.
• Nu fi un rege.

Î4. Potrivit unui sondaj, 70% dintre indivizi se bucură de ciocolată, iar dintre acei pasionați de ciocolată, 60% au și o plăcere pentru vanilie. Care este probabilitatea ca unui individ să-i placă vanilia, având în vedere pasiunea pentru ciocolată?

Î5. Determinați probabilitatea de a arunca un număr impar atunci când este aruncat un zar cu șase fețe.

Formula probabilității – Întrebări frecvente

1. Ce este semnificația probabilității?

Posibilitatea de apariție a unui eveniment aleatoriu este definită de probabilitate. O probabilitate este o șansă de predicție.

2. Care este semnificația formulei probabilității?

Formulele de probabilitate sunt utilizate pentru a determina posibilitățile unui eveniment prin împărțirea numărului de rezultate favorabile la totalul rezultatelor posibile. Valoarea probabilității se află într-un interval de la 0 la 1, ceea ce înseamnă că rezultatele favorabile nu pot depăși rezultatele totale, iar valoarea negativă a rezultatelor favorabile nu este posibilă.

3. Care este semnificația notației U și ∩ în Probabilitate?

Simbolul U în probabilitate denotă o distribuție uniformă. Pe de altă parte, simbolul ∩ semnifică intersecția mulțimilor. În termeni mai simpli, intersecția a două mulțimi este cea mai extinsă mulțime care implică toate elementele împărtășite de ambele mulțimi.

4. Care este formula convențională pentru a calcula probabilitatea?

Probabilitatea unui eveniment = (Numărul de rezultate favorabile) / (Numărul total de rezultate posibile pentru eveniment)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Aici, P(A) semnifică Probabilitatea unui eveniment A, unde n(E) este numărul de rezultate favorabile și n(S) este numărul total de rezultate posibile pentru eveniment.

5. Ce este Formula Complementară?

Dacă A este un eveniment, atunci probabilitatea de a nu A este exprimată prin regula complementară:

P(nu A) = 1 – P(A) sau P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

6. Ce este Evenimentul Disjoint?

Evenimentele disjunctive sunt evenimente care nu au loc niciodată în același timp. Acestea sunt cunoscute și ca evenimente care se exclud reciproc.

P(A∩B) = 0.

7. Ce este teorema lui Bayes?

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Teorema lui Bayes calculează probabilitatea evenimentului A având în vedere apariția evenimentului B.

diferenta de data excel

8. Ce este Formula Condițională?

În cazul în care apariția evenimentului A este deja cunoscută, probabilitatea evenimentului B va avea loc, denumită probabilitate condiționată. Poate fi calculat folosind formula:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Probabilitatea (condițională) a evenimentului B când a avut loc evenimentul A.

P (A/B): Probabilitatea (condițională) a evenimentului A când a avut loc evenimentul B.

9. Care sunt câteva exemple din viața reală de Probabilitate?

Predicțiile vremii, jocurile de cărți, votul politic, jocurile cu zaruri și aruncarea unei monede etc. sunt câteva exemple de probabilitate