Teorema lui Bayes este folosit pentru a determina probabilitatea condiționată a unui eveniment. A fost numit după un statistician englez, Thomas Bayes care a descoperit această formulă în 1763. Teorema Bayes este o teoremă foarte importantă în matematică, care a pus bazele unei abordări unice de inferență statistică numită Inferența lui Bayes. Este folosit pentru a găsi probabilitatea unui eveniment, pe baza cunoștințelor anterioare a condițiilor care ar putea fi legate de acel eveniment.

De exemplu, dacă vrem să găsim probabilitatea ca o bilanță albă extrasă la întâmplare să provină din prima pungă, având în vedere că o bilanță albă a fost deja desenată și Există trei pungi care conțin fiecare niște bile albe și negre, apoi putem folosi teorema lui Bayes.

Acest articol explorează teorema Bayes, inclusiv afirmația, demonstrația, derivarea și formula teoremei, precum și aplicațiile sale cu diverse exemple.

câte zerouri în 1 miliard

Ce este teorema lui Bayes?

Teorema Bayes (cunoscută și ca Regula Bayes sau Legea Bayes) este folosită pentru a determina probabilitatea condiționată a evenimentului A când evenimentul B a avut deja loc.

Afirmația generală a teoremei lui Bayes este Probabilitatea condiționată a unui eveniment A, dată fiind apariția unui alt eveniment B, este egală cu produsul evenimentului B, dat A și probabilitatea A împărțită la probabilitatea evenimentului B. adică

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

Unde,

• P(A) și P(B) sunt probabilitățile evenimentelor A și B
• P(A|B) este probabilitatea evenimentului A când se întâmplă evenimentul B
• P(B|A) este probabilitatea evenimentului B când se întâmplă A

Verifica: Teorema lui Bayes pentru probabilitatea condiționată

Teorema lui Bayes

Teorema lui Bayes pentru n mulțime de evenimente este definită ca:

Fie E₁, ȘI₂,…, ȘI_nsă fie un set de evenimente asociate cu spațiul eșantion S, în care toate evenimentele E₁, ȘI₂,…, ȘI_nau o probabilitate de apariție diferită de zero. Toate evenimentele E₁, ȘI₂,…, E formează o partiție a lui S. Fie A un eveniment din spațiul S pentru care trebuie să găsim probabilitatea, apoi conform teoremei lui Bayes,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

pentru k = 1, 2, 3, …., n

Formula teoremei Bayes

Pentru oricare două evenimente A și B, atunci formula pentru teorema Bayes este dată de: (imaginea de mai jos oferă formula teoremei lui Bayes)

Formula teoremei lui Bayes

Unde,

• P(A) și P(B) sunt probabilitățile evenimentelor A și B și P(B) nu este niciodată egal cu zero.
• P(A|B) este probabilitatea evenimentului A când se întâmplă evenimentul B
• P(B|A) este probabilitatea evenimentului B când se întâmplă A

Derivarea teoremei lui Bayes

Dovada teoremei lui Bayes este dată ca, conform formulei probabilității condiționate,

P(E _i |A) = P(E _i ∩A) / P(A)…..(i)

Apoi, folosind regula probabilității înmulțirii, obținem

P(E _i ∩A) = P(E _i )P(A|E _i )……(ii)

Acum, după teorema probabilității totale,

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Înlocuind valoarea lui P(E_i∩A) și P(A) din eq (ii) și eq(iii) din eq(i) obținem,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

Teorema lui Bayes este cunoscută și sub numele de formula pentru probabilitatea cauzelor . După cum știm, E _i ‘s sunt o partiție a spațiului eșantion S, și la un moment dat doar unul dintre evenimentele E _i apare. Astfel, concluzionăm că formula teoremei lui Bayes oferă probabilitatea unui anumit E_i, având în vedere evenimentul A avut loc.

Termeni legați de teorema Bayes

După ce am aflat în detaliu despre teorema Bayes, să înțelegem câțiva termeni importanți legați de conceptele pe care le-am acoperit în formulă și derivare.

• Ipoteze: Evenimente care au loc în spațiul eșantion ȘI ₁ , ȘI ₂ ,… ȘI _n se numeste ipoteze

• Probabilitate a priori: Probabilitatea priori este probabilitatea inițială ca un eveniment să se producă înainte ca orice date noi să fie luate în considerare. P(E_i) este probabilitatea a priori a ipotezei E_i.

• Probabilitate posterior: Probabilitatea posterioară este probabilitatea actualizată a unui eveniment după luarea în considerare a unor noi informații. Probabilitatea P(E_i|A) este considerată probabilitatea posterioară a ipotezei E_i.

Probabilitate condițională

• Probabilitatea unui eveniment A bazată pe apariția unui alt eveniment B se numește probabilitate condițională .
• Se notează ca P(A|B) și reprezintă probabilitatea A când evenimentul B sa întâmplat deja.

Probabilitate comună

Când se măsoară probabilitatea ca încă două evenimente să apară împreună și în același timp, aceasta este marcată ca probabilitate comună. Pentru două evenimente A și B, este notat cu probabilitatea comună este notat ca, P(A∩B).

Variabile aleatoare

Variabilele cu valoare reală ale căror valori posibile sunt determinate prin experimente aleatorii se numesc variabile aleatoare. Probabilitatea de a găsi astfel de variabile este probabilitatea experimentală.

Aplicații teoremei lui Bayes

Inferența bayesiană este foarte importantă și și-a găsit aplicație în diverse activități, inclusiv medicină, știință, filozofie, inginerie, sport, drept etc., iar inferența bayesiană este derivată direct din teorema lui Bayes.

Exemplu: Teorema lui Bayes definește acuratețea testului medical luând în considerare cât de probabil este o persoană să aibă o boală și care este acuratețea generală a testului.

Diferența dintre probabilitatea condiționată și teorema Bayes

Diferența dintre probabilitatea condiționată și teorema Bayes poate fi înțeleasă cu ajutorul tabelului de mai jos,

Teorema Probabilității Totale

Fie E₁, ȘI₂, . . ., ȘI_nsunt evenimente care se exclud reciproc și sunt exhaustive asociate cu un experiment aleatoriu și lasă E un eveniment care are loc cu un anumit E_i. Apoi, dovedeste asta

P(E) = ⁿ ∑ _i=1 P(E/E _i ). P(E _j )

Dovada:

Fie S spațiul eșantion. Apoi,

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ Unu și E_i∩ E_j= ∅ pentru i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_n)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_n)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_n)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_n)

{Prin urmare, (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_n)} sunt disjunse în perechi}

⇒ P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + . . . + P(E/E_n). P(E_n) [prin teorema înmulțirii]

⇒ P(E) =ⁿ∑_i=1P(E/E_i). P(E_i)

Articole legate de teorema lui Bayes

• Distribuția probabilității
• Teorema lui Bayes pentru probabilitatea condiționată
• Permutări și combinații
• Teorema binomială

Concluzie – Teorema lui Bayes

Teorema lui Bayes oferă un cadru puternic pentru actualizarea probabilității unei ipoteze bazate pe noi dovezi sau informații. Prin încorporarea cunoștințelor anterioare și actualizarea acestora cu datele observate, teorema lui Bayes permite luarea deciziilor mai precise și informate într-o gamă largă de domenii, inclusiv statistici, învățare automată, medicină și finanțe. Aplicațiile sale se întind de la diagnosticarea medicală și evaluarea riscurilor până la filtrarea spamului și procesarea limbajului natural.

Înțelegerea și aplicarea teoremei lui Bayes ne permite să facem predicții mai bune, să estimăm incertitudinile și să extragem perspective semnificative din date, îmbunătățind în cele din urmă capacitatea noastră de a lua decizii informate în situații complexe și incerte.

Verificați și:

ciclul de viață sdlc

• Teorema lui Bayes în data mining
• Teorema Bayes în inteligența artificială
• Teorema Bayes în învățarea automată

Exemple teoremei Bayes

Exemplul 1: O persoană și-a asumat un loc de muncă. Probabilitățile de finalizare a lucrării la timp cu și fără ploaie sunt de 0,44 și respectiv 0,95. Dacă probabilitatea ca să plouă este de 0,45, atunci determinați probabilitatea ca lucrarea să fie finalizată la timp.

Soluţie:

Fie E₁fi cazul în care lucrarea minieră va fi finalizată la timp și E₂fie cazul în care plouă. Avem,

P(A) = 0,45,

P(fără ploaie) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Prin legea înmulțirii probabilității,

P(E₁) = 0,44 și P(E₂) = 0,95

Deoarece evenimentele A și B formează partiții ale spațiului eșantion S, prin teorema probabilității totale, avem

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Deci, probabilitatea ca lucrarea să fie finalizată la timp este de 0,7205

Exemplul 2: Există trei urne care conțin 3 bile albe și 2 negre; 2 bile albe si 3 negre; 1 bile negre și respectiv 4 albe. Există o probabilitate egală ca fiecare urnă să fie aleasă. O minge are probabilitate egală aleasă la întâmplare. care este probabilitatea ca o bila alba sa fie extrasa?

sortarea unui arraylist java

Soluţie:

Fie E₁, ȘI₂, și E₃fie evenimentele de alegere a primei, a doua și, respectiv, a treia urne. Apoi,

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

Fie E evenimentul în care este extrasă o bilă albă. Apoi,

P(E/E₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Prin teorema probabilității totale, avem

P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + P(E/E₃). P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Exemplul 3: O carte dintr-un pachet de 52 de cărți este pierdută. Din cărțile rămase din pachet, două cărți sunt extrase și se găsesc că sunt ambele inimi. găsiți probabilitatea ca cardul pierdut să fie o inimă.

Soluţie:

Fie E₁, ȘI₂, ȘI_3,și E₄fie evenimentele de pierdere a unei cărți de inimi, crose, pică și, respectiv, diamante.

Apoi P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Fie E evenimentul tragerii a 2 inimi din restul de 51 de cărți. Apoi,

P(E|E₁) = probabilitatea de a extrage 2 inimi, având în vedere că lipsește o carte de inimi

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = probabilitatea de a extrage 2 crose, dat fiind că lipsește o carte de crose

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = probabilitatea de a extrage 2 pică, având în vedere că lipsește o carte cu inimi

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = probabilitatea de a extrage 2 diamante, având în vedere că lipsește o carte de diamante

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Prin urmare,

P(E₁|E) = probabilitatea ca cartea pierdută să fie o inimă, având în vedere că cele 2 inimi sunt extrase din restul de 51 de cărți

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Prin urmare, probabilitatea necesară este 0,22.

Exemplul 4: Să presupunem că 15 bărbați din 300 de bărbați și 25 de femei din 1000 sunt buni oratori. Un orator este ales la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca o persoană de sex masculin să fie selectată. Să presupunem că există un număr egal de bărbați și femei.

Soluţie:

Gievn,

• Total bărbați = 300
• Total femei = 1000
• Oratori buni între bărbați = 15
• Oratorii buni în rândul femeilor = 25

Numărul total de oratori buni = 15 (de la bărbați) + 25 (de la femei) = 40

Probabilitatea de a alege un orator de sex masculin:

P(Male Orator) = Numărul de oratori bărbați / numărul total de oratori = 15/40

Exemplul 5: Se știe că un bărbat spune minciunile de 1 din 4 ori. El aruncă un zar și raportează că este un șase. Găsiți probabilitatea ca de fapt șase.

Soluţie:

Într-o aruncare de zar, lasă

ȘI₁= evenimentul obținerii unui șase,

ȘI₂= eveniment de a nu obține un șase și

E = eveniment că bărbatul raportează că este un șase.

Apoi, P(E₁) = 1/6 și P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = probabilitatea ca bărbatul să raporteze că șase are loc atunci când șase au avut loc efectiv

⇒ P(E|E₁) = probabilitatea ca omul să spună adevărul

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = probabilitatea ca bărbatul să raporteze că șase să apară atunci când șase nu a avut loc efectiv

⇒ P(E|E₂) = probabilitatea ca omul să nu spună adevărul

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Probabilitatea de a obține un șase, dat fiind că bărbatul raportează că este șase

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [prin teorema lui Bayes]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

caracter cu șir

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

Prin urmare, probabilitatea necesară este 3/8.

Întrebări frecvente despre teorema lui Bayes

Care este teorema lui Bayes?

Bayes, teorema așa cum sugerează și numele este o teoremă matematică care este folosită pentru a găsi probabilitatea de condiționalitate a unui eveniment. Probabilitatea condiționată este probabilitatea evenimentului care va avea loc în viitor. Acesta este calculat pe baza rezultatelor anterioare ale evenimentelor.

Când se folosește teorema lui Bayes?

Teorema lui Bayes are o gamă largă de aplicații, în special în domeniile care se ocupă cu actualizarea probabilităților pe baza unor date noi. Regula Bayes vă permite să calculați probabilitate posterioară (sau actualizată). Este folosit pentru a calcula probabilitatea condiționată a evenimentelor.

Care sunt câțiva termeni cheie pentru a înțelege teorema lui Bayes?

Unii dintre termenii cheie sunt:

• Probabilitate anterioară (P(A))
• Probabilitate posterioară (P(A | B))
• Probabilitate (P(B | A))
• Probabilitate marginală (P(B))

Când să folosiți teorema lui Bayes?

Teorema lui Bayes este aplicabilă atunci când este dată probabilitatea condiționată a unui eveniment, este folosită pentru a găsi probabilitatea inversă a evenimentului.

Cum este teorema lui Bayes diferită de probabilitatea condiționată?

Teorema lui Bayes este folosită pentru a defini probabilitatea unui eveniment pe baza condițiilor anterioare ale evenimentului. În timp ce, teorema lui Bayes folosește probabilitatea condiționată pentru a găsi probabilitatea inversă a evenimentului.

Care este formula pentru teorema lui Bayes?

Formula teoremei Bayes este explicată mai jos,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)