Determinant al matricei 4×4: Determinantul unei matrice este un concept fundamental în algebra liniară, esențial pentru derivarea unei singure valori scalare din matrice. 4×4 este o matrice pătrată cu 4 rânduri și 4 coloane al cărei determinant poate fi găsit printr-o formulă pe care o vom discuta.
Acest articol va explora definirea unei matrice 4 × 4 și ghid prin procesul pas cu pas de calculare a determinantului matricei 4 × 4. În plus, explorează aplicațiile practice ale acestei operații matematice.
Cuprins
- Care este determinantul unei matrice?
- Determinant al matricei 4×4
- Determinant al formulei matriceale 4 × 4
- Determinant al exemplelor de matrice 4×4
- Determinant al întrebărilor practice 4×4 Matrix
Care este determinantul unei matrice?
The determinant al unei matrice este o valoare scalară care poate fi calculată din elementele lui a matrice pătrată . Oferă informații importante despre matrice, cum ar fi dacă este inversabilă și factorul de scalare al transformărilor liniare reprezentat de matrice.
Diverse metode, cum ar fi cofactor extinderea sau reducerea rândurilor, pot fi folosite pentru a găsi determinantul unei matrice, în funcție de dimensiunea și structura matricei. Odată calculat, determinantul este notat cu simbolul det sau barele verticale care înconjoară matricea.
Determinant al matricei 4×4
O matrice 4×4 este o matrice dreptunghiulară de numere dispuse pe patru rânduri și patru coloane. Fiecare element din matrice este identificat prin poziția rândului și coloanei sale. Forma generală a unei matrice 4×4 arată astfel:
egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}
Unde unijreprezintă elementul situat în ithrând și jthcoloana matricei.
Matricele 4×4 sunt frecvent întâlnite în diferite domenii, cum ar fi grafica pe computer, fizică, inginerie și matematică. Ele sunt folosite pentru a reprezenta transformări, pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare și pentru a efectua operații în algebră liniară.
Proprietățile matricei 4×4
Iată câteva proprietăți ale unei matrice 4×4 explicate în termeni simplificați:
- Matrice pătrată: O matrice 4×4 are un număr egal de rânduri și coloane, ceea ce o face o matrice pătrată.
- Determinant: Determinantul unei matrice 4×4 poate fi calculat folosind metode precum extinderea cofactorului sau reducerea rândurilor. Oferă informații despre inversibilitatea matricei și factorul de scalare pentru transformările liniare.
- Invers: O matrice 4×4 este inversabilă dacă determinantul său este diferit de zero. Inversul unei matrice 4×4 permite rezolvarea sistemelor de ecuații liniare și anularea transformărilor reprezentate de matrice.
- Transpune: Transpunerea unei matrice 4×4 se obține prin interschimbarea rândurilor și coloanelor acesteia. Poate fi util în anumite calcule și transformări.
- Valori proprii și vectori proprii: Matricele 4×4 pot fi analizate pentru a le găsi valori proprii și vectori proprii , care reprezintă proprietățile matricei sub transformări liniare.
- Simetrie: În funcție de matricea specifică, poate prezenta proprietăți de simetrie, cum ar fi a fi simetrică, asimetrică sau nici una.
- Operații cu matrice: Diverse operații precum adunarea, scăderea, înmulțirea și înmulțirea scalară pot fi efectuate pe matrice 4×4 urmând reguli și proprietăți specifice.
Citiți în detaliu: Proprietățile determinanților
Determinant al formulei matriceale 4 × 4
Determinant al oricărei matrice 4 × 4, adică
it(A) = a unsprezece · ea (A unsprezece ) - A 12 · ea (A 12 ) + a 13 · ea (A 13 ) - A 14 · ea (A 14 )
Unde unijdenotă submatricea prin ștergerea ithrând și jthcoloană.
Cum găsești determinantul unei matrice 4 × 4?
Pentru a găsi determinantul unei matrice 4×4, puteți utiliza diverse metode, cum ar fi extinderea prin minore, reducerea rândurilor sau aplicarea unor proprietăți specifice.
O metodă obișnuită este să utilizați extinderea prin minori, în care vă extindeți de-a lungul unui rând sau coloanei înmulțind fiecare element cu cofactorul său și însumând rezultatele. Acest proces continuă recursiv până când ajungeți la o submatrice 2×2, pentru care puteți calcula direct determinantul. Pentru a înțelege cum să găsiți determinantul unei matrice 4×4, luați în considerare un exemplu.
egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}
Pasul 1: extindeți de-a lungul primului rând:
it(A) = 2 · it(A unsprezece ) – 1 · it(A 12 ) + 3 · it(A 13 ) – 4 · it(A 14 )
Unde unijdenotă submatricea obținută prin ștergerea rândului i și coloanei j-a.
Pasul 2: Calculați determinantul fiecărei submatrice 3×3.
Pentru ounsprezece
⇒ |Aunsprezece| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]
⇒ |Aunsprezece| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]
⇒ |Aunsprezece| = 10 – 2(-13) + 4
⇒ |Aunsprezece| = 10 + 26 + 4= 40
Pentru o12
⇒ |A12| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]
⇒ |A12| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]
⇒ |A12| = 0 – 2(8) + 6
⇒ |A12| = 0 – 16+ 6= 10
Pentru o13
⇒ |A13| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A13| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A13| = 0 – (-1)(8) + 2(11)
⇒ |A13| = 8 + 22= 30
Pentru o14
⇒ |A14| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]
⇒ |A14| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]
⇒ |A14| = 0 – (-1)(6) + 2(11)
⇒ |A14| = 6 + 22 = 28
Pasul 3: Înlocuiți determinanții submatricilor 3×3 în formula de expansiune:
(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28
modelul tcp ip
Pasul 4: Calculați determinantul final:
it(A) = 80 – 10 + 90 – 112
it(A) = 48
Deci, determinantul matricei date 4×4 este 48.
De asemenea, verifica
- Determinant al matricei 2×2
- Determinant al matricei 3×3
Determinant al exemplelor de matrice 4×4
Exemplul 1: A =
Soluţie:
Mai întâi, extindeți de-a lungul primului rând:
ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14}) Acum, calculați determinantul fiecărei submatrice 3×3.
Pentru o unsprezece ):
A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) = (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))
= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))
= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)
= -13 – 12
= -25
Pentru o 12 ):
A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight) = (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2 ) -(1)(1))
= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))
= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)
= -14 – 0 – 21
= -35
Pentru o 13 ):
A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}
ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0 ) )-(2)(1))
= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))
= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)
= 12 + 14 – 6
= 20
Pentru o 14 ):
A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}
ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight) = (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))
= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))
= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)
= -8 – 5 + 0
= -13
Acum, înlocuiți determinanții submatricilor 3×3 în formula de expansiune:
det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)
= -50 + 35 + 0 + 39
= -50 + 35 + 39
= 24
Deci, determinantul matricei (A) este 24.
Exemplul 2: Calculați determinantul matricei
Soluţie:
Pentru a găsi determinantul matricei ( A ), vom folosi metoda expansiunii prin minori de-a lungul primului rând:
ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} Acum, să calculăm determinanții submatricilor 3×3:
formatarea șirurilor de caractere java
ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2))) = 2 · (0 – 4 + 30) = 52
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4)) = -1 · (1 – 6 + 45) = 60
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (6 – 0 – 50) = 44
ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4)) = -1 · (8 – 0 + 0) = -8
Acum, înlocuiți acești determinanți înapoi în formula de expansiune:
it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120
Deci, determinantul matricei ( A ) este det(A) = -120.
Exemplul 3: Aflați determinantul matricei B =
Soluţie:
Pentru a găsi determinantul matricei ( B ), vom folosi metoda expansiunii prin minori de-a lungul primului rând:
ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix} Acum, să calculăm determinanții submatricilor 3×3:
ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2)) = -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))
= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3)) = 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))
= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3
ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3) = -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)
= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3
= 24 + 6 + 6
= 36
Acum, înlocuiți acești determinanți înapoi în formula de expansiune:
det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ orice
= 8 + 9 – 36 + 0
= -19
Deci, determinantul matricei ( B ) este det(B) = -19
Determinant al întrebărilor practice 4×4 Matrix
Î1: Calculați determinantul următoarei matrice 4×4:
Î2: Aflați determinantul matricei:
Q3: Calculați determinantul următoarei matrice 4×4:
Î4: Determinați determinantul matricei:
Î5: Aflați determinantul matricei:
Întrebări frecvente despre determinantul matricei 4×4
Cum găsești determinantul unei matrice 4×4?
Pentru a găsi determinantul unei matrice 4×4, puteți utiliza diverse metode, cum ar fi tehnicile de extindere a cofactorilor sau de reducere a rândurilor.
Care este determinantul unei matrice de identitate 4×4?
Determinantul unei matrice de identitate 4×4 este 1, deoarece este un caz special în care toate elementele diagonale sunt 1, iar restul sunt 0.
Cum să găsiți determinantul unei matrice 4×4 folosind expansiunea cofactorului?
Determinarea determinantului unei matrici 4×4 folosind expansiunea cofactorului implică descompunerea acestuia în matrici mai mici 3×3, aplicarea formulei cofactorului și însumarea produselor.
Care este formula determinantului?
Formula pentru determinant presupune însumarea produselor elementelor și cofactorilor acestora în fiecare rând sau coloană, luând în considerare semnele acestora.
Poate un determinant să fie negativ?
Da, determinanții pot fi negativi, pozitivi sau zero, în funcție de matricea specifică și de proprietățile acesteia.
Poate o matrice 4×4 să aibă un invers?
O matrice 4×4 poate avea o inversă dacă determinantul său este diferit de zero; în caz contrar, este singular și nu are un invers.
Cum arăți că o matrice 4×4 este inversabilă?
Pentru a arăta că o matrice 4×4 este inversabilă, confirmați că determinantul său este diferit de zero, indicând existența unei inverse și utilizați criterii suplimentare precum reducerea rândurilor pentru a verifica inversibilitatea.