Determinant este un concept fundamental în algebra liniară folosit pentru a găsi o singură valoare scalară pentru matricea dată. Acest articol va explica ce este o matrice 3 × 3 și cum se calculează pas cu pas determinantul unei matrice 3 × 3, precum și aplicațiile acesteia. Indiferent dacă sunteți un student care învață algebră liniară sau un entuziast care caută o înțelegere mai profundă a operațiilor matriceale, înțelegerea determinantului unei matrice 3 × 3 este o abilitate valoroasă de dobândit.

Care este determinantul matricei?

Determinant al unei matrice este un singur număr calculat dintr-o matrice pătrată. În domeniul algebrei liniare, determinanții se găsesc folosind valorile din matricea pătrată. Acest număr acționează ca un factor de scalare, influențând modul în care se transformă matricea. Determinanții sunt valoroși pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, găsirea inversului unei matrice și diferite operații de calcul.

Ce este 3 × 3 Matrix?

O matrice 3 × 3 este a matrice în care numărul de rânduri și coloane sunt ambele egale cu 3. Deoarece numărul de rânduri și coloane sunt egale, prin urmare 3 × 3 este o matrice pătrată de ordinul 3 × 3. O matrice este ca un tabel format din numere, organizate în rânduri și coloane. Este folosit pentru a stoca și a lucra cu date din matematică și alte domenii. În timp ce, o matrice 3 × 3 este un tip specific de matrice care constă din trei rânduri și trei coloane. Poate fi reprezentat ca:

Matrice 3 × 3

Proprietăți ale matricei 3 × 3

Ca și alte matrici, matricele 3 × 3 au, de asemenea, unele proprietăți importante.

• Matrice pătrată : O matrice 3 × 3 are trei rânduri și trei coloane, ceea ce o face o matrice pătrată.

• Determinant: O matrice 3 × 3 are un determinant, o valoare numerică crucială pentru rezolvarea ecuațiilor și găsirea inverselor.

• Înmulțirea matricei: Puteți înmulți o matrice de 3 × 3 cu o altă matrice dacă numărul de coloane din prima matrice se potrivește cu numărul de rânduri din a doua.

• Invers: O matrice 3 × 3 poate avea o inversă dacă determinantul său este diferit de zero. Matricea inversă, atunci când este înmulțită cu matricea originală, dă matricea de identitate.

Determinant al formulei matriceale 3 × 3

Există diferite metode pentru a calcula determinantul unei matrice. Cea mai comună abordare este împărțirea unei matrice 3 × 3 dată în determinanți mai mici de 2 × 2. Acest lucru simplifică procesul de găsire a determinantului și este utilizat pe scară largă în algebra liniară.

Să luăm o matrice pătrată de 3 × 3 care este scrisă ca:

Pentru a calcula determinantul matricei A, adică |A|.

Extindeți Matricea de-a lungul elementelor din primul rând.

Prin urmare,

Cum găsești determinantul unei matrice 3 × 3?

Să înțelegem calculul unei matrice 3 × 3 cu un exemplu. Pentru matricea 3 × 3 dată de mai jos.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Pasul 1: Alegeți un rând sau o coloană de referință

Selectați un rând și o coloană pentru a începe, să presupunem că în acest exemplu luăm primul element (2) ca referință pentru a calcula determinantul matricei 3 × 3.

Deci, extinzându-se de-a lungul rândului R₁

Pasul 2: tăiați rândul și coloana

Eliminați rândul și coloana alese pentru a le simplifica într-o matrice 2 × 2.

Matrice 2×2

Pasul 3: Găsiți determinantul matricei 2 × 2

Găsiți determinantul matricei 2 × 2 folosind formula

Determinant = (a × d) – (b × c)

Înmulțire încrucișată

Aici, a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

punând aceste valori în formula de mai sus a determinantului, obținem

Determinant = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinant = 0- (-1)

Determinant = 0+1

∴ Determinant al matricei 2 × 2 = 1

Pasul 4: Înmulțiți cu elementul ales

Înmulțiți determinantul matricei 2 × 2 cu elementul ales din rândul de referință (care este 2,1 și 3 în acest caz):

primul element = 2 × 1 = 2

Pasul 5: Repetați acest proces pentru al doilea element din rândul de referință ales

Pentru al doilea element

îmbinare sortare java

Găsiți determinantul pentru al doilea element 1 punând în formulă valorile matricei 2×2

Determinant = (a × d) – (b × c)

Aici, a = 4, b= 1, c= 2, d= 2

Determinant = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinant = 8 – 2

Determinant = 6

Acum, înmulțiți determinantul matricei 2 × 2 cu elementul ales din rândul de referință (care este 1 în acest caz):

al doilea element = 1 × 6 = 6

Pasul 6: Repetați acest proces pentru al treilea element din rândul de referință ales

Pentru al treilea element

Găsiți determinantul pentru al treilea element 3 punând în formulă valorile matricei 2×2

Determinant = (a × d) – (b × c)

Aici, a = 4, b= 0, c= 2, d= -1

Determinant = (4 × -1) – (0 × 2)

Determinant = -4 – 0

Determinant = -4

Acum, înmulțiți determinantul matricei 2×2 cu elementul ales din rândul de referință (care este 3 în acest caz):

al doilea element = 3 × (-4) = -12

Pasul 7: Utilizarea formulei

Adunați toate rezultatele de la pasul 4, 5 și 6

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 este determinantul matricei 3 × 3.

Aplicarea determinantului unei matrice 3 × 3

Determinantul unei matrice poate fi folosit pentru a găsi inversul și pentru a rezolva sistemul de ecuații liniare. Prin urmare, învățăm să găsim inversul matricei 3 × 3 și, de asemenea, să rezolvăm un sistem de ecuații liniare folosind regula lui Cramer, care implică utilizarea determinantului matricei 3 × 3.

Inversa de 3 × 3 Matrice

Formula pentru a afla inversul unei matrice pătrate A este:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Unde,

• A-1 este inversul matricei A .
• Det(A) reprezintă determinantul matricei A.
• adj(A) reprezintă adjugatul matricei A

În termeni simpli, puteți urma acești pași pentru a găsi inversul unei matrice:

Pasul 1. Calculați determinantul matricei A.

Pasul 2. Găsiți adjugatul matricei A.

Pasul 3. Înmulțiți fiecare element din adjugat cu 1/det(A).

Această formulă este utilizată pentru matrice pătrată (matrice cu același număr de rânduri și coloane) și presupune că determinantul este diferit de zero, ceea ce este o condiție necesară pentru ca o matrice să aibă un invers.

Regula lui Cramer

Regula lui Cramer oferă o formulă pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind determinanți. Pentru un sistem de ecuații liniare cu n variabile sunt date sub forma de

AX=B

Unde,

• A = Coeficientul matricei pătrate
• X = Matricea coloanei având variabile
• B = Matricea coloanei având constante

Luați în considerare următorul sistem de ecuații liniare

A₁x + b₁y + c₁z + . . . = d₁

A₂x + b₂y + c₂z + . . . = d₂

. . .

A_nx + b_ny + c_nz + . . . = d_n

Variabilele x, y, z, …, se determină folosind următoarele formule:

• x = D_X/D
• y = D_și/D
• z = D_Cu/D

Unde:

• D este determinantul matricei coeficienților.
• D_Xeste determinantul matricei obținute prin înlocuirea coeficienților lui x cu constantele din partea dreaptă.
• D_șieste determinantul matricei obținute prin înlocuirea coeficienților lui y
• D_Cueste determinantul matricei obținute prin înlocuirea coeficienților lui z

Regula lui Cramer este aplicabilă atunci când determinantul matricei coeficienților D este diferit de zero. Dacă D = 0, nu se poate aplica regula care indică fie nicio soluție, fie infinite de soluții în funcție de cazul specific.

De asemenea, verifica

• Tipuri de Matrici
• Sistem de ecuații liniare cu trei variabile
• Operații cu matrice

Determinant al matricei 3 × 3 Exemple rezolvate

Exemplul 1: Aflați determinantul matricei A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinant al lui A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Determinantul lui A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinantul lui A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinantul lui A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinantul lui A =-44+11

∴ Determinant al lui A adică |A| = (-33)

Exemplul 2: Găsiți determinantul matricei B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Determinantul lui B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ Determinantul lui B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Determinant al lui B = 1(6) – 0 – 12

⇒ Determinantul lui B =6-12

⇒ Determinantul lui B = (-6)

∴ Determinant al lui B adică |B| = 6

Exemplul 3: Găsiți determinantul matricei C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Determinant al matricei C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Determinantul lui C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Determinantul lui C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Determinant al lui C = 24 + 10 -8

⇒ Determinantul lui C = 26

∴ Determinant al lui C adică |C| = 26

Exemplul 4: Rezolvați sistemul dat de ecuații folosind regula lui Cramer

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Soluţie:

Pasul 1: Mai întâi, găsiți determinantul D a matricei de coeficienți.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

La rezolvarea acestui determinant D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

lista java a

⇒ D= -19

Pasul 2: Acum, găsiți determinanții lui D_X, D_șiși D_Cu

Pentru D_X, înlocuim coeficienții lui x cu constantele din partea dreaptă:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Pentru D_și, înlocuim coeficienții lui y cu constantele:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Pentru D_Cu, înlocuim coeficienții lui z cu constantele:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

La rezolvarea determinantului D_X

D_X= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ D_X= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ D_X= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_X= -49 + 42 + 28

Astfel, D_X= 21

La rezolvarea determinantului D_și

D_și= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ D_și= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ D_și= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_și= -68 + 14 + 24

⇒ D_și= -30

La rezolvarea determinantului D_Cu

D_Cu= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_Cu= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒ D_Cu= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_Cu= 20 – 6 – 98

⇒ D_Cu= -84

Pasul 3: Acum punând valorile lui D, D_X, D_șiși D_Cuîn Formula lui Carmer pentru a găsi valorile lui x,y și z.

x = D_X/D = 21/(-19)

y = D_și/D = (-30)/(-19)

z = D_Cu/D = (-84)/(-19)

Întrebări practice despre determinantul matricei 3 × 3

Î1. Calculați determinantul matricei de identitate:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Aflați determinantul matricei:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Determinați determinantul matricei:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Î4. Calculați determinantul matricei:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Î5. Aflați determinantul matricei:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Î6. Determinați determinantul matricei:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

Determinant al matricei 3 × 3 – Întrebări frecvente

1. Ce este o matrice?

O matrice este un aranjament dreptunghiular de numere sau elemente organizate în rânduri și coloane. Este folosit în diverse domenii pentru a reprezenta și rezolva probleme matematice, științifice și de inginerie.

2. Care este semnificația determinantului unei matrice 3 × 3?

Determinantul unei matrice 3 × 3 este semnificativ deoarece oferă informații despre proprietățile matricei. Ajută la determinarea dacă un sistem de ecuații liniare are o soluție unică, printre alte aplicații.

3. Care este definiția determinantului matricei?

Determinantul unei matrice este o valoare scalară calculată din elementele matricei, oferind informații despre proprietățile acesteia. Este folosit pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, găsirea inverselor și multe altele.

4. Ce se întâmplă dacă determinantul unei matrice 3 × 3 este zero?

Dacă determinantul unei matrice 3 × 3 este zero, înseamnă că matricea este singulară și nu are inversă. În termeni geometrici, indică faptul că transformarea reprezentată de matrice prăbușește aria sau volumul la zero. determinant este întotdeauna zero. Acest lucru este aplicabil pentru matrice de orice dimensiune.

5. Determinantul unei matrice 3 × 3 poate fi negativ?

Da, determinantul poate fi negativ. Semnul determinantului depinde de dispunerea elementelor matricei și dacă acestea rezultă într-o valoare pozitivă sau negativă conform metodei de calcul.

6. Care sunt câteva aplicații practice ale găsirii determinantului unei matrice 3 × 3?

Determinanții sunt utilizați în diferite domenii, inclusiv fizică, inginerie, grafică pe computer și economie. Ele ajută la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, la analiza transformărilor geometrice și la determinarea stabilității sistemelor dinamice.