Valorile proprii și vectorii proprii sunt mărimile scalare și vectoriale asociate cu Matrice folosit pentru transformarea liniară. Vectorul care nu se modifică nici după aplicarea transformărilor se numește vector propriu, iar valoarea scalară atașată vectorilor proprii se numește Valori proprii . Vectorii proprii sunt vectorii care sunt asociați cu un set de ecuații liniare. Pentru o matrice, vectorii proprii sunt numiți și vectori caracteristici și putem găsi vectorul propriu al matricelor pătrate. Vectorii proprii sunt foarte utili în rezolvarea diferitelor probleme de matrice și ecuații diferențiale.

În acest articol, vom afla despre valorile proprii, vectorii proprii pentru matrice și altele cu exemple.

Cuprins

• Ce sunt valorile proprii?
• Ce sunt vectorii proprii?
• Ecuația vectorului propriu
• Ce sunt valorile proprii și vectorii proprii?
• Cum să găsiți un vector propriu?
• Tipuri de vector propriu
• Vector propriu drept
• Stânga Eigenvector
• Vectorii proprii ai unei matrice pătrate
• Vectorul propriu al unei matrice 2 × 2
• Vectorul propriu al unei matrice 3 × 3
• Eigenspace
• Aplicații ale valorilor proprii
• Diagonalizarea matricei folosind valori proprii și vectori proprii
• Exemple rezolvate pe vectori proprii
• Întrebări frecvente despre vectorii proprii

Ce sunt valorile proprii?

Valorile proprii sunt valorile scalare asociate vectorilor proprii în transformare liniară. Cuvântul „Eigen” este de origine germană, ceea ce înseamnă „caracteristic”. Prin urmare, acestea sunt valoarea caracteristică care indică factorul prin care vectorii proprii sunt întinși în direcția lor. Nu implică schimbarea direcției vectorului decât atunci când valoarea proprie este negativă. Când valoarea proprie este negativă, direcția este doar inversată. Ecuația pentru valoarea proprie este dată de

Off = λv

Unde,

• A este matricea,
• v este vector propriu asociat și
• λ este valoarea proprie scalară.

Ce sunt vectorii proprii?

Vectorii proprii pentru matricele pătrate sunt definiți ca valori vectoriale nenule care, atunci când sunt înmulțite cu matricele pătrate, dau multiplu scalar al vectorului, adică definim un vector propriu pentru matricea A să fie v dacă specifică condiția, Off = λv

Multiplu scalar λ în cazul de mai sus se numește valoarea proprie a matricei pătrate. Întotdeauna trebuie să găsim mai întâi valorile proprii ale matricei pătrate înainte de a găsi vectorii proprii ai matricei.

Pentru orice matrice pătrată, A de ordinul n × n vectorul propriu este matricea coloanei de ordinul n × 1. Dacă găsim vectorul propriu al matricei A prin, Av = λv, v în acesta se numește vectorul propriu drept al matricei A și este întotdeauna înmulțit în partea dreaptă, deoarece înmulțirea matricei nu este de natură comutativă. În general, atunci când găsim vectorul propriu, acesta este întotdeauna vectorul propriu potrivit.

De asemenea, putem găsi vectorul propriu din stânga al matricei pătrate A utilizând relația, vA = vl

Aici, v este vectorul propriu din stânga și este întotdeauna înmulțit în partea stângă. Dacă matricea A este de ordinul n × n atunci v este o matrice coloane de ordinul 1 × n.

Ecuația vectorului propriu

Ecuația vectorului propriu este ecuația care este utilizată pentru a găsi vectorul propriu al oricărei matrice pătrate. Ecuația vectorului propriu este,

Off = λv

Unde,

• A este matricea pătrată dată,
• în este vectorul propriu al matricei A și
• l este orice multiplu scaler.

Ce sunt valorile proprii și vectorii proprii?

Dacă A este a matrice pătrată de ordinul n × n atunci putem găsi cu ușurință vectorul propriu al matricei pătrate urmând metoda discutată mai jos,

Știm că vectorul propriu este dat folosind ecuația Av = λv, pentru matricea de identitate de ordin identic cu ordinul lui A, adică n × n, folosim următoarea ecuație,

(A-λI)v = 0

Rezolvând ecuația de mai sus obținem diferite valori ale lui λ ca λ₁, l₂, ..., l_naceste valori sunt numite valori proprii și obținem vectori proprii individuali relaționați cu fiecare valoare proprie.

Simplificand ecuația de mai sus obținem v care este o matrice de coloană de ordinul n × 1 și v este scris ca:

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Cum să găsiți un vector propriu?

Vectorul propriu al următoarei matrice pătrate poate fi calculat cu ușurință utilizând pașii de mai jos,

Pasul 1: Găsiți valorile proprii ale matricei A, folosind ecuația det |(A – λI| =0, unde I este matricea de identitate de ordin similar cu matricea A

Pasul 2: Valoarea obținută în Pasul 2 sunt denumite ca, λ₁, l₂, l₃….

Pasul 3: Găsiți vectorul propriu (X) asociat cu valoarea proprie λ₁folosind ecuația, (A – λ₁I) X = 0

parafrazați dacă prin rudyard kipling

Pasul 4: Repetați pasul 3 pentru a găsi vectorul propriu asociat cu alte valori proprii rămase λ₂, l₃….

Urmând acești pași se dă vectorul propriu legat de matricea pătrată dată.

Tipuri de vector propriu

Vectorii proprii calculați pentru matricea pătrată sunt de două tipuri care sunt:

• Vector propriu drept
• Stânga Eigenvector

Vector propriu drept

Vectorul propriu care este înmulțit cu matricea pătrată dată din partea dreaptă se numește vector propriu drept. Se calculează folosind următoarea ecuație,

DE _R = λV _R

Unde,

• A este dată matrice pătrată de ordinul n×n,
• l este una dintre valorile proprii și
• ÎN _R este matricea vector coloană

Valoarea lui V_Reste,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Stânga Eigenvector

Vectorul propriu care este înmulțit cu matricea pătrată dată din partea stângă se numește vector propriu din stânga. Se calculează folosind următoarea ecuație,

ÎN _L A = V _L l

Unde,

• A este dată matrice pătrată de ordinul n×n,
• l este una dintre valorile proprii și
• ÎN _L este matricea vectorială rând.

Valoarea lui V_Leste,

ÎN _L = [v ₁ , în ₂ , în ₃ ,…, în _n ]

Vectori proprii ai unei matrice pătrate

Putem găsi cu ușurință vectorul propriu al matricelor pătrate de ordinul n × n. Acum, să găsim următoarele matrici pătrate:

• Vectori proprii ai unei matrice 2 × 2
• Vectori proprii ai unei matrice 3 × 3.

Vectorul propriu al unei matrice 2 × 2

Vectorul propriu al matricei 2 × 2 poate fi calculat folosind pașii menționați mai sus. Un exemplu de același lucru este,

Exemplu: Găsiți valorile proprii și vectorul propriu pentru matricea A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Soluţie:

Dacă valorile proprii sunt reprezentate folosind λ și vectorul propriu este reprezentat ca v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Apoi vectorul propriu se calculează folosind ecuația,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 și λ = -1

Astfel, valorile proprii sunt 6 și -1. Atunci vectorii proprii respectivi sunt,

Pentru λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Simplificand ecuatia de mai sus obtinem,

5a=2b

Vectorul propriu necesar este,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Pentru λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

simplificând ecuația de mai sus obținem,

a = -b

Vectorul propriu necesar este,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Atunci vectorii proprii ai matricei date 2 × 2 suntegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Aceștia sunt doi vectori proprii posibili, dar mulți dintre multiplii corespunzători ai acestor vectori proprii pot fi, de asemenea, considerați ca alți vectori proprii posibili.

Vectorul propriu al unei matrice 3 × 3

Vectorul propriu al matricei 3 × 3 poate fi calculat folosind pașii menționați mai sus. Un exemplu de același lucru este,

Exemplu: Găsiți valorile proprii și vectorul propriu pentru matricea A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Soluţie:

Dacă valorile proprii sunt reprezentate folosind λ și vectorul propriu este reprezentat ca v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

colecții java

Apoi vectorul propriu se calculează folosind ecuația,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Simplificand determinantul de mai sus obtinem

⇒ (2-l)(l²) + 2 min²+ 2 min²= 0

⇒ (-l³) + 6 min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Pentru λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Simplificand ecuația de mai sus obținem

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Fie b = k₁și c = k₂

a + k₁+ k₂= 0

a = -(k₁+ k₂)

Astfel, vectorul propriu este,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

luând k₁= 1 și k₂= 0

vectorul propriu este,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

luând k₁= 0 și k₂= 1

vectorul propriu este,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Pentru λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Simplificand ecuatia de mai sus obtinem,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Fie b = k₁și c = k₂, și luând k₁= k₂= 1,

primim,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Astfel, vectorul propriu este,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Eigenspace

Definim spatiul propriu al unei matrice ca multimea tuturor vectorilor proprii ai matricei. Toți vectorii din spațiul propriu sunt liniar independenți unul de celălalt.

Pentru a găsi spațiul propriu al matricei trebuie să urmați pașii următori

Pasul 1: Găsiți toate valorile proprii ale matricei pătrate date.

Pasul 2: Pentru fiecare valoare proprie găsiți vectorul propriu corespunzător.

Pasul 3: Luați mulțimea tuturor vectorilor proprii (să spunem A). Mulțimea rezultată astfel formată se numește spațiul propriu al următorului vector.

ex de nume de utilizator

Din exemplul de mai sus al matricei date 3 × 3 A, spațiul propriu astfel format este {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Aplicații ale valorilor proprii

Unele dintre aplicațiile comune ale valorilor proprii sunt:

Algebră liniară

Diagonalizare: Valorile proprii sunt folosite pentru a diagonaliza matricele, simplificând calculele și rezolvând mai eficient sistemele liniare.

Exponentiarea matricei: Valorile proprii joaca un rol crucial in calcularea exponentiatiei unei matrice.

Mecanica cuantică

Ecuația Schrödinger: Valorile proprii ale operatorului hamiltonian corespund nivelurilor de energie ale sistemelor cuantice, oferind informații despre posibile stări.

Vibrații și analiza structurală:

Vibrații mecanice: Valorile proprii reprezintă frecvențele naturale ale sistemelor vibraționale. În analiza structurală, ele ajută la înțelegerea stabilității și comportamentului structurilor.

Statistici

Matricea de covarianță: În statisticile multivariate, valorile proprii sunt utilizate în analiza matricelor de covarianță, oferind informații despre răspândirea și orientarea datelor.

Grafică pe computer

Analiza componentelor principale (PCA): Valorile proprii sunt utilizate în PCA pentru a găsi componentele principale ale unui set de date, reducând dimensionalitatea, păstrând în același timp informațiile esențiale.

Sistem de control

Stabilitatea sistemului: Valorile proprii ale matricei sistemului sunt critice în determinarea stabilității unui sistem de control. Analiza stabilității ajută la asigurarea că răspunsul sistemului este limitat.

Diagonalizarea matricei folosind valori proprii și vectori proprii

Valorile proprii și vectorii proprii sunt utilizați pentru a găsi matrici diagonale. A matrice diagonală este o matrice care poate fi scrisă ca,

A = XDX ^-1

Unde,

• D este matricea care se formează prin înlocuirea lui 1 din matricea de identitate cu valori proprii și
• X este matricea formată din vectori proprii.

Putem înțelege conceptul de matrice diagonală luând următorul exemplu.

Exemplu: Diagonalizați matricea A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Soluţie:

Am rezolvat deja valorile proprii și vectorii proprii ai lui A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Valorile proprii ale lui A sunt λ = 0, λ = 0 și λ = -8

Vectorii proprii ai lui A suntegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Prin urmare,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Putem găsi cu ușurință inversul lui X ca,

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Citeşte mai mult,

• Operație elementară pe matrici
• Matrice de identitate
• Inversul unei matrice

Exemple rezolvate pe vectori proprii

Exemplul 1: Găsiți vectorii proprii ai matricei A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

ce este o stivă în java

Soluţie:

Valorile proprii ale matricei se găsesc folosind,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)³= 0

Astfel, valorile proprii sunt:

λ = 1, 1, 1

Deoarece toate valorile proprii sunt egale, avem trei vectori proprii identici. Vom găsi vectorii proprii pentru λ = 1, folosind (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

rezolvând ecuația de mai sus obținem,

• a = K
• y = 0
• z = 0

Atunci vectorul propriu este,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Exemplul 2: Aflați vectorii proprii ai matricei A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Soluţie:

Valorile proprii ale matricei se găsesc folosind,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

Astfel, valorile proprii sunt:

λ = 5,5

Deoarece toate valorile proprii sunt egale, avem trei vectori proprii identici. Vom găsi vectorii proprii pentru λ = 1, folosind

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Pur și simplu, obținem cele de mai sus,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Atunci vectorul propriu este,

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Întrebări frecvente despre vectorii proprii

Ce sunt vectorii proprii?

Definim vectorul propriu al oricărei matrice ca fiind vectorul care înmulțind cu matricea rezultă multiplu scalar al matricei.

Cum să găsiți vectori proprii?

Vectorul propriu al oricărei matrice A este notat cu în . Vectorul propriu al matricei este calculat prin găsirea mai întâi a valorii proprii a matricei.

• Valoarea proprie a matricei este găsită folosind formula |A-λI| = 0 unde λ dă valorile proprii.
• După găsirea valorii proprii, am găsit vectorul propriu prin formula, Av = λv, unde v dă vectorul propriu.

Care este diferența dintre Eigenvalue și Eigenvector?

Pentru orice matrice pătrată A, valorile proprii sunt reprezentate prin λ și se calculează prin formula |A – λI| = 0. După găsirea valorii proprii găsim vectorul propriu prin, Av = λv.

Ce este Matricea Diagonalizabilă?

Orice matrice care poate fi exprimată ca produs al celor trei matrice ca XDX^-1este o matrice diagonalizabilă aici D se numește matrice diagonală.

Sunt valorile proprii și vectorii proprii la fel?

Nu, valorile proprii și vectorii proprii nu sunt la fel. Valorile proprii sunt scalatorul care este folosit pentru a găsi vectori proprii, în timp ce vectorii proprii sunt vectorii care sunt utilizați pentru a găsi transformări vectoriale matrice.

Poate vectorul propriu să fie un vector zero?

Putem avea ca valorile proprii să fie zero, dar vectorul propriu nu poate fi niciodată un vector zero.

Ce este formula vectorilor proprii?

Vectorul propriu al oricărei matrice este calculat folosind formula,

Off = λv

Unde,
l este valoarea proprie
în este vectorul propriu