Formule derivate în calcul sunt unul dintre instrumentele importante ale calculului, deoarece formulele derivate sunt utilizate pe scară largă pentru a găsi cu ușurință derivatele diferitelor funcții și, de asemenea, ne ajută să explorăm diverse domenii ale matematicii, ingineriei etc.

Acest articol explorează toate formule derivate incluzând îndeaproape formula derivată generală, formule derivate pentru funcții logaritmice și exponențiale, formule derivate pentru rapoarte trigonometrice, formule derivate pentru rapoarte trigonometrice inverse și formule derivate pentru funcții hiperbolice. Formula derivată este importantă pentru studenții clasei 12 pentru examenele de bord. Vom rezolva, de asemenea, câteva exemple de derivate folosind diferite formule derivate. Să parcurgem îndeaproape subiectul formulei derivate.

Cuprins

• Ce este derivatul?
• Ce sunt formulele derivate?
• Formule derivate de bază – Reguli derivate în calcul
• Lista formulelor derivate
• Alte formule derivate
• Cum să găsiți derivatele?
• Aplicații ale formulei derivate

Ce este derivatul?

The derivate reprezintă rata funcției față de orice variabilă. Derivata unei functii f(x) se noteaza ca f'(x) sau (d/dx) [f(x)]. Procesul de găsire a derivatelor se numește diferențiere.

Cea mai fundamentală formulă derivată este definiția unui derivat, care este definită astfel:

f'(x) = lim _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

Există diverse formule derivate, inclusiv formule derivate generale, formule derivate pentru funcții trigonometrice și formule derivate pentru funcții trigonometrice inverse etc.

Citiți în detaliu: Calcul în matematică

Ce sunt formulele derivate?

Formulele derivate sunt acele expresii matematice care ne ajută să calculăm derivata unei anumite funcții în raport cu variabila sa independentă. Cu cuvinte simple, formulele care ajută la găsirea derivatelor sunt numite formule derivate. Există mai multe formule derivate pentru diferite funcții.

Exemple de formule derivate

Câteva exemple de formule pentru derivate sunt enumerate după cum urmează:

java indexof

• Regula de putere: Dacă f(x) = xⁿ, unde n este o constantă, atunci derivata este dată de:

f'(x) = nx ^n-1

• Regula constantă: Dacă f(x) = c, unde c este o constantă, atunci derivata este zero:

f'(x) = 0

• Funcții exponențiale: Dacă f(x) = e^X, apoi:

f'(x) = e ^X

Să discutăm toate formulele legate de derivată într-o manieră structurată.

Formule derivate de bază – Reguli derivate în calcul

Unele dintre cele mai de bază formule pentru a găsi derivate sunt:

• Regula constantă
• Regula puterii
• Regula diferențelor de sumă
• Regula produsului
• Regula coeficientului
• Regula lanțului

Să discutăm aceste reguli în detaliu:

Regula constantă pentru derivate

Regula constantă pentru derivate este dată de:

(d/dx) constantă = 0

Regula de putere pentru instrumente derivate

Regula puterii pentru derivate este dată de:

(d/dx) x ⁿ = nx ^n-1

Regula diferențelor de sumă pentru instrumente derivate

Regula sumei și diferențelor pentru derivate este dată de:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Regula produsului pentru derivate

Regula produsului pentru derivate este dată de:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Regula coeficientului pentru derivate

Regula coeficientului pentru derivate este dată de:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Regula lanțului pentru derivate

Regula lanțului pentru derivată este dată de:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Lista formulelor derivate

Formulele derivate pentru diferitele funcții sunt enumerate mai jos:

Formule derivate exponențiale și logaritmice

Formulele derivate pentru funcțiile exponențiale și logaritmice sunt enumerate mai jos:

• (d/dx) e^X= și^X
• (d/dx) a^X= a^Xîn a
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) log_Ax= (1/x lna)

Citeşte mai mult,

• Logaritmi
• Derivată a funcțiilor exponențiale

Formule trigonometrice derivate

Formulele derivate pentru funcțiile trigonometrice sunt enumerate mai jos:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sec²X
• (d/dx) cot x = -cosec²X
• (d/dx) sec x = sec x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x cot x

Află mai multe despre Derivată a funcțiilor trigonometrice .

Formula derivată pentru funcții trigonometrice inverse

Formulele derivate pentru funcțiile trigonometrice inverse sunt enumerate mai jos:

• (d/dx) fără^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) deci^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) cot^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) sec^-1x = 1/[|x|√(x²- 1)]
• (d/dx) cosec^-1x = -1/[|x|√(x²- 1)]

Citeşte mai mult, Derivată a funcțiilor de declanșare inversă .

Derivată a funcțiilor hiperbolice

Formulele derivate pentru funcțiile trigonometrice sunt enumerate mai jos:

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = sine²X
• (d/dx) coth x = -cosech²X
• (d/dx) self x = -self x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Alte formule derivate

Există și alte funcții precum funcțiile implicite, funcțiile parametrice și derivatele de ordin superior ale căror formule derivate sunt enumerate mai jos:

Formula derivată implicită

Metoda de găsire a derivatei unei funcții implicite se numește diferențiere implicită. Să luăm un exemplu pentru a înțelege metoda de găsire a derivatelor implicit.

cum se rulează un script pe linux

Exemplu: Găsiți derivata lui xy = 2

Soluţie:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

Din ecuația dată y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

Află mai multe despre Diferențierea implicită .

Formula derivată parametrică

Dacă funcția y(x) este exprimată în termenii a treia variabilă t și x și y poate fi reprezentată în x = f(t) și y = g(t) atunci, acest tip de funcție este numită funcție parametrică.

Dacă y este funcția lui x și x = f(t) și y = g(t) sunt două funcții diferențiabile ale parametrului t, atunci derivata funcției parametrice este dată de:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), astfel încât (dx/dt) ≠ 0

Citiți mai multe despre Diferențierea parametrică .

Formula derivată de ordin superior

Găsirea derivatei unei funcții pentru mai mult de o dată dă derivata de ordin superior a unei funcții.

subșir șir java

n ^th Derivată = d ⁿ y/(dx) ⁿ

Citiți mai multe despre Derivată de ordin superior .

Cum să găsiți derivatele?

Pentru a găsi derivatele unei funcții urmează pașii de mai jos:

• Mai întâi verificați tipul funcției, indiferent dacă este algebrică, trigonometrică etc.
• După găsirea tipului, aplicați formulele derivate corespunzătoare funcției.
• Valoarea rezultată dă derivata funcției folosind formula derivatelor.

Aplicații ale formulei derivate

Există multe aplicații ale formulelor derivate. Unele dintre aceste aplicații sunt enumerate mai jos:

• Derivatele sunt folosite pentru a găsi rata de schimbare în orice cantitate.
• Poate fi folosit pentru a găsi maxime și minime.
• Este folosit în funcții de creștere și descreștere.

Oamenii vizualizează și:

• Formule de diferențiere
• Formula de diferențiere și integrare
• Diferențierea logaritmică

Exemple rezolvate pe formula derivată

Exemplul 1: Aflați derivata lui x ⁵ .

Soluţie:

Fie y = x⁵

⇒ y’ = (d/dx) [x⁵]

⇒ y’ = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

Exemplul 2: Găsiți derivata log ₂ X.

câte filme cu misiune imposibilă sunt acolo

Soluţie:

Fie y = log₂X

⇒ y’ = (d/dx) [log₂X]

⇒ y’ = 1/ [x ln2]

Exemplul 3: Aflați derivata funcției f(x) = 8 . 6 ^X

Soluţie:

f(x) = 8 . 6^X

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^X]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^X]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Exemplul 4: Aflați derivata funcției f(x) = 3sinx + 2x

Soluţie:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Exemplul 5: Aflați derivata funcției f(x) = 5cos ^-1 x + e ^X

Soluţie:

f(x) = 5cos^-1x + e^X

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^X]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^X]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + și^X

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + și^X

Exersați probleme cu formula derivată

Problema 1: Evaluați: (d/dx) [x⁴].

Problema 2: Aflați derivata lui y = 5cos x.

Problema 3: Aflați derivata lui y = cosec x + cot x.

Problema 4: Aflați derivata lui f(x) = 4^X+ jurnal₃x + deci^-1X.

Problema 5: Evaluați: (d/dx) [40].

Problema 6: Aflați derivata lui f(x) = x⁵+ 5x³+ 1 .

Întrebări frecvente despre formula derivată

Ce este derivatul?

Valoarea care reprezintă rata de schimbare a funcției față de orice variabilă se numește derivată.

Cum sunt reprezentate derivatele?

Derivatele sunt reprezentate ca (d/dx) sau dacă f(x) este o funcție, atunci derivata lui f(x) este reprezentată ca f'(x).

Cum se calculează derivata unei constante?

Derivata unei constante este întotdeauna zero. În notația matematică, dacă „C” este o constantă, atunci dC/dx = 0.

Scrieți formula generală derivată a lui xⁿ.

Formula generală pentru derivata lui xⁿ= nx^n-1.

Cum se calculează derivatele funcției?

Pentru a calcula derivatele unei funcții, putem aplica formula derivatelor conform funcției date.

Care este formula pentru derivata funcției logaritmice?

Derivata funcției logaritmului natural, ln(x), este 1/x. În notație matematică, dacă y = ln(x), atunci dy/dx = 1/x.

Ce formulă este folosită pentru a găsi derivate ale funcțiilor exponențiale?

Derivata unei functii exponentiale, y = a^X(unde „a” este o constantă), se găsește folosind formula dy/dx = a^X× ln(a).

Ce sunt derivatele de ordin superior?

Derivatele de ordin superior sunt derivate ale unei funcții luate de mai multe ori. A doua derivată este derivata primei, a treia este derivata a doua și așa mai departe.

Ce este formula derivată pentru e^X?

Derivata functiei f(x) = e^X(unde „e” este numărul lui Euler, aproximativ 2,71828) este pur și simplu f'(x) = e^X.

Scrieți formula derivată pentru u/v.

Derivata coeficientului a doua functii u(x) si v(x) este data de regula catului:

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

preity zinta

Ce este formula derivată pentru 1/x?

Derivata functiei f(x) = 1/x este data de:

f'(x) = -1/x ²