logo

TechCodeview

Derivatul lui Arcsin

Derivata lui Arcsin x este d/dx(arcsin x) = 1/√1-x² . Este notat cu d/dx(arcsin x) sau d/dx(sin-1X). Derivata lui Arcsin se referă la procesul de găsire a ratei de schimbare a funcției Arcsin x în raport cu variabila independentă. Derivatul lui Arcsin x este cunoscut și ca diferențiere a lui Arcsin.

În acest articol, vom afla despre derivata lui Arcsin și formula sa, inclusiv demonstrarea formulei folosind primul principiu al derivatelor, regula coeficientului și metoda regulii lanțului.



Cuprins

Ce este derivata în matematică?

Derivat a unei funcții este rata de schimbare a funcției față de orice variabilă independentă. Derivata unei functii f(x) se noteaza ca f'(x) sau (d /dx)[f(x)]. Diferențierea unei funcții trigonometrice se numește derivată a funcției trigonometrice sau derivate trigonometrice. Derivata unei functii f(x) este definita ca:

f'(x 0 ) = lim h→0 [f(x 0 + h) – f(x 0 )] / h



Ce este derivata lui Arcsin x?

Printre derivate trigonometrice inverse , derivata lui Arcsin x este una dintre derivate. Derivata funcției arcsin reprezintă viteza cu care curba arcsin se schimbă într-un punct dat. Este notat cu d/dx(arcsin x) sau d/dx(sin-1X). Arcsinx este cunoscut și sub numele de sin x invers.

Derivată a Arcsinului x este 1/√1-x²

Derivată a formulei Arcsin x

Formula pentru derivata lui Arcsin x este dată de:



(d/dx) [Arcsin x] = 1/√1-x²

SAU

(Arcsin x)’ = 1/√1-x²

De asemenea, verificați, Invers Funcția trigonometrică

Dovada derivatei lui Arcsin x

Derivata lui tan x poate fi demonstrată folosind următoarele moduri:

  • Prin utilizarea Chain Rule
  • Prin utilizarea Primului Principiu al Derivatei

Derivată a lui Arcsin prin regula lanțului

Pentru a demonstra derivata lui Arcsin x prin regula lanțului, vom folosi formula trigonometrică de bază și trigonometrică inversă:

  • fără2și + cos2y = 1
  • sin(arcsin x) = x

Iată dovada derivatei lui Arcsin x:

Fie y = arcsinx

Luând păcatul de ambele părți

siny = sin(arcsinx)

Prin definiția unei funcții inverse, avem:

sin(arcsinx) = x

Deci ecuația devine siny = x …..(1)

Diferențierea ambelor părți în raport cu x,

d/dx (siny) = d/dx (x)

confortabil · d/dx(y) = 1 [ Ca d/dx(sin x) = cos x]

dy/dx = 1/cosy

Folosind una dintre identitățile trigonometrice

fără2y+cos2y = 1

∴cos y = √1 – sin2y = √1–x2[Din (1) avem siny = x]

dy/dx = 1/√(1–x2)

Înlocuind y = arcsin x

d/dx (arcsinx) = arcsin′x = 1/√1 – x 2

De asemenea, verificați, Regula lanțului

Derivată a lui Arcsin după primul principiu

Pentru a demonstra derivata arcsin x folosind Primul principiu al derivatului , vom folosi limite de bază și formule trigonometrice care sunt enumerate mai jos:

  • fără2y+cos2y = 1
  • limx→0x/sinx = 1
  • sin A – sin B = 2 sin [(A – B)/2] cos [(A + B)/2]

Putem demonstra derivata arcsinului prin primul principiu folosind următorii pași:

Fie f(x) = arcsinx

mamta kulkarni actor

Prin primul principiu avem

frac{d f( x)}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{f (x + h)- f(x)}{h}

pune f(x) = arcsinx, obținem

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{h o 0} frac{arcsin (x + h)- arcsin x}{h}….(1)

Să presupunem că arcsin (x + h) = A și arcsin x = B

Deci avem,

sin A = x+h …..(2)

sin B = x…….(3)

Scădeți (3) din (2), avem

sin A – sinB = (x+h) – x

sinA – sinB = h

Dacă h → 0, (sin A – sin B) → 0

păcatul A → păcatul B sau A → B

Înlocuiți aceste valori în ecuația (1)

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{Sin A- Sin B}

Folosind sin A – sin B = 2 sin [(A – B)/2] cos [(A + B)/2], obținem

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{A- B}{2Cos frac{A+B}{2}- 2 Sin frac{A-B}{2}}

care se poate scrie ca:

frac{d}{dx}(arcsin x) =displaystyle lim_{A o B} frac{frac{A- B}{2}}{Sin frac{A-B}{2}} imes frac{1}{Cos frac{A+B}{2}}

Acum, îl știm pe limx→0x/sinx = 1, prin urmare ecuația de mai sus se schimbă în

frac{d}{dx}(arcsin x) ={1} imes frac{1}{Cos frac{B+B}{2}}

frac{d}{dx}(arcsin x) =frac{1}{Cos {B}}

Folosind una dintre identitățile trigonometrice

fără2y+cos2y = 1

∴ cos B = √1 – sin2B = √1–x2[Sin B = x din (3)]

f′(x) = dy/dx = 1 / √(1–x2)

De asemenea, verifica

Exemple rezolvate pe derivata lui Arcsin x

Exemplul 1: Aflați derivata lui y = arcsin (3x).

Soluţie:

Fie f(x) = arcsin (3x).

Știm că d/dx (arcsin x) = 1/√1 – x².

După regula lanțului,

d/dx(arcsin(3x)) = 1/√(1 – (3x)² · d/dx (3x)

= 1/ √(1 -9x²) · (3)

= 3/√(1 -9x²)

Prin urmare, derivata lui y = arcsin (3x) este 3/√(1 -9x²).

Exemplul 2: Aflați derivata lui y = arcsin (1/2x).

Soluţie:

Fie f(x) = arcsin (1/2x).

Știm că d/dx (arcsin x) = 1/√1 – x².

După regula lanțului,

d/dx(arcsin(1/2x)) = 1/√(1 – (1/2x)² · d/dx (1/2x)

= 1/ √(1 -(1/4x²) )· (-1/2x2)

= 1/√(4x2– 1)/4x2· (-1/2x2)

= -1/x√4x2- 1

Prin urmare, derivata lui y = arcsin (1/x) este -1/x√4x2- 1.

Exemplul 3: Aflați derivata lui y = x arcsin x.

Soluţie:

Avem y = x arcsin x.

d/dx(arcsin(1/x)) = x · d/dx (arcsin x) + arcsin x · d/dx (x)

= x [1/√1-x²] + arcsin x (1)

= x/√1-x² + arcsin x
Prin urmare, derivata lui y = arcsin (1/x) este x/√1-x² + arcsin x

Întrebări practice despre derivata Sin x

Î1. Găsiți derivata arcsin(5x).

Q2. Aflați derivata lui x3arcsin(x).

Q3. Evaluați: d/dx [ arcsin(x) / x2+ 1]

Î4. Evaluați derivata arcsin(x) – tan(x)

Întrebări frecvente derivate din Arcsin

Ce este derivatul Arcsin?

Derivată a Arcsinului x este 1/√1-x²

Ce este derivatul în matematică?

În matematică, derivata este măsura în care o funcție se schimbă pe măsură ce intrarea ei (variabila independentă) se modifică. Derivata unei functii f(x) se noteaza ca f'(x) sau (d /dx)[f(x)].

Ce este derivata arcsin(1/x)?

Derivata arcsinului(1/x) este (-1) / (x√x² – 1).

Ce este derivatul?

Derivată de funcție este definită ca rata de schimbare a funcției în raport cu o variabilă independentă.

Care este derivata sin x?

Derivata sin x este cos x.