Formulele de trigonometrie sunt ecuații care relaționează laturile și unghiurile triunghiurilor. Ele sunt esențiale pentru rezolvarea unei game largi de probleme din matematică, fizică, inginerie și alte domenii.

Iată câteva dintre cele mai comune tipuri de formule de trigonometrie:

• Definitii de baza: Aceste formule definesc rapoartele trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă etc.) în ceea ce privește laturile unui triunghi dreptunghic.
• Teorema lui Pitagora: Această teoremă raportează lungimile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic.
• Relații unghiulare: Aceste formule relaționează rapoartele trigonometrice ale diferitelor unghiuri, cum ar fi formulele de sumă și diferență, formulele de unghi dublu și formulele de jumătate de unghi.
• Identități reciproce: Aceste formule exprimă un raport trigonometric în termenii altuia, cum ar fi sin(θ) = 1/coc(θ).
• Cercul unitar: Cercul unitar este o reprezentare grafică a rapoartelor trigonometrice și poate fi folosit pentru a obține multe alte formule.
• Legea sinusurilor și legea cosinusurilor: Aceste legi raportează laturile și unghiurile oricărui triunghi, nu doar triunghiuri dreptunghiulare.

Citiți mai departe pentru a afla despre diferite formule și identități trigonometrice, exemple rezolvate și probleme de exersare.

Cuprins

• Ce este trigonometria?
• Prezentare generală a formulei de trigonometrie
• Raporturi trigonometrice de bază
• Identități trigonometrice
• Lista formulelor de trigonometrie

Ce este trigonometria?

Trigonometria este definită ca o ramură a matematicii care se concentrează pe studiul relațiilor care implică lungimile și unghiurile triunghiurilor. Trigonometria constă din diferite tipuri de probleme care pot fi rezolvate folosind formule și identități trigonometrice.

Funcții de trigonometrie

Funcțiile trigonometrice sunt funcții matematice care relaționează unghiurile unui triunghi dreptunghic cu lungimile laturilor sale. Au aplicații largi în diverse domenii, cum ar fi fizica, inginerie, astronomie și multe altele. Funcțiile trigonometrice primare includ sinus, cosinus, tangentă, cotangentă, secanta și cosecantă.

Prezentare generală a formulei de trigonometrie

Formulele de trigonometrie sunt expresii matematice care relaționează unghiurile și laturile lui a Triunghi dreptunghic . Sunt 3 laturi un triunghi dreptunghic este făcut din:

• Ipotenuză : Aceasta este cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic.
• Latura perpendiculară/opusă : Este latura care formează un unghi drept în raport cu unghiul dat.
• Baza : Baza se referă la latura adiacentă unde sunt conectate atât ipotenuza, cât și latura opusă.

Raportul de trigonometrie

Toate rapoartele trigonometrice, identitățile de produs, formulele de jumătate de unghi, formulele de unghi dublu, identitățile de sumă și diferență, identitățile de cofuncție, un semn de rapoarte în diferite cadrane etc. sunt prezentate pe scurt aici pentru elevii claselor 9, 10, 11, 12. .

git status -s

Iată lista de formule din trigonometrie pe care o vom discuta:

• Formule de bază pentru raportul trigonometric
• Formule cercului unitar
• Identități trigonometrice

Raporturi trigonometrice de bază

Există 6 rapoarte în trigonometrie. Acestea sunt denumite funcții trigonometrice. Mai jos este lista cu rapoarte trigonometrice , inclusiv sinus, cosinus, secant, cosecant, tangent și cotangent.

Formula cercului unitar în trigonometrie

Pentru un cerc unitar, pentru care raza este egală cu 1, i este unghiul. Valorile ipotenuzei și bazei sunt egale cu raza cercului unitar.

Hipotenuză = Latura adiacentă (bază) = 1

Rapoartele trigonometriei sunt date de:

• sin θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• cot θ = x/y
• sec θ = 1/x
• cosec θ = 1/y

Diagrama funcțiilor trigonometrice

Identități trigonometrice

Relația dintre funcțiile trigonometrice este exprimată prin identități trigonometrice, uneori denumite identități trigonometrice sau formule trigonometrice. Acestea rămân adevărate pentru toate valorile numerice reale ale variabilelor alocate în ele.

• Identități reciproce
• Identități pitagoreice
• Identități de periodicitate (în radiani)
• Formula unghiului par și impar
• Identități cofuncționale (în grade)
• Identități de sumă și diferență
• Identitati cu unghi dublu
• Formule de trigonometrie inversă
• Identitati cu unghi triplu
• Identități cu jumătate de unghi
• Suma la identitățile produsului
• Identități de produs

Să discutăm aceste identități în detaliu.

Identități reciproce

Toate identitățile reciproce sunt obținute folosind ca referință un triunghi dreptunghic. Identitățile reciproce sunt după cum urmează:

• cosec θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• cot θ = 1/tan θ
• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sec θ
• tan θ = 1/cot θ

Identități pitagoreice

Conform teoremei lui Pitagora, într-un triunghi dreptunghic, dacă „c” este ipotenuza și „a” și „b” sunt cele două catete, atunci c2 = a2 + b2. Putem obține identități pitagorice folosind această teoremă și rapoarte trigonometrice. Folosim aceste identități pentru a converti un raport trigonometric în altul .

• fără²θ + cos²θ = 1
• 1 + deci²θ = sec²i
• 1 + patut²θ = cosec²i

Diagrama de formule de trigonometrie

Identități de periodicitate (în radiani)

Aceste identități pot fi folosite pentru a deplasa unghiurile cu π/2, π, 2π etc. Acestea sunt cunoscute și ca identități co-funcționale.

Toate identități trigonometrice se repetă după o anumită perioadă. Prin urmare, sunt de natură ciclică. Această perioadă de repetare a valorilor este diferită pentru diferite identități trigonometrice.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A & cos (2π + A) = cos A

Iată un tabel care compară proprietățile trigonometrice în diferite cadrane:

Formula unghiului par și impar

Formulele unghiurilor par și impar, cunoscute și sub numele de identități par-impar, sunt folosite pentru a exprima funcțiile trigonometrice ale unghiurilor negative în termeni de unghiuri pozitive. Aceste formule trigonometrice se bazează pe proprietățile funcțiilor pare și impare.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ
• cot(-θ) = -cotθ
• sec(-θ) = secθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Identități cofuncționale (în grade)

Identitățile cofuncționale ne oferă interrelația dintre diferitele funcții trigonometrice. Co-funcțiile sunt enumerate aici în grade:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• tan(90°−x) = cot x
• cot(90°−x) = tan x
• sec(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sec x

Identități de sumă și diferență

Identitățile de sumă și diferență sunt formulele care relaționează sinusul, cosinusul și tangentele sumei sau diferenței a două unghiuri la sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor individuale.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Identitati cu unghi dublu

Identitățile unghiului dublu sunt formulele care exprimă funcțiile trigonometrice ale unghiurilor care sunt dublul măsurii unui unghi dat în termenii funcțiilor trigonometrice ale unghiului original.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²X)]
• cos(2x) = cos²(x) – fără²(x) = [(1 – tan²x)/(1 + tan²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2sin²(X)
• tan (2x) = [2tan(x)]/ [1 – tan²(X)]
• sec (2x) = sec²x/(2 – sec²X)
• cosec (2x) = (sec x • cosec x)/2

Formule de trigonometrie inversă

Formulele de trigonometrie inversă se referă la funcțiile trigonometrice inverse, care sunt inversele funcțiilor trigonometrice de bază. Aceste formule sunt folosite pentru a găsi unghiul care corespunde unui raport trigonometric dat.

• fără ^-1 (–x) = – sin ^-1 X
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 X
• asa de ^-1 (–x) = – tan ^-1 X
• cosec ^-1 (–x) = – cosec ^-1 X
• sec ^-1 (–x) = π – sec ^-1 X
• pat ^-1 (–x) = π – cot ^-1 X

Identitati cu unghi triplu

Identitățile cu unghiuri triple sunt formule utilizate pentru a exprima funcțiile trigonometrice ale unghiurilor triple (3θ) în termenii funcțiilor unghiurilor simple (θ). Aceste formule trigonometrice sunt utile pentru simplificarea și rezolvarea ecuațiilor trigonometrice în care sunt implicate unghiuri triple.

sin 3x=3sin x – 4sin ³ X

câte zerouri în 1 miliard

cos 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Identități cu jumătate de unghi

Identitățile cu jumătate de unghi sunt acele formule trigonometrice care sunt folosite pentru a găsi sinusul, cosinusul sau tangenta jumătății dintr-un unghi dat. Aceste formule sunt folosite pentru a exprima funcțiile trigonometrice ale semiunghiurilor în termenii unghiului original.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

De asemenea,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

sql server pivot

Suma la identitățile produsului

Identitățile Sum to Product sunt formulele trigonometrice care ne ajută să exprimăm sumele sau diferențele funcțiilor trigonometrice ca produse ale funcțiilor trigonometrice.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + cozy = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − cozy = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Identități de produs

Identitățile de produs, cunoscute și sub numele de identități produs la sumă sunt formulele care permit exprimarea produselor funcțiilor trigonometrice ca sume sau diferențe ale funcțiilor trigonometrice.

Aceste formule trigonometrice sunt derivate din formulele de sumă și diferență pentru sinus și cosinus.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Lista formulelor de trigonometrie

Tabelul de mai jos constă din rapoartele trigonometrice de bază pentru unghiuri precum 0°, 30°, 45°, 60° și 90° care sunt utilizate în mod obișnuit pentru rezolvarea problemelor.

Întrebări rezolvate privind formula trigonometrică

Iată câteva exemple rezolvate de formule de trigonometrie pentru a vă ajuta să înțelegeți mai bine conceptele.

Întrebarea 1: Dacă cosec θ + cot θ = x, găsiți valoarea cosec θ – cot θ, folosind formula trigonometrică.

Soluţie:

cosec θ + cot θ = x

Știm că cosec²θ+ pat²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

Întrebarea 2: Folosind formule de trigonometrie, arătați că tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Soluţie:

Avem,

L.H.S= tan 10 ° deci 15 ° deci 75 ° deci 80 °

= bronz (90-80) ° deci 15 ° bronz (90-15) ° deci 80 °

= patut 80 ° deci 15 ° patut 15 ° deci 80 °

=(patut 80 ° * deci 80 ° )( patut 15 ° * deci 15 ° )

= 1 = R.H.S

Întrebarea 3: Dacă sin θ cos θ = 8, găsiți valoarea lui (sin θ + cos θ) ² folosind formulele de trigonometrie.

Soluţie:

(sin θ + cos θ)²

lista pe java

= fara²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

Întrebarea 4: Cu ajutorul formulelor trigonometrice, demonstrați că (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Soluţie:

L.H.S = (tan θ + sec θ – 1)/(tan θ – sec θ + 1)

= [(tan θ + sec θ) – (sec²θ – deci²θ)]/(tan θ – sec θ + 1), [Deoarece, sec²θ – deci²θ = 1]

actualizare java

= {(tan θ + sec θ) – (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (1 – sec θ + tan θ)}/(tan θ – sec θ + 1)

= {(tan θ + sec θ) (tan θ – sec θ + 1)}/(tan θ – sec θ + 1)

= tan θ + sec θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Demonstrat.

Întrebări frecvente despre formulele trigonometrice și identitățile

Ce este trigonometria?

Trigonometria este o ramură a matematicii care se concentrează pe relațiile dintre unghiurile și laturile triunghiurilor, în special triunghiurile dreptunghiulare.

Care sunt cele trei rapoarte trigonometrice de bază?

• Sin A = Perpendiculară/ Hipotenuză
• Cos A= Baza/Hipotenuza
• Tan A= Perpendicular/ Baza

Cărui triunghi sunt aplicabile formulele trigonometrice?

Formulele trigonometrice sunt aplicabile triunghiurilor dreptunghiulare.

Care sunt principalele rapoarte trigonometrice?

Sinus, Cosinus, Tangent, Cotangent, Secant și Cosecant.

Pentru ce unghi valoarea raportului bronz este egală cu raportul cot?

Pentru valoarea de 45°, tan 45°= cot 45° = 1.

Care este formula pentru sin3x?

Formula pentru sin3x este 3sin x – 4 sin³X.