Trigonometria este o ramură importantă a matematicii care se ocupă de relația dintre unghiurile și lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic. Cele șase rapoarte sau funcții trigonometrice sunt sinus, cosinus, tangentă, cosecantă și secanta, iar un raport trigonometric este un raport între laturile unui triunghi dreptunghic. Funcțiile sinus, cosinus și tangentă sunt trei funcții trigonometrice importante, deoarece celelalte trei, adică funcțiile cosecante, secante și cotangente sunt funcțiile reciproce ale funcțiilor sinus, cosinus și, respectiv, tangentă.

• sin θ = Latura opusă/ipotenuză
• cos θ = Latura adiacentă/Hipotenuză
• tan θ = Latura opusă/Latura adiacentă
• cosec θ = Hipotenuză/Latura opusă
• sec θ = Hipotenuză/Latura adiacentă
• cot θ = Latura adiacentă/Latura opusă

Funcția tangentă este una dintre cele 6 funcții trigonometrice utilizate în formule de trigonometrie .

Cuprins

• Formula tangentă
• Câteva formule tangente de bază
• Funcția tangentă în termeni de funcție sinusoidală
• Funcția tangentă în termeni de funcție cosinus
• Funcția tangentă în termeni de funcție cotangentă
• Funcția tangentă în termeni de funcție cosecantă
• Funcția tangentă în termeni de funcție secante

Formula tangentă

Tangenta unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea laturii opuse și lungimea laturii adiacente unghiului dat. Scriem o funcție tangentă ca tan. Să considerăm un triunghi dreptunghic XYZ și unul dintre unghiurile sale ascuțite este θ. O latură opusă este latura opusă unghiului θ, iar latura adiacentă este latura adiacentă unghiului θ.

Acum, formula tangentei pentru unghiul dat θ este,

tan θ = Latura opusă/Latura adiacentă

Câteva formule tangente de bază

Funcția tangentă în cadrane

Funcția tangentă este pozitivă în primul și al treilea cadran și negativă în al doilea și al patrulea cadran.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^Sfcadran)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^ndcadran)
• tan (π + θ) = tan θ (3^rdcadran)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^thcadran)

Funcția tangentă ca funcție negativă

Funcția tangentă este o funcție negativă, deoarece tangenta unui unghi negativ este negativul unui unghi tangentă pozitiv.

tan (-θ) = – tan θ

Funcția tangentă în termeni de funcție sinus și cosinus

Funcția tangentă în termeni de funcții sinus și cosinus poate fi scrisă ca,

tan θ = sin θ/cos θ

Știm că, tan θ = Latura opusă/Latura adiacentă

Acum, împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu ipotenuza

tan θ = (Latura opusă/Hipotenuză)/(Latura adiacentă/Hipotenuză)

Știm că, sin θ = latura opusă/ipotenuză

cos θ = latura adiacentă/ipotenuză

Prin urmare, tan θ = sin θ/cos θ

Funcția tangentă în termeni de funcție sinusoidală

Funcția tangentă în termenii funcției sinus poate fi scrisă ca,

tan θ = sin θ/(√1 – sin ² i)

Noi stim aia,

tan θ = sin θ/cos θ

topologie în stea

Din identitățile pitagoreice, avem,

fără²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²i

cos θ = √(1 – sin²i)

Prin urmare, tan θ = sin θ/(√1 – sin²i)

Funcția tangentă în termeni de funcție cosinus

Funcția tangentă în termenii funcției cosinus poate fi scrisă ca,

tan θ = (√1 -cos ² i)/cos i

Noi stim aia,

tan θ = sin θ/cos θ

Din identitățile pitagoreice, avem,

fără²θ + cos²θ = 1

fără²θ = 1 – cos²i

sin θ = √(1 – cos²i)

Prin urmare, tan θ = (√1 – cos²i)/cos i

Funcția tangentă în termeni de funcție cotangentă

Funcția tangentă în termenii funcției cotangente poate fi scrisă ca,

tan θ = 1/cot θ

sau

tan θ = cot (90° – θ) (sau) cot (π/2 – θ)

Funcția tangentă în termeni de funcție cosecantă

Funcția tangentă în termenii funcției cosecante poate fi scrisă ca,

tan θ = 1/√(cosec ² i – 1)

Din identitățile pitagoreice, avem,

cosec²θ – pătuț²θ = 1

pat²θ = cosec²eu – 1

cot θ = √(cosec²i – 1)

Noi stim aia,

tan θ = 1/cot θ

Prin urmare, tan θ = 1/√(cosec²i – 1)

Funcția tangentă în termeni de funcție secante

Funcția tangentă în termenii funcției secante poate fi scrisă ca,

tan θ = √sec ² eu – 1

Din identitățile pitagoreice, avem,

sec²θ – deci²θ = 1

tan θ = sec²eu – 1

Prin urmare, tan θ = √(sec²i – 1)

Funcția tangentă în termeni de unghi dublu

Funcția tangentă pentru un unghi dublu este,

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² i)

Funcția tangentă în termeni de unghi triplu

Funcția tangentă pentru un unghi triplu este,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² i)

Funcția tangentă în termeni de semiunghi

Funcția tangentă pentru un semiunghi este,

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Funcția tangentă în termeni de adunare și scădere a două unghiuri

Formulele de sumă și diferență pentru o funcție tangentă sunt:

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)

tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Tabelul cu rapoarte trigonometrice

Exemplu rezolvat pe formule tangente

Exemplul 1: Aflați valoarea lui tan θ dacă sin θ = 2/5 și θ este primul unghi de cadran.

Soluţie:

Dat,

• sin θ = 2/5

Din identitățile pitagorice pe care le avem,

fără²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Deoarece θ este primul unghi de cadran, cos θ este pozitiv.

cos θ = √21/5

Noi stim aia,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

tan θ = 2√21 /21

Deci, valoarea lui tan θ când sin θ = 2/5 și θ este în primul cadran este (2√21) /(21)

Exemplul 2: Aflați valoarea lui tan x dacă sec x = 13/12 și x este al patrulea unghi cadran.

Soluţie:

Având în vedere, sec x = 13/12

Din identitățile pitagoreice, avem,

sec²x – deci²x = 1

asa de²x = sec²x – 1= (13/12)²- 1

asa de²x = (169/144) – 1= 25/144

tan x = ± 5/12

Deoarece x este al patrulea unghi cadran, tan x este negativ.

tan x = – 5/12

Prin urmare, tan x = – 5/12

Exemplul 3: Dacă tan X = 2/3 și tan Y = 1/2, atunci care este valoarea tan (X + Y)?

Soluţie:

Dat,

tan X = 2/3 și tan Y = 1/2

Noi stim aia,

caracter java în șir

tan (X + Y) = (tan X + tan Y)/(1 – tan X tan Y)

bronz (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Prin urmare, tan(X + Y) = 7/4

Exemplul 4: Calculați funcția tangentă dacă laturile adiacente și opuse ale unui triunghi dreptunghic au 4 cm și, respectiv, 7 cm.

Soluţie:

Dat,

Latura adiacentă = 4 cm

Partea opusă = 7 cm

Noi stim aia,

tan θ = Latura opusă/Latura adiacentă

tan θ = 7/4 = 1,75

Prin urmare, tan θ = 1,75

Exemplul 5: Un bărbat se uită la un turn cu ceas la un unghi de 60° față de vârful turnului, a cărui înălțime este de 100 m. Care este distanța dintre om și piciorul turnului?

Soluţie:

Dat,

Înălțimea turnului = 100 m și θ = 60°

Fie distanța dintre om și piciorul turnului = d

Avem,

tan θ = Latura opusă/Latura adiacentă

tan 60° = 100/d

√3 = 100/d [Deoarece, deci 60° = √3]

d = 100/√3

Prin urmare, distanța dintre om și piciorul turnului este 100/√3

Exemplul 6: Aflați valoarea lui tan θ dacă sin θ = 7/25 și sec θ = 25/24.

Soluţie:

Dat,

sin θ = 7/25

sec θ = 25/24

Noi stim aia,

sec θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Avem,

tan θ = sin θ/cos θ

= (25/7)/(24/25)

= 7/24

Prin urmare, tan θ = 7/24

Exemplul 7: Aflați valoarea lui tan θ dacă cosec θ = 5/3 și θ este primul unghi de cadran.

Soluţie:

Dat, cosec θ = 5/3

Din identitățile pitagoreice, avem,

123film

cosec²θ – pătuț²θ = 1

pat²θ = cosec²eu – 1

pat θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

cot θ = ±√16/9 = ± 4/3

Deoarece θ este primul unghi de cadran, atât funcțiile cotangente cât și cele tangente sunt pozitive.

pat θ = 4/3

Noi stim aia,

cot θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tanθ

tan θ = 3/4

Prin urmare, tan θ = 3/4

Exemplul 8: Găsiți tan 3θ dacă sin θ = 3/7 și θ este primul unghi de cadran.

Solutie:

Dat, sin θ = 12/13

Din identitățile pitagorice pe care le avem,

fără²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Deoarece θ este primul unghi de cadran, cos θ este pozitiv.

cos θ = 5/13

Noi stim aia,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Prin urmare, tan θ = 12/5

Acum, știm că,

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

tan 3θ = 3 × (12/5)