Funcția unu la unu sau One-One Function este una dintre tipuri de funcții definit peste domeniu și codomeniu și descrie tipul specific de relație dintre domeniu și codomeniu. Funcția One to One se mai numește și Funcția Injectivă. One to One Function este o funcție matematică în care fiecare element în domeniu mapează la un element unic din codomeniu .

Acest articol explorează în detaliu conceptul de funcție One-to-One sau One-One, inclusiv definiția și exemplele sale, care vă ajută să înțelegeți cu ușurință conceptul. Vom discuta, de asemenea, câteva exemple de probleme și vom oferi câteva probleme practice pe care să le rezolvați. Așadar, să învățăm despre acest concept important în matematică cunoscut sub numele de Funcția One to One.

Cuprins

• Ce este funcția unu-la-unu?
• Exemple de funcții unu-la-unu
• Proprietăți ale funcțiilor unu-la-unu
• One to One Function și Onto Function
• Exemple rezolvate pe funcția unu la unu

Ce este funcția unu-la-unu?

O funcție unu-la-unu, cunoscută și ca funcție injectivă, este una în care diferitele elemente ale lui A au elemente diferite legate de B sau diferite elemente ale lui A au imagini diferite în B.

Dacă există imagini diferite pentru o funcție, înseamnă că este posibil doar pentru unu-la-unu dacă preimaginile au fost diferite dacă setul B are elemente diferite, înseamnă că este posibil numai atunci când un set a avut elemente diferite pentru care acestea au fost pre-imagini.

operatori java

Definiția funcției unu la unu

O funcție „f” de la un set „A” la setul „B” este unu-la-unu dacă nu există două elemente din „A” mapate la același element din „B”.

Să luăm în considerare aceste două diagrame. Pentru diagrama A ne dăm seama că 10 hărți la 1, 20 de hărți la 2 și 30 de hărți la 3.

Cu toate acestea, pentru diagrama B, este clar că 10 și 30 de hărți la 3 și apoi 20 de hărți la 1.

Deoarece avem elemente în domeniul corespunzătoare unor valori distincte în fiecare domeniu pentru diagrama A, aceasta face funcția unu-la-unu, astfel diagrama noastră B nu este unul la unu.

Acest lucru poate fi exprimat matematic ca

f(a) = f(b) ⇒ a = b

Exemplu de funcții unu-la-unu

• Funcția de identitate: Funcția de identitate este un exemplu simplu de funcție unu-la-unu. Ia o intrare și returnează aceeași valoare ca și ieșirea. Pentru orice număr real x, funcția de identitate este definită ca:

f(x) = x

Fiecare intrare distinctă x corespunde unei ieșiri distincte f(x), ceea ce o face o funcție unu-la-unu.

• Funcție liniară: O funcție liniară este una în care puterea cea mai mare a variabilei este 1. De exemplu:

f(x) = 2x + 3

Aceasta este o funcție unu-la-unu, deoarece indiferent de valoarea lui x pe care o alegeți, veți obține o valoare unică pentru f(x).

• Funcția de valoare absolută: Funcția de valoare absolută f(x)=∣x∣ este, de asemenea, o funcție unu-la-unu. Pentru orice număr real x, funcția valoare absolută returnează o valoare nenegativă, iar valori diferite ale lui x vor avea ca rezultat valori absolute diferite.

Să demonstrăm unul dintre astfel de exemple pentru funcția unu-la-unu.

Exemplu: Demonstrați că funcția f(x) = 1/(x+2), x≠2 este unu-la-unu.

Soluţie:

Conform funcției unu-la-unu știm asta

f(a) = f(b)

înlocuiți a cu x și x cu b

f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

încrucișează ecuația de mai sus

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴ a=b

Acum, deoarece a = b se spune că funcția este o funcție unu-la-unu.

Proprietăți Funcții unu-la-unu

Să considerăm că f și g sunt două funcții unu-la-unu, proprietățile sunt după cum urmează:

• Dacă f și g sunt ambele unu la unu, atunci f ∘ g urmează injectivității.
• Dacă g ∘ f este unu la unu, atunci funcția f este unu la unu, dar funcția g poate să nu fie.
• f: X → Y este unu-unu, dacă și numai dacă, având în vedere orice funcții g, h : P → X ori de câte ori f ∘ g = f ∘ h, atunci g = h. Cu alte cuvinte, funcțiile unu-unu sunt exact monomorfismele din setul de categorii de mulțimi.
• Dacă f: X → Y este unu-unu și P este o submulțime a lui X, atunci f^-1(f(A)) = P. Astfel, P poate fi extras din imaginea sa f(P).
• Dacă f: X → Y este unu-unu și P și Q sunt ambele submulțimi ale lui X, atunci f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
• Dacă atât X cât și Y sunt limitate cu același număr de elemente, atunci f: X → Y este unu-unu, dacă și numai dacă f este surjectivă sau pe funcție.

Graficul funcției unu-la-unu

Să vedem una dintre reprezentarea grafică a funcției unu-la-unu

Graficul de mai sus al funcției f(x)= √x arată reprezentarea grafică a funcției unu-la-unu.

Test de linie orizontală

O funcție este unu-la-unu dacă fiecare linie orizontală nu intersectează graficul în mai mult de un punct.

Să folosim ca exemplu o funcție liniară. Să-l numim f(x), deci f(x) are o funcție inversă. Pentru a determina dacă f(x) are o funcție inversă, trebuie să arăți că este o funcție unu-la-unu, trebuie să arăți că trece testul liniei orizontale. Deci, dacă desenăm o linie orizontală și dacă f(x) atinge linia orizontală de mai multe ori, înseamnă că f(x) nu este o funcție unu-la-unu și nu are o funcție inversă.

În exemplul de mai sus, intersectează linia orizontală doar într-un punct. Deci f(x) este o funcție unu-la-unu, ceea ce înseamnă că are o funcție inversă.

Inversa funcției unu-la-unu

Fie f o funcție unu-la-unu cu un domeniu A și un interval B. Atunci inversul lui f este o funcție cu domeniul B și un interval A definit de f^-1(y) =x dacă și numai dacă f(x)=y pentru orice y din B. Rețineți întotdeauna că o funcție are inversă dacă și numai dacă este unu-la-unu. O funcție este unu-la-unu dacă cel mai mare exponent este un număr impar. Dar dacă cel mai mare număr este un număr par sau o valoare absolută, aceasta nu este o funcție unu-la-unu.

Exemplu: f(x)=3x+2 găsiți inversul funcției

Soluţie:

scrieți funcția în forma y=f(x).

⇒ y=3x+2

să schimbăm variabilele y și x

⇒ x=3y+2

rezolvați y în termeni de x

⇒ x-2=3y

împărțiți ecuația cu 3

⇒ (x-2)/3=3y/3

⇒ y=(x-2)/3

∴ f-1(x)=(x-2)/3

One to One Function și Onto Function

Diferențele cheie dintre funcțiile One to One și Onto sunt enumerate în următorul tabel:

Următoarea ilustrație oferă diferența clară între funcția one one și on:

Citeşte mai mult,

• Funcții
• Tipuri de funcții
• Relație și funcție

Probleme rezolvate pe funcția unu la unu

Să rezolvăm câteva probleme pentru a ilustra funcțiile unu-la-unu:

Problema 1: Determinați dacă următoarea funcție este unu-la-unu: f(x) = 3x – 1

Soluţie:

Soluția 1: Pentru a verifica dacă este unul-la-unu, trebuie să arătăm că nu există două valori x distincte care sunt asociate cu aceeași valoare y.

Să presupunem că f(a) = f(b), unde a ≠ b.

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

a = b

Deoarece singura modalitate pentru f(a) = f(b) este atunci când a = b, această funcție este într-adevăr unu-la-unu.

Problema 2: Determinați dacă următoarea funcție este unu-la-unu: g(x) = x ²

Soluţie:

Soluția 2: Vom folosi testul liniei orizontale prin reprezentarea grafică a funcției. Dacă orice linie orizontală intersectează graficul de mai multe ori, nu este unul la unu.

Graficul lui g(x) = x^2 este o parabolă care se deschide în sus. Orice linie orizontală intersectează graficul o singură dată, deci această funcție nu este unu-la-unu.

Exersați probleme pe funcțiile unu la unu

Problema 1: Determinați dacă următoarea funcție este unu-la-unu:

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = 3x²- 1
• h(x) =³√x

Problema 2: Găsiți o funcție care este unu-la-unu de la mulțimea de numere reale la mulțimea de numere reale.

Problema 3: Având în vedere funcția g(x) = x²+ 1, determinați dacă este unul la unu pe întregul său domeniu.

Problema 4: Se consideră funcția h(x) = e^X. Este o funcție unu-la-unu?

Problema 5: Aflați funcția inversă a lui f(x) = 4x – 7 și determinați-i domeniul.

Problema 6: Determinați dacă funcția p(x) = √x este unu-la-unu.

Problema 7: Având în vedere q(x) = x/2, găsiți domeniul și domeniul funcției.

Problema 8: Verificați dacă funcția r(x) = sin (x) este unu-la-unu pe intervalul [0, π].

Problema 9: Se consideră funcția s(x) = |x|. Este o funcție unu-la-unu?

Problema 10: Determinați dacă funcția t(x) = 1/x este unu-la-unu și găsiți-i domeniul.

Funcții One to One – Întrebări frecvente

1. Ce este o funcție unu-la-unu?

O funcție unu-la-unu este o funcție matematică care mapează fiecare element din domeniul său cu un element unic din codomeniul său. Cu alte cuvinte, nu mapează două elemente diferite din domeniu cu același element din codomeniu.

2. Cum pot determina dacă o funcție este unu-la-unu?

Puteți utiliza testul de linie orizontală. Dacă nicio linie orizontală nu intersectează graficul funcției de mai multe ori, aceasta este o funcție unu-la-unu.

3. Care este diferența dintre o funcție one-to-one și o funcție onto?

O funcție unu-la-unu asigură că nu există două elemente distincte din domeniul mapării la același element din codomeniu, în timp ce o funcție on, cunoscută și ca funcție surjectivă, asigură că fiecare element din codomeniu este mapat de cel puțin un element din domeniu.

4. Toate funcțiile liniare sunt unu-la-unu?

Nu, nu toate funcțiile liniare sunt unu-la-unu. De exemplu, f(x) = 2x este unul la unu, dar g(x) = 2x + 1 nu este pentru că mapează două valori x diferite la aceeași valoare y (de exemplu, g(1) = 3 și g(2) = 5).