În acest articol, vom discuta despre diferența simetrică dintre două seturi. Aici, vom discuta și proprietățile diferenței simetrice dintre două mulțimi.
Sper că acest articol vă va fi de ajutor pentru a înțelege diferența simetrică dintre două seturi.
Ce este o diferență simetrică?
O altă variantă de diferență este diferența simetrică. Să presupunem că există două mulțimi, A și B. Diferența simetrică dintre ambele mulțimi A și B este mulțimea care conține elementele care sunt prezente în ambele mulțimi, cu excepția elementelor comune.
Diferența simetrică dintre două mulțimi se mai numește și ca unire disjunctive . Diferența simetrică dintre două mulțimi este un set de elemente care se află în ambele mulțimi, dar nu în intersecția lor. Diferența simetrică dintre două mulțimi A și B este reprezentată de A D B sau A ? B .
O putem înțelege prin exemple.
Exemplul 1 Să presupunem că există două mulțimi cu unele elemente.
Setul A = {1, 2, 3, 4, 5}
Setul B = {3, 5}
Deci, diferența simetrică dintre mulțimile date A și B este {1, 2, 4}
Sau putem spune asta A Δ B = {1, 2, 4} .
Exemplul 2 Să presupunem că există două mulțimi cu unele elemente.
Mulțimea A = {a, b, c, k, m, n}
Mulțimea B = {c, n}
Deci, diferența simetrică dintre mulțimile date A și B este {a, b, k, m}
Sau putem spune asta A Δ B = {a, b, k, m} .
În diagrama Venn de mai jos, puteți vedea diferența simetrică dintre cele două seturi.
Partea umbrită cu culoarea pielii din diagrama Venn de mai sus este diferența simetrică dintre seturile date, adică, A D B .
Să vedem câteva dintre proprietățile diferenței simetrice dintre două mulțimi.
Proprietăți
Există unele dintre proprietățile diferenței simetrice care sunt enumerate după cum urmează;
- Diferența simetrică poate fi reprezentată ca unirea ambelor complemente relative, adică
A Δ B = (A / B) ∪ (B / A) - Diferența simetrică dintre două mulțimi poate fi exprimată și ca unirea a două mulțimi minus intersecția dintre ele -
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Diferența simetrică este comutativă, precum și asociativă -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Mulțimea goală este neutră (în matematică, se spune că un element neutru este un tip special de element care, atunci când este combinat cu orice element din mulțime pentru a efectua o operație binară, lasă elementul neschimbat. Este cunoscut și ca Element de identitate ).
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - Dacă setul A este egal cu setul B, atunci diferența simetrică dintre ambele mulțimi este -
A Δ B = ∅ {când A = B}
„Diferența simetrică între două seturi” v/s „Diferența între două seturi”
Diferența dintre două seturi
Diferența dintre două mulțimi A și B este o mulțime a tuturor acelor elemente care aparțin lui A, dar nu aparțin lui B și se notează cu A - B .
Exemplu: Fie A = {1, 2, 3, 4}
și B = {3, 4, 5, 6}
atunci A - B = {3, 4} și B - A = {5, 6}
Diferența simetrică între două seturi
Diferența simetrică dintre două mulțimi, A și B, este mulțimea care conține toate elementele care sunt în A sau B, dar nu în ambele. Este reprezentat de A D B sau A ? B .
Exemplu: Fie A = {1, 2, 3, 4}
și B = {3, 4, 5, 6}
atunci A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Acum, să vedem câteva exemple pentru a înțelege mai clar diferența simetrică dintre două seturi.
Intrebarea 1 - Să presupunem că aveți mulțimile A = {10, 15, 17, 19, 20} și B = {15, 16, 18}. Aflați diferența dintre ambele seturi A și B și, de asemenea, aflați diferența simetrică dintre ele.
Soluție - Dat,
centos vs rhel
A = {10, 15, 17, 19, 20}
și B = {15, 16, 18}
Diferența dintre ambele seturi este -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Diferența simetrică între ambele seturi este -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Intrebarea 2 - Să presupunem că aveți mulțimile A = {2, 4, 6, 8} și B = {2, 5, 7, 8}. Aflați diferența simetrică B Δ A. De asemenea, desenați diagrama Venn pentru a reprezenta diferența simetrică dintre ambele mulțimi date.
Soluție - Dat fiind, A = {2, 4, 6, 8} și B = {2, 5, 7, 8}
Știm că, B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Să încercăm să rezolvăm întrebarea pas cu pas. Deci, primul pas este să găsiți uniunea mulțimii A și a mulțimii B.
Prin urmare, (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
După aceea, trebuie să calculăm intersecția dintre ambele mulțimi.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Acum, trebuie să găsim diferența dintre unirea și intersecția mulțimilor A și B, așa cum se precizează în formula,
Deci, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Prin urmare, B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Care va fi egal cu A Δ B, așa cum sa menționat mai sus, „Diferența simetrică este comutativă”. Acum, vom arăta diferența simetrică dintre ambele seturi prin diagrama Venn.
În diagrama Venn, mai întâi, vom desena două cercuri reprezentând mulțimile A și B. După cum s-a calculat mai sus, intersecția dintre ambele mulțimi este {2, 8}, așa că am enumerat aceste elemente în regiunea de intersectare. Apoi, enumerăm elementele rămase în cercurile lor respective, adică {4, 6} din mulțimea A și {5, 7} din mulțimea B. După aranjarea elementelor, diagrama Venn va fi -
Când ne uităm la diagrama Venn de mai sus, există o mulțime universală U. Ambele mulțimi A și B sunt submulțimea mulțimii universale U. Elementele {2, 8} sunt elementele care se intersectează, deci sunt reprezentate în regiunea de intersectare. Regiunea cu culoare portocalie deschisă este uniunea mulțimilor, cu excepția regiunii care se intersectează. Această regiune este diferența simetrică dintre ambele seturi A și B și va fi reprezentată ca -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Întrebarea 3 - Să presupunem că aveți mulțimile A = {5, 6, 8, 9, 10} și B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Demonstrați că diferența simetrică este comutativă folosind mulțimile date.
Soluție - Dat fiind, A = {5, 6, 8, 9, 10} și B = {2, 7, 8, 9, 10}
A dovedi: A Δ B = B Δ A
Luați LHS,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Deci, A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Acum, luați RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Deci, B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Prin urmare, A Δ B = B Δ A
Prin urmare, diferența simetrică este comutativă.