Maxime și Minime locale se referă la punctele funcțiilor, care definesc intervalul cel mai înalt și cel mai scăzut al funcției respective. Derivata funcției poate fi utilizată pentru a calcula maximele locale și minimele locale. Maximele și minimele locale pot fi găsite prin utilizarea atât a testului derivatei I, cât și a testului derivatei a doua.

În acest articol, vom discuta despre introducerea, definiția și terminologia importantă a Local Maxima și Minima și semnificația acesteia. De asemenea, vom înțelege diferitele metode de calculare a maximelor și minimelor locale în matematică și calcul . De asemenea, vom rezolva diverse exemple și vom oferi întrebări practice pentru o mai bună înțelegere a conceptului acestui articol.

Cuprins

• Ce este maxima locală și minimă locală?
• Definiția Local Maxima și Local Minima
• Termeni legați de maximele locale și minimele locale
• Cum să găsiți maximele și minimele locale?
• Exemple de maxime locale și minime locale

Ce este maxima locală și minimă locală?

Maximele și minimele locale sunt denumite valori maxime și minime într-un interval specific. Un maxim local apare atunci când valorile lui a funcţie lângă un anumit punct sunt întotdeauna mai mici decât valorile funcției din același punct. În cazul minimelor locale, valorile unei funcții în apropierea unui anumit punct sunt întotdeauna mai mari decât valorile funcției din același punct.

Într-un sens simplu, un punct se numește maxim local atunci când funcția atinge cea mai mare valoare într-un anumit interval, iar un punct se numește minim local atunci când funcția atinge cea mai mică valoare într-un interval specific.

De exemplu, dacă mergi într-o zonă deluroasă și stai pe vârful unui deal, acel punct se numește punct Local Maxima deoarece te afli în cel mai înalt punct din împrejurimi. În mod similar, dacă vă aflați în punctul cel mai de jos al unui râu sau al unei mări, acel punct se numește punct minim local deoarece vă aflați în cel mai de jos punct din împrejurimi.

Definiția Local Maxima și Local Minima

Maximele și minimele locale sunt valorile inițiale ale oricărei funcții pentru a vă face o idee despre limitele acesteia, cum ar fi cele mai mari și cele mai mici valori de ieșire. Local Minima și Local Maxima se mai numesc și Local Extrema.

Local Maxima

Un punct maxim local este un punct al oricărei funcții în care funcția își atinge valoarea maximă într-un anumit interval. Un punct (x = a) al unei funcții f (a) se numește maxim local dacă valoarea lui f(a) este mai mare sau egală cu toate valorile lui f(x).

lungimea șirului java

Matematic, f (a) ≥ f (a -h) și f (a) ≥ f (a + h) unde h> 0, atunci a se numește Punct maxim local.

Minime locale

Un punct minim local este un punct din orice funcție în care funcția își atinge valoarea minimă într-un anumit interval. Un punct (x = a) al unei funcții f (a) se numește minim local dacă valoarea lui f(a) este mai mică sau egală cu toate valorile lui f(x).

Matematic, f (a) ≤ f (a -h) și f (a) ≤ f (a + h) unde h> 0, atunci a se numește Punctul minim local.

Termeni legați de maximele locale și minimele locale

Terminologia importantă legată de Local Maxima și Minima este discutată mai jos:

Valoare maximă

Dacă orice funcție oferă valoarea maximă de ieșire pentru valoarea de intrare a lui x. Acea valoare a lui x se numește valoare maximă. Dacă este definit într-un interval specific. Apoi acel punct se numește Local Maxima .

Maxim absolut

Dacă orice funcție oferă valoarea maximă de ieșire pentru valoarea de intrare a lui x de-a lungul întregului interval al funcției. Acea valoare a lui x se numește maxim absolut.

Valoarea minima

Dacă orice funcție oferă valoarea minimă de ieșire pentru valoarea de intrare a lui x. Acea valoare a lui x se numește valoare minimă. Dacă este definit într-un interval specific. Apoi acel punct se numește Minime locale .

Minimum absolut

Dacă orice funcție oferă valoarea minimă de ieșire pentru valoarea de intrare a lui x de-a lungul întregului interval al funcției. Acea valoare a lui x se numește minim absolut.

Punctul de inversare

Dacă valoarea lui x în intervalul funcției date nu arată cea mai mare și cea mai mică ieșire, se numește Punct de inversare.

Află mai multe, Maxime și Minime absolute

Cum să găsiți maximele și minimele locale?

Maximele locale și minimele sunt determinate doar pentru un interval specific, nu este maxim și minim pentru întreaga funcție și nu se aplică întregului interval al funcției.

Există următoarele abordări pentru calcularea maximelor și minimelor locale. Acestea sunt:

• În primul pas, luăm derivata funcției.

• În a doua etapă, setăm derivata egală cu zero și calculăm punctele critice pentru c.

• În a treia etapă, folosim Prima derivată și Testul derivatei a doua pentru a determina maximele locale și minimele locale.

Ce este primul test derivat?

În primul rând, luăm derivata întâi a unei funcții care dă panta funcției. Pe măsură ce ne apropiem de un punct maxim, panta funcției crește, apoi devine zero în punctul maxim, iar după aceea scade pe măsură ce ne îndepărtăm de el.

În mod similar, în punctul minim, pe măsură ce ne apropiem de un punct minim, panta curbei scade, apoi devine zero în punctul minim, iar după aceea crește pe măsură ce ne îndepărtăm de acel punct.

Să luăm o funcție f(x), care este continuă în punctul critic c, într-un interval deschis I, iar f'(c) = 0, înseamnă panta în punctul critic c = 0.

Pentru a verifica natura lui f'(x) în jurul punctului critic c, avem următoarele condiții pentru a determina valoarea maximului și minimului local din testul derivatei I. Aceste conditii sunt:

• Dacă f ′(x) își schimbă semnul din pozitiv în negativ pe măsură ce x crește prin c, atunci f(c) arată cea mai mare valoare a acelei funcție în intervalul dat. Prin urmare, punctul c este un punct maxim local, dacă prima derivată f ‘(x)> 0 în orice punct suficient de aproape de stânga lui c și f ‘(x) <0 în orice punct suficient de aproape de dreapta lui c.

• Dacă f ′(x) își schimbă semnul din negativ în pozitiv pe măsură ce x crește prin c, atunci f(c) arată cea mai mică valoare a acelei funcții în intervalul dat. Prin urmare, punctul c este un punct minim local, dacă prima derivată f ‘(x) 0 în orice punct suficient de aproape de dreapta lui c.

• Dacă f'(x) nu schimbă semnul semnificativ cu x crescând prin c, atunci punctul c nu arată cea mai mare (maxime locale) și cea mai mică (minimă locală) a funcției, în acest caz, punctul c este numit Punct de inflexiune.

Citiți mai multe despre Primul test derivat .

Ce este testul a doua derivată?

Testul derivatei a doua este utilizat pentru a afla valoarea maximului absolut și a minimului absolut al oricărei funcții în intervalul specific. Să luăm o funcție f(x), care este continuă în punctul critic c, într-un interval deschis I, și f'(c) = 0, înseamnă panta în punctul critic c = 0. Aici luăm derivata a doua f (x) a funcției f(x) care dă panta funcției.

Pentru a verifica natura lui f'(x), avem următoarele condiții pentru a determina valoarea maximului și minimului local din testul derivatei a doua. Aceste conditii sunt:

• Punctul c este un punct Local Maxima, dacă prima derivată f'(c) = 0, iar derivata a doua f(c) <0. Punctul de la x= c va fi maxima locală și f(c) va fi valoarea maximă locală a lui f(x).

• Punctul c este un punct minim local, dacă prima derivată f'(c) = 0, iar f(c) derivata a doua> 0. Punctul de la x= c va fi minimul local și f(c) va fi Valoarea minimă locală a lui f(x).

• Testul eșuează, dacă prima derivată f'(c) = 0 și a doua derivată f(c) = 0, atunci punctul c nu arată cea mai mare (Local Maxima) și cea mai mică (Local Minima) valoare a funcției , În acest caz, punctul c se numește Punct de inflexiune și punctul x = c este numit Punct de inflexiune.

De asemenea, verifica

• Aplicarea derivatelor
• Maxime și minime relative
• Formula de diferențiere și integrare

Exemple de maxime locale și minime locale

Exemplul 1: Analizați maximele locale și minimele locale ale funcției f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 prin utilizarea testului derivatei întâi.

Soluţie:

Funcția dată este f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

Prima derivată a funcției este f'(x) = 6x²– 6x – 12, va folosi pentru a afla punctele critice.

Pentru a găsi punctul critic, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6(x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Prin urmare, punctele critice sunt x = -1 și x = 2.

Analizați punctul imediat derivat prima la punctul critic x = -1. Punctele sunt {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 și f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Semnul derivatei este pozitiv spre stânga lui x = -1 și este negativ spre dreapta. Prin urmare, indică x = -1 este maxima locală.

Să analizăm acum punctul imediat derivat prima la punctul critic x = 2. Punctele sunt {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 și f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

scanner.next java

Semnul derivatei este negativ spre stânga lui x = 2 și este pozitiv spre dreapta. Prin urmare, indică că x = 2 este minimul local.

Prin urmare, maxima locală este -1, iar minima locală este 2.

Exemplul 2: Analizați maximele locale și minimele locale ale funcției f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 prin utilizarea testului derivatei a doua.

Soluţie:

Funcția dată este f(x) = -x³+6x²-12x +10

Prima derivată a funcției este f'(x) = -x³+6x²-12x +10, va folosi pentru a afla punctele critice.

Pentru a găsi punctul critic, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

X²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

Prin urmare, punctele critice sunt x = 1 și x = 3

Acum luați o derivată a doua a funcției,

f(x) = 6x – 12

Evaluați f(x) în punctul critic x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0 și, prin urmare, x = 1 corespunde maximelor locale.

Evaluați f(x) în punctul critic x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0 și, prin urmare, x = 3 corespunde minimelor locale.

listnode java

Acum, vom calcula valorile funcției în punctele critice:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, Prin urmare, maximul local este la (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, Prin urmare, maximul local este la (3, 1)

Întrebări practice privind minimele și maximele locale

Î1. Găsiți maximele locale și minimele locale ale funcției f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 prin utilizarea testului derivatei a doua.

Q2. Găsiți și analizați maximele și minimele locale ale funcției f(x) = – x²+4x -5 prin utilizarea testului derivatei a doua.

Q3. Găsiți maximele locale și minimele locale ale funcției f(x) = x²-4x +5 prin utilizarea testului derivatei întâi.

Î4. Găsiți și analizați maximele locale și minimele locale ale funcției f(x) = 3x²-12x +5 prin utilizarea testului derivatei întâi.

Î5. Găsiți și analizați maximele și minimele locale ale funcției f(x) = x³– 6x²+9x + 15 prin utilizarea testului derivatei întâi.

Î6. Găsiți și analizați maximele locale și minimele locale ale funcției f(x) = 2x³-9x²+12x +5 folosind testul derivatei a doua.

Local Maxima și Local Minima – Întrebări frecvente

Ce este Local Maxima?

Un punct se numește maximă locală atunci când funcția atinge cea mai mare valoare într-un anumit interval.

Cum puteți găsi maximul local?

Prin diferențierea funcției și găsirea valorii critice la care panta este zero, putem găsi Maximul Local.

Ce este Minimul Local?

Un punct se numește minim local atunci când funcția atinge cea mai mică valoare într-un anumit interval.

Ce metode puteți utiliza pentru a calcula maximele locale și minimele locale?

Testul derivatei întâi și testul derivatei a doua.

Care este diferența dintre testul derivatei întâi și testul derivatei a doua?

Testul derivatei întâi este metoda aproximativă de calculare a valorii maximelor lLcal și minimelor locale, iar testul derivatei a doua este metoda sistematică și precisă de calculare a valorii maximelor locale și minimelor locale.

Care este semnificația punctului de inversare?

Dacă valoarea unui punct din intervalul funcției date nu arată cea mai mare și cea mai mică ieșire, acel punct se numește Punct de inversare.

Care este utilizarea maximelor locale și minimelor locale?

Pentru a afla valoarea extremă a unei funcții într-un anumit interval.