logo

TechCodeview

Identități trigonometrice inverse

Identități trigonometrice inverse: În matematică, funcțiile trigonometrice inverse sunt cunoscute și ca funcții arc sau funcții antitrigonometrice. Funcțiile trigonometrice inverse sunt funcțiile inverse ale funcțiilor trigonometrice de bază, adică sinus, cosinus, tangentă, cosecantă, secantă și cotangentă. Este folosit pentru a găsi unghiurile cu orice raport trigonometric. Funcțiile trigonometrice inverse sunt în general utilizate în domenii precum geometria, inginerie etc. Reprezentarea funcțiilor trigonometrice inverse sunt:

Dacă a = f(b), atunci funcția inversă este



b = f-1(A)

caracter cu șir

Exemple de funcții trigonometrice inverse inverse sunt sin-1x, cos-1x, deci-1x etc.

Cuprins



Domeniul și intervalul de identități trigonometrice inverse

Următorul tabel prezintă câteva funcții trigonometrice cu domeniul și domeniul lor.

Funcţie Domeniu Gamă
y = fără-1X[-unsprezece][-p/2, p/2]
y = cos-1X[-unsprezece][0, p]
y = cosec-1X R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = sec-1X R - (-unsprezece)[0, π] – {π/2}
y = deci-1X R (-p/2, p/2)
y = cot-1X R (0, p)

Proprietăți ale funcțiilor trigonometrice inverse

Următoarele sunt proprietățile funcțiilor trigonometrice inverse:

Proprietatea 1:



  1. fără-1(1/x) = cosec-1x, pentru x ≥ 1 sau x ≤ -1
  2. cos-1(1/x) = sec-1x, pentru x ≥ 1 sau x ≤ -1
  3. asa de-1(1/x) = cot-1x, pentru x> 0

Proprietatea 2:

  1. fără-1(-x) = -sin-1x, pentru x ∈ [-1 , 1]
  2. asa de-1(-x) = -tan-1x, pentru x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, pentru |x| ≥ 1

Proprietatea 3

  1. cos-1(-x) = π – cos-1x, pentru x ∈ [-1 , 1]
  2. sec-1(-x) = π – sec-1x, pentru |x| ≥ 1
  3. pat-1(-x) = π – cot-1x, pentru x ∈ R

Proprietatea 4

  1. fără-1x + cos-1x = π/2, pentru x ∈ [-1,1]
  2. asa de-1x + patut-1x = π/2, pentru x ∈ R
  3. cosec-1x + sec-1x = π/2 , pentru |x| ≥ 1

Proprietatea 5

  1. asa de-1x + deci-1y = deci-1( x + y )/(1 – xy), pentru xy <1
  2. asa de-1x – deci-1y = deci-1(x – y)/(1 + xy), pentru xy> -1
  3. asa de-1x + deci-1y = π + tan-1(x + y)/(1 – xy), pentru xy>1 ; x, y>0

Proprietatea 6

  1. 2tan-1x = sin-1(2x)/(1 + x2), pentru |x| ≤ 1
  2. 2tan-1x = cos-1(1 – x2)/(1 + x2), pentru x ≥ 0
  3. 2tan-1x = deci-1(2x)/(1 – x2), pentru -1

Identități ale funcției trigonometrice inverse

Următoarele sunt identitățile funcțiilor trigonometrice inverse:

  1. fără-1(sin x) = x cu condiția -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos-1(cos x) = x cu condiția 0 ≤ x ≤ π
  3. asa de-1(tan x) = x cu condiția -π/2
  4. fără-1x) = x cu condiția -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos(cos-1x) = x cu condiția -1 ≤ x ≤ 1
  6. asa si asa-1x) = x cu condiția x ∈ R
  7. cosec(cosec-1x) = x cu condiția -1 ≤ x ≤ ∞ sau -∞
  8. sec (sec-1x) = x cu condiția 1 ≤ x ≤ ∞ sau -∞
  9. pat (pat-1x) = x cu condiția -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2- 1)
  14. 2sin-1x = sin-12x√(1 – x2)
  15. 3sin-1x = sin-1(3x – 4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3– 3x)
  17. 3tan-1x = deci-1((3x – x3/1 – 3x2))
  18. fără-1x + sin-1y = fără-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. fără-1x – păcat-1y = fără-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. cos-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – și2)}]
  21. cos-1x – cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2)(1 – și2)}
  22. asa de-1x + deci-1y = deci-1(x + y/1 – xy)
  23. asa de-1x – deci-1y = deci-1(x – y/1 + xy)
  24. asa de-1x + deci-1și +tan-1z = deci-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Oamenii vizualizează și:

Exemple de probleme privind identitățile trigonometrice inverse

Întrebarea 1: Încearcă fără -1 x = sec -1 1/√(1-x 2 )

Soluţie:

Lasă fără-1x = y

⇒ sin y = x , (deoarece sin y = perpendiculară/hipotenuză ⇒ cos y = √(1- perpendiculară2)/hipotenuza )

⇒ cos y = √(1 – x2), aici ipotenuza = 1

⇒ sec y = 1/cos y

⇒ sec y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = sec-11/√(1 – x2)

⇒ fără-1x = sec-11/√(1 – x2)

Prin urmare, dovedit.

Întrebarea 2: Încearcă așa -1 x = cosec -1 √(1 + x 2 )/X

Soluţie:

Lasă așa-1x = y

⇒ tan y = x, perpendiculară = x și baza = 1

⇒ sin y = x/√(x2+ 1) , (deoarece ipotenuza = √(perpendicular2+ baza2) )

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = cosec-1√(x2+ 1)/x

⇒ deci-1x = cosec-1√(x2+ 1)/x

Prin urmare, dovedit.

Întrebarea 3: Evaluează-te ca -1 X)

Soluţie:

Să cos-1x = y

⇒ cos y = x , baza = x și ipotenuza = 1 deci sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x2)/X

⇒ y = deci-1√(1 – x2)/X

⇒ cos-1x = deci-1√(1 – x2)/X

Prin urmare, tan(cos-1x) = tan(tan-1√(1 – x2)/x ) = √(1 – x2)/X.

Întrebarea 4: deci -1 √(sin x) + pat -1 √(sin x) = y. Găsiți cos și.

Soluţie:

Știm acel bronz-1x + patut-1x = /2 deci comparând această identitate cu ecuația dată în întrebare obținem y = π/2

Astfel, cos y = cos π/2 = 0.

Întrebarea 5: deci -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan -1 x, x> 0. Rezolvați pentru x.

Soluţie:

asa de-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)tan-1X

⇒ 2tan-1(1 – x)/(1 + x) = tan-1x …(1)

Știm asta, 2tan-1x = deci-12x/(1 – x2).

Prin urmare, LHS a ecuației (1) poate fi scrisă ca

asa de-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= deci-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – x)2}]

= deci-1[ 2(1 – x2)/(4x)]

= deci-1(1 – x2)/(2x)

Deoarece, LHS = RHS prin urmare

asa de-1(1 – x2)/(2x) = tan-1X

⇒ (1 – x2)/2x = x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ de 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Deoarece, x trebuie să fie mai mare decât 0, de aceea x = 1/√3 este răspunsul acceptabil.

Întrebarea 6: Încearcă -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Soluţie:

Lasă așa-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ deci2y = x

Prin urmare,

RHS = (1/2)cos-1(1- deci2y)/(1 + tan2și)

= (1/2)cos-1(cos2si fara2y)/(cos2și + fără2și)

= (1/2)cos-1(cos2si fara2și)

= (1/2)cos-1(cos 2y)

= (1/2)(2y)

= și

= deci-1√x

= LHS

Prin urmare, dovedit.

Întrebarea 7: deci -1 (2x)/(1 – x 2 ) + patut -1 (1 – x 2 )/(2x) = π/2, -1

Solutii:

asa de-1(2x)/(1 – x2) + patut-1(1 – x2)/(2x) = π/2

⇒ deci-1(2x)/(1 – x2) + deci-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2tan-1(2x)/(1 – x2) = ∏/2

⇒ deci-1(2x)/(1 – x2) = ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = tan ∏/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒ x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 sau x = -1 – √2

Dar conform întrebării x ∈ (-1, 1) deci pentru ecuația dată, mulțimea soluției este x ∈ ∅.

Întrebarea 8: deci -1 1/(1 + 1,2) + tan -1 1/(1 + 2,3) + … + asa de -1 1/(1 + n(n + 1)) = tan -1 X. Rezolvați pentru x.

Soluţie:

asa de-11/(1 + 1,2) + tan-11/(1 + 2,3) + … + tan-11/(1 + n(n + 1)) = tan-1X

⇒ deci-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + tan-1(3 – 2)/(1 + 2.3) + … + deci-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = tan-1X

⇒ (deci-12 – deci-11) + (deci-13 – deci-12) + … + (deci-1(n + 1) – deci-1n) = deci-1X

⇒ deci-1(n + 1) – deci-11 = deci-1X

⇒ deci-1n/(1 + (n + 1).1) = tan-1X

⇒ deci-1n/(n + 2) = tan-1X

⇒ x = n/(n + 2)

Întrebarea 9: Dacă 2tan -1 (fără x) = așa -1 (2sec x) apoi rezolvați pentru x.

Soluţie:

2tan-1(fără x) = așa-1(2sec x)

⇒ deci-1(2sin x)/(1 – sin2x) = deci-1(2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – sin2x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos2x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos2X

⇒ sin x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 sau sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 sau tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 sau x = π/4

Dar la x = π/2 ecuația dată nu există, prin urmare x = π/4 este singura soluție.

Întrebarea 10: Demonstrați acel pătuț -1 [ {√(1 + sin x) + √(1 – sin x)}/{√(1 + sin x) – √(1 – sin x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Soluţie:

Fie x = 2y deci

LHS = patut-1[{√(1+sin 2y) + √(1-sin 2y)}/{√(1+sin 2y) – √(1-sin 2y)}]

= patut-1[{√(cos2și + fără2y + 2sin y cos y) + √(cos2și + fără2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2și + fără2y + 2sin y cos y) – √(cos2și + fără2y – 2sin și cos y)} ]

= patut-1[{√(cos y + sin y)2+ √(cos y – sin y)2} / {√(cos y + sin y)2– √(cos și – sin și)2}]

= patut-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= patut-1(2cos y)/(2sin y)

= patut-1(patut si)

= și

= x/2.

Probleme de practică privind identitățile trigonometrice inverse

Problema 1: Rezolvați pentru x în ecuația sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Problema 2: Demonstrați că bronzul -1 (1) + deci -1 (2) + deci -1 (3) = p

Problema 3: Evaluați cos⁡(fără -1 (0,5))

Problema 4: Dacă bronzează -1 (x) + bronz -1 (2x) = π/4, apoi găsiți x

Întrebări frecvente despre identitățile trigonometrice inverse

Ce sunt funcțiile trigonometrice inverse?

Funcțiile trigonometrice inverse sunt funcțiile inverse ale funcțiilor trigonometrice de bază (sinus, cosinus, tangentă, cosecantă, secantă și cotangentă). Ele sunt folosite pentru a găsi unghiurile corespunzătoare rapoartelor trigonometrice date.

De ce sunt importante funcțiile trigonometrice inverse?

Funcțiile trigonometrice inverse sunt esențiale în diverse domenii precum geometrie, inginerie și fizică, deoarece ajută la determinarea unghiurilor din rapoartele trigonometrice, ceea ce este crucial pentru rezolvarea multor probleme practice.

Care sunt domeniile și intervalele funcțiilor trigonometrice inverse?

Fiecare funcție trigonometrică inversă are domenii și intervale specifice:

s în -1 (x): Domeniu [-1, 1] și Interval [- π/2, π/2]

cos -1 (x): Domeniu [-1, 1] și Interval [ 0, π]

deci⁡ -1 (x): Domeniul R și Interval (- π/2, π/2)

Pot fi utilizate funcțiile trigonometrice inverse în calcul?

Da, funcțiile trigonometrice inverse sunt frecvent utilizate în calcul pentru integrare și diferențiere. Ele sunt deosebit de utile pentru integrarea funcțiilor care implică expresii trigonometrice.