The inversul lui Matrix este matricea care la înmulțirea cu matricea inițială are ca rezultat o matrice de identitate. Pentru orice matrice A, inversul acesteia este notat cu A-1.
Să învățăm în detaliu despre Matrix Inverse, inclusiv definiția sa, formula, metodele despre cum să găsim inversul unei matrice și exemple.
Cuprins
- Matrix Inverse
- Termeni legați de Matrix Inverse
- Cum să găsiți inversul matricei?
- Inversarea unei formule matrice
- Metoda matricei inverse
- Exemplu de matrice inversă 2×2
- Determinant al matricei inverse
- Proprietățile inverse ale matricei
- Matrix Inverse Rezolvate Exemple
Matrix Inverse
Inversul unei matrice este o altă matrice care, atunci când este înmulțită cu matricea dată, dă identitate multiplicativă .
Pentru matricea A și inversul ei cu A-1, proprietatea de identitate deține.
A.A -1 = A -1 A = I
Unde eu este matricea identitară.
Termeni legați de Matrix Inverse
Terminologia enumerată mai jos vă poate ajuta să înțelegeți mai clar și mai ușor inversul unei matrice.
| Termeni | Definiție | Formula/Proces | Exemplu cu Matricea A |
|---|---|---|---|
| Minor | Minorul unui element dintr-o matrice este determinantul matricei formate prin eliminarea rândului și coloanei acelui element. | Pentru elementul aij, eliminați rândul i și coloana j pentru a forma o nouă matrice și găsiți determinantul acesteia. | Minor de A unsprezece este determinant al |
| Cofactor | Cofactorul unui element este minorul acelui element înmulțit cu (-1) i+j , unde i și j sunt indicii de rând și de coloană ai elementului. | Cofactor al aij= (-1)i+jMinor de aij | Cofactor al A unsprezece = (-1) 1+1 × Minor de A unsprezece = Minor de A unsprezece |
| Determinant | Determinantul unei matrice se calculează ca suma produselor elementelor oricărui rând sau coloană și a cofactorilor respectivi. | Pentru un rând (sau coloană), însumați produsul fiecărui element și cofactorul acestuia. | Determinant al lui A = A unsprezece × Cofactor al A unsprezece + A 12 × Cofactor al A 12 + A 13 × Cofactor al A 13 . |
| Adjunct | Adjunctul unei matrice este transpunerea matricei sale cofactoriale. | Creați o matrice de cofactori pentru fiecare element al matricei originale și apoi transpuneți-o. | Adjunctul lui A este transpunerea matricei formate din cofactorii tuturor elementelor din A. |
Matricea singulară
O matrice a cărei valoare a determinantului este zero se numește matrice singulară, adică orice matrice A este numită matrice singulară dacă |A| = 0. Inversa unei matrice singulare nu există.
Matrice non-singulară
O matrice a cărei valoare a determinantului este diferită de zero se numește matrice nesingulară, adică orice matrice A este numită matrice nesingulară dacă |A| ≠ 0. Inversa unei matrice nesingulară există.
Matrice de identitate
O matrice pătrată în care toate elementele sunt zero, cu excepția elementelor diagonale principale, se numește matrice de identitate. Este reprezentat folosind I. Este elementul de identitate al matricei ca pentru orice matrice A,
A×I = A
Un exemplu de matrice de identitate este,
eu3×3=
Aceasta este o matrice de identitate de ordinul 3×3.
Citeşte mai mult :
- Matrice de identitate
Cum să găsiți inversul matricei?
Există două moduri de a găsi inversul unei matrice în matematică:
- Folosind Formula Matrix
- Utilizarea metodelor cu matrice inversă
Inversarea unei formule matrice
Inversul matricei A, adică A-1se calculează folosind formula inversă a matricei, care implică împărțirea adjunctului unei matrice la determinantul acesteia.
Inversarea unei formule matrice
A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}
Unde,
- adj A = adjunct al matricei A și
- |A| = determinant al matricei A.
Notă : Această formulă funcționează numai pe matrice Square.
Pentru a găsi inversul matricei folosind formula inversă a unei matrice, urmați acești pași.
Pasul 1: Determinați minorii tuturor elementelor A.
Pasul 2: Apoi, calculați cofactorii tuturor elementelor și construiți matricea cofactorilor înlocuind elementele lui A cu cofactorii respectivi.
Pasul 3: Luați transpunerea matricei cofactoriale a lui A pentru a găsi adjunctul acesteia (scris ca adj A).
Pasul 4: Înmulțiți adj A cu reciproca determinantului lui A.
Acum, pentru orice matrice pătrată nesingulară A,
A -1 = 1 / |A| × Ajustare (A)
Exemplu: Aflați inversul matricei
Avem,
A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight] Găsiți adjunctul matricei A calculând cofactorii fiecărui element și apoi obținând transpunerea matricei cofactorilor.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] Aflați valoarea determinantului matricei.
|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)
⇒ |A| = 49
Deci, inversul matricei este:
A-1=
frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] ⇒ A-1=
left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]
Metoda matricei inverse
Există două metode de matrice inversă pentru a găsi inversul matricei:
- Metoda determinantului
- Metoda elementară de transformare
Metoda 1: Metoda determinantului
Cea mai importantă metodă de a găsi inversul matricei este folosirea unui determinant.
jquery un clic
Matricea inversă se găsește și folosind următoarea ecuație:
A -1 = adj(A) / det(A)
Unde,
- adj(A) este adjunctul unei matrice A și
- ea(A) este determinantul unei matrice A.
Pentru găsirea adjunctului unei matrice A este necesară matricea cofactorială a lui A. Apoi adjunctul (A) este transpunerea matricei Cofactor a lui A, adică,
adj (A) = [C ij ] T
- Pentru cofactorul unei matrice, adică Cij, putem folosi următoarea formulă:
C ij = (-1) i+j ea (M ij )
Unde M ij se referă la (i, j) th matrice minoră când i th rând și j th coloana este eliminată.
Metoda 2: Metoda elementară de transformare
Urmați pașii de mai jos pentru a găsi o matrice inversă prin metoda de transformare elementară.
Pasul 1 : Scrieți matricea dată ca A = IA, unde I este matricea de identitate de ordin la fel ca A.
Pasul 2 : Utilizați secvența fie a operațiunilor pe rând, fie a operațiilor pe coloană până când matricea de identitate este realizată pe LHS, utilizați și operații elementare similare pe RHS, astfel încât să obținem I = BA. Astfel, matricea B pe RHS este inversul matricei A.
Pasul 3 : Asigurați-vă că folosim fie operația pe rând, fie operația pe coloană în timp ce efectuăm operații elementare.
Putem găsi cu ușurință inversul Matricei 2 × 2 folosind operația elementară. Să înțelegem asta cu ajutorul unui exemplu.
Exemplu: Aflați inversul lui 2 × 2, A =
Soluţie:
Dat:
A = IA
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} Acum, R1⇢ R1/2
egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢ R2– R1
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢ R223
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A R1⇢ R1– R2/2
egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A Astfel, inversul matricei A =
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} esteA-1=
egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}
Exemplu de matrice inversă 2×2
Inversarea matricei 2×2 poate fi calculată și folosind metoda comenzii rapide, în afară de metoda discutată mai sus. Să luăm în considerare un exemplu pentru a înțelege metoda comenzii rapide pentru a calcula inversul matricei 2 × 2.
Pentru matricea dată A =
egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix} Știm, |A| = (ad – bc)
și adj A =
egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} apoi folosind formula pentru invers
A-1= (1 / |A|) × Adj A
⇒ A-1=
[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} Astfel, se calculează inversul matricei 2 × 2.
Exemplu de matrice inversă 3X3
Să luăm orice matrice 3×3 A =
Inversa matricei 3×3 se calculează folosind formula matriceală inversă ,
A -1 = (1 / |A|) × Adj A
Determinant al matricei inverse
Determinantul matricei inverse este reciproca determinantului matricei originale. adică,
ea (A -1 ) = 1 / it(A)
Dovada afirmației de mai sus este discutată mai jos:
det(A × B) = det (A) × det(B) (se știu deja)
⇒ A × A-1= I (prin proprietatea matricei inverse)
⇒ it(A × A-1) = el(eu)
⇒ it(A) × it(A-1) = det(I) [ dar, det(I) = 1]
⇒ it(A) × it(A-1) = 1
⇒ acesta (A-1) = 1 / it(A)
Prin urmare, Proved.
Proprietățile inverse ale matricei
Matricea inversă are următoarele proprietăți:
- Pentru orice matrice nesingulară A, (A -1 ) -1 = A
- Pentru oricare două matrice nesingulare A și B, (AB) -1 = B -1 A -1
- Inversul unei matrice nesingulară există, pentru o matrice singulară, inversul nu există.
- Pentru orice A nesingular, (A T ) -1 = (A -1 ) T
Legate de:
- Matrice inversabilă
- Matrice: proprietăți și formule
- Operație matematică pe matrici
- Determinant al Matricei
- Cum să găsiți determinantul matricei?
Matrix Inverse Rezolvate Exemple
Să rezolvăm câteva exemple de întrebări despre Inverse of Matrix.
Exemplul 1: Aflați inversul matricei
Soluţie:
Avem,
A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight] Găsiți adjunctul matricei A calculând cofactorii fiecărui element și apoi obținând transpunerea matricei cofactorilor.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] Aflați valoarea determinantului matricei.
proprietăți acide în dbms|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)
= –3
Deci, inversul matricei este:
A-1=
frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]
Exemplul 2: Găsiți inversul matricei A=old{ folosind formula.}
Soluţie:
Avem,
A=
left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight] Găsiți adjunctul matricei A calculând cofactorii fiecărui element și apoi obținând transpunerea matricei cofactorilor.
adj A =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] Aflați valoarea determinantului matricei.
|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)
= 16
Deci, inversul matricei este:
A-1=
frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]
Exemplul 3: Aflați inversul matricei A=
Soluţie:
Avem,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] Găsiți adjunctul matricei A calculând cofactorii fiecărui element și apoi obținând transpunerea matricei cofactorilor.
adj A =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] Aflați valoarea determinantului matricei.
|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)
= 1
Deci, inversul matricei este:
A-1=
frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]
Exemplul 4: Aflați inversul matricei A=
Soluţie:
Avem,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] Găsiți adjunctul matricei A calculând cofactorii fiecărui element și apoi obținând transpunerea matricei cofactorilor.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] Aflați valoarea determinantului matricei.
|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)
= 20
Deci, inversul matricei este:
A-1=
frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]
Întrebări frecvente despre Inverse of Matrix
Ce este inversul matricei?
Reciprocul unei matrice se numește inversul unei matrice. Numai matricele pătrate cu determinanți nenuli sunt inversabile. Să presupunem că pentru orice matrice pătrată A cu matrice inversă B produsul lor este întotdeauna o matrice de identitate (I) de același ordin.
[A]×[B] = [I]
Ce este Matrix?
Matricea este o matrice dreptunghiulară de numere care sunt împărțite într-un număr definit de rânduri și coloane. Numărul de rânduri și coloane dintr-o matrice este denumit dimensiunea sau ordinea acesteia.
Care este inversul matricei 2×2?
Pentru orice matrice A sau ordin 3×3 inversul acesteia se găsește folosind formula,
A -1 = (1 / |A|) × Adj A
Care este inversul matricei 3×3?
Inversa oricărei matrice pătrate 3×3 (să zicem A) este matricea de același ordin notă cu A-1astfel încât produsul lor să fie o matrice de identitate de ordinul 3×3.
[A] 3×3 × [A -1 ] 3×3 = [eu] 3×3
Sunt adjuvantul și inversul matricei la fel?
Nu, adjunctul unei matrice și inversul unei matrice nu sunt același.
Cum se utilizează inversul matricei?
Inversul unei matrice este folosit pentru rezolvarea expresiilor algebrice sub formă de matrice. De exemplu, pentru a rezolva AX = B, unde A este matricea coeficienților, X este matricea variabilă și B este matricea constantă. Aici matricea variabilă este găsită folosind operația inversă ca,
X = A -1 B
Ce sunt matricele inversabile?
Matricele a căror inversă există se numesc inversabile. Matricele inversabile sunt matrice care au un determinant diferit de zero.
De ce nu există inversul matricei 2 × 3?
Există doar inversul unei matrice pătrate. Deoarece matricea 2 × 3 nu este o matrice pătrată, ci mai degrabă o matrice dreptunghiulară, inversul său nu există.
În mod similar, matricea 2 × 1 nu este, de asemenea, o matrice pătrată, ci mai degrabă o matrice dreptunghiulară, astfel inversul său nu există.
Ce este matricea inversă a identităţii?
Inversul unei matrice de identitate este însăși matricea de identitate. Acest lucru se datorează faptului că matricea de identitate, notată ca eu (sau eu n pentru un n × n matrice), este singura matrice pentru care fiecare element de-a lungul diagonalei principale este 1 și toate celelalte elemente sunt 0. Când înmulțim o matrice de identitate cu ea însăși (sau inversul acesteia), obținem din nou matricea de identitate.