Cunoașterea matricelor este necesară pentru diferite ramuri ale matematicii. Matricele sunt unul dintre cele mai puternice instrumente din matematică. Din matrice provin determinanți, acum vedem una dintre proprietățile determinantului în acest articol.
În acest articol, vedem cum să găsim Adjunct al unei matrice. Pentru a ști despre Adjunct al unei matrice trebuie să știm despre Cofactor a unei matrice.
Cuprins
- Adjunct al unei definiții de matrice
- Minor al unei matrice
- Cofactor al unei matrice
- Transpunerea Matricei
- Cum să găsiți un adjunct al unei matrice?
- Proprietățile adjunctului unei matrice
- Găsirea inversă folosind adjunctul unei matrice
Adjunct al unei definiții de matrice
Adjunctul unei matrice este matricea transpusă a cofactorului matricei date. Pentru ca orice matrice pătrată A să-și calculeze adj. matrice trebuie mai întâi să calculăm matricea cofactorială a matricei date și apoi să găsim determinantul acesteia. Pentru a calcula asamblarea unei matrice, urmați următorii pași:
Pasul 1 : Calculați minorul tuturor elementelor matricei date A.
Pasul 2: Găsiți matricea Cofactor C folosind elementele minore.
Pasul 3: Găsiți matricea adjunctă a lui A luând transpunerea matricei cofactoriale C.
Pentru orice matrice 2×2 A, imaginea adjunctului său este prezentată mai jos,
Acum să învățăm despre Minor, Cofactor și Transpose ale matricei.
Minor al unei matrice
Minorul matricei este matricea sau elementul care se calculează prin ascunderea rândului și coloanei matricei elementului pentru care se calculează minorul. Pentru matricea 2×2, minorul este elementul care este afișat prin ascunderea rândului și coloanei elementului pentru care este calculat Minor.
Află mai multe despre, Minori și Cofactori
Cofactor al unei matrice
Cofactorul este numărul pe care îl obținem atunci când eliminăm coloana și rândul unui element desemnat dintr-o matrice. Înseamnă să luați un element dintr-o matrice și să ștergeți întregul rând și coloana acelui element din matrice, apoi care elemente sunt prezente în acea matrice, care se numește cofactor.
Cum să găsiți cofactorul unei matrice
Pentru a găsi cofactorul unui element dintr-o matrice, putem folosi următorii pași:
Pasul 1: Ștergeți întregul rând și coloana care conține elementul luat în considerare.
Pasul 2: Luați elementele rămase așa cum sunt în matrice după Pasul 1.
Pasul 3: Găsiți determinantul matricei formate în pasul 2 care se numește minor a elementului.
Pasul 4: Acum folosiți formula pentru cofactorul elementului aijadică (-1)i+jMijunde Mij este minorul elementului din ithrând și jthcoloană care este deja calculată la Pasul 3.
Pasul 5: Rezultatul pasului 4 este cofactorul elementului luat în considerare și, în mod similar, putem calcula cofactorul fiecărui element al matricei pentru a găsi matricea cofactorială a matricei date.
Exemplu: Găsiți matricea cofactorilor a
Soluţie:
Matricea dată este
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} Să găsim cofactorul elementului în primul rând a treia coloană, adică 3.
Pasul 1: Ștergeți întregul rând și coloana care conține elementul luat în considerare.
adică,
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} Pasul 2: Luați elementele rămase așa cum sunt în matrice după Pasul 1.
adică,
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} Pasul 3: Găsiți determinantul matricei formate în Pasul 2 care se numește minorul elementului.
Minor de 3 in
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 Pasul 4: Acum folosiți formula pentru cofactorul elementului aijadică (-1)i+jMij
Cofactor al elementului 3 = (-1)1+3(32) = 32
Pasul 5: Continuați procedura pentru toate elementele pentru a găsi matricea cofactorială a lui A,
adică, matricea cofactorului A =
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
Transpunerea Matricei
Transpunerea unei matrice este matricea care se formează prin schimbarea rândurilor și coloanelor matricei între ele. Transpunerea matricei A se notează cu ATsau A'. Dacă ordinea matricei A este m×n, atunci ordinea matricei transpuse este n×m.
Află mai multe despre, Transpunerea unei matrice
Cum să găsiți un adjunct al unei matrice?
Pentru a găsi adjunctul unei matrice, mai întâi, trebuie să găsim cofactorul fiecărui element și apoi să găsim încă 2 pași. vezi mai jos pasii,
Pasul 1: Găsiți cofactorul fiecărui element prezent în matrice.
Pasul 2: Creați o altă matrice cu cofactorii ca elemente.
Pasul 3: Acum găsiți transpunerea matricei care vine de după Pasul 2.
Cum să găsiți adjunctul unei matrice 2×2
Să luăm în considerare un exemplu pentru înțelegerea metodei de a găsi adjunctul matricei 2×2.
Exemplu: Găsiți adjunctul lui
Soluţie:
Matricea dată este
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} Pasul 1: Găsiți cofactorul fiecărui element.
Cofactor al elementului la A[1,1]: 5
Cofactor al elementului la A[1,2]: -4
Cofactor al elementului la A[2,1]: -3
Cofactor al elementului la A[2,2]: 2
Pasul 2: Creați matrice din Cofactors
adică,
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} Pasul 3: Transpunerea matricei Cofactor,
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
Cum să găsiți un adjunct al unei matrice 3×3
Să luăm un exemplu de matrice 3×3 pentru a înțelege cum se calculează adjunctul acelei matrice.
Exemplu: Găsiți adjunctul lui
Soluţie:
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} Pasul 1: Găsiți cofactorul fiecărui element.
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 Pasul 2: Creați matrice din Cofactors
șir de caractere în java
C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} Pasul 3: Transpunerea matricei C la adjunctul matricei date.
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} Care este adjunctă matricei date A.
Proprietățile adjunctului unei matrice
Adjuncții unei matrice au diverse proprietăți, unele dintre aceste proprietăți sunt după cum urmează:
- A(Adj A) = (Adj A)A = |A| eun
- Adj(BA) = (Adj B) (Adj A)
- |Adj A| = |A|n-1
- Adj(kA) = kn-1(Adj A)
Găsirea inversă folosind adjunctul unei matrice
Găsirea inversului este una dintre aplicațiile importante ale Adjunctului Matricei. Pentru a găsi inversul unei matrice folosind Adjoint, putem folosi următorii pași:
Pasul 1: Găsi determinant al matricei .
Pasul 2: Dacă determinantul este zero, atunci matricea nu este inversabilă și nu există inversă.
Pasul 3: Dacă determinantul este diferit de zero, atunci găsiți adjunctul matricei.
Pasul 4: Împărțiți adjunctul matricei la determinantul unei matrice.
Pasul 5: Rezultatul pasului 4 este inversul matricei date.
Exemplu: Aflați inversul lui
Soluţie:
Matrice dată
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)
⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)
⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0
Astfel, inversul lui A nu există.
Află mai multe despre, Inversul unei matrice
Exemple rezolvate de adjunct al unei matrice
Exemplul 1: Găsiți adjunctul matricei date
Soluţie:
Pasul 1: Pentru a găsi cofactorul fiecărui element
Pentru a găsi cofactorul fiecărui element, trebuie să ștergem rândul și coloana fiecărui element unul câte unul și să luăm elementele prezente după ștergere.
Cofactor de elemente la A[0,0] = 1 :
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4Cofactor de elemente la A[0,1] = 2 :
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33Cofactor de elemente la A[0,2] = 3 :
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32Cofactor de elemente la A[2,0] = 7 :
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6Cofactor de elemente la A[2,1] = 4 :
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9Cofactor de elemente la A[2,2] = 5 :
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4Cofactor de elemente la A[3,0] = 6 :
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2Cofactor de elemente la A[3,1] = 8 :
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16Cofactor de elemente la A[3,2] = 9 :
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10Matricea arată ca cu cofactorii:
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} Matricea finală a cofactorilor:
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} Pasul 2: Găsiți transpunerea matricei obținute la pasul 1
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} Acesta este Adjunct al matricei.
Exemplul 2: Găsiți adjunctul matricei date
Soluţie:
Pasul 1: Pentru a găsi cofactorul fiecărui element
Pentru a găsi cofactorul fiecărui element, trebuie să ștergem rândul și coloana fiecărui element unul câte unul și să luăm elementele prezente după ștergere.
Cofactor al elementului la A[0,0] = -1 :
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3Cofactor de elemente la A[0,1] = -2 :
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6Cofactor de elemente la A[0,2] = -2 :
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6Cofactor de elemente la A[2,0] = 2 :
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6Cofactor de elemente la A[2,1] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3Cofactor de elemente la A[2,2] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Cofactor de elemente la A[3,0] = 2 :
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6Cofactor de elemente la A[3,1] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Cofactor de elemente la A[3,2] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3Matricea finală a cofactorilor:
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} Pasul 2: Găsiți transpunerea matricei obținute în Pasul 1
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} Acesta este Adjunct al matricei.
Întrebări frecvente despre adjunctul unei matrice
Ce este adjunctul unei matrice?
Adjunctul unei matrice pătrate este transpunerea matricei de cofactori ai matricei originale. Este cunoscută și sub numele de matrice adjugate.
Cum se calculează adjunctul unei matrice?
Pentru a calcula adjunctul unei matrice, trebuie să găsiți matricea cofactorială a matricei date și apoi să o transpuneți.
Ce este utilizarea adjunctului unei matrice?
Aplicația sau utilizarea cheie a adjunctului unei matrice este de a găsi inversul matricelor inversabile.
Care este relația dintre inversul unei matrice și adjunctul acesteia?
Inversul unei matrice se obține prin împărțirea adjunctului său la determinantul său. Adică, dacă A este o matrice pătrată și det(A) este diferit de zero, atunci
A -1 = adj(A)/det(A)
Ce este Adjugate Matrix?
Matricea adjunctă se mai numește și Matricea Adjugate. Este transpunerea cofactorului matricei date.
Care este diferența dintre adjunctul și transpunerea unei matrice?
Adjunctul unei matrice este transpunerea matricei de cofactori, în timp ce transpunerea unei matrice se obține prin interschimbarea rândurilor și coloanelor acesteia.
Este o matrice pătrată întotdeauna inversabilă?
Nu, matricele pătrate nu sunt întotdeauna inversabile. O matrice pătrată este inversabilă numai dacă are un determinant diferit de zero.
Poate fi calculat adjunctul unei matrice non-pătrate?
Nu, adjunctul unei matrice poate fi calculat doar pentru o matrice pătrată datorită definiției acesteia.