Inversa unei matrice 3 × 3 este o matrice care atunci când este înmulțit cu Matricea originală dă matrice de identitate ca produs. Inversarea unei matrice este un aspect fundamental al algebrei liniare. Acest proces joacă un rol crucial în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare și a diferitelor aplicații matematice. Pentru a calcula inversul, este necesar să se calculeze matricea alăturată, să se verifice inversibilitatea matricei examinând determinantul acesteia (care nu ar trebui să fie egal cu zero) și să se aplice o formulă pentru a deriva matricea inversă.

Acest articol acoperă diferitele concepte ale inversului matricei 3 × 3 și cum să găsiți inversul matricei 3 × 3 prin calcularea cofactorilor, adjuncților și determinanților matricei 3 × 3. Mai târziu în acest articol, veți găsi, de asemenea, exemple rezolvate pentru o mai bună înțelegere, iar întrebările practice sunt, de asemenea, furnizate pentru a verifica ce am învățat din aceasta.

Cuprins

• Care este inversul matricei 3 × 3?
• Cum să găsiți inversul matricei 3 × 3?
• Elemente utilizate pentru a găsi inversul matricei 3 × 3
• Inversa formulei matriceale 3 × 3
• Găsirea inversă a matricei 3 × 3 folosind operații pe rând

Care este inversul matricei 3 × 3?

Inversul unei matrice 3 × 3 este o matrice care, atunci când este înmulțită cu matricea originală, are ca rezultat matricea de identitate. Pentru a găsi inversul, puteți calcula matricea adiacentă, puteți determina dacă matricea este inversabilă (non-singulară) verificând determinantul său (care nu ar trebui să fie egal cu zero), apoi aplicați formula A^-1= (adj A) / (det A). Matricea inversă vă permite să rezolvați sisteme de ecuații liniare și să efectuați diverse operații matematice.

Cum să găsiți inversul matricei 3 × 3?

Urmați pașii de mai jos pentru a găsi inversul matricei 3 × 3:

Pasul 1: În primul rând, verificați dacă matricea poate fi inversată. Pentru a face acest lucru, calculați determinantul matricei. Dacă determinantul nu este zero, treceți la pasul următor.

Pasul 2: Calculați determinantul matricelor mai mici 2 × 2 din matricea mai mare.

Pasul 3: Creați matricea de cofactori.

Pasul 4: Obține Adjugatul sau Adjunctul matricei făcând transpunerea matricei cofactoriale.

Pasul 5: În cele din urmă, împărțiți fiecare element din matricea adjugat la determinantul matricei originale 3 cu 3.

Citire similară

• Cofactor și minori din Matrix
• Transpunerea Matricei

Elemente utilizate pentru a găsi inversul matricei 3 × 3

Există în principal două elemente utilizate pentru a găsi inversul unei matrice 3 × 3:

• Adjunct al Matricei
• Determinant al Matricei

Adjunct al unei matrice 3 × 3

The adjunct al unei matrice A se găsește luând transpunerea matricei cofactoriale a lui A. Pentru a calcula adjunctul unei matrice în detaliu, urmați instrucțiunile furnizate.

Pentru o matrice 3 × 3, cofactorul oricărui element este determinant a unei matrice 2 × 2 formată prin îndepărtarea rândului și coloanei care conțin acel element. Când găsești cofactori, alterni între semne pozitive și negative.

De exemplu, dată matricea A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Matricea minoră se obține după cum urmează:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Calculați determinanții matricelor 2 × 2 formate prin înmulțirea în diagonală și scăderea produselor de la stânga la dreapta, adică Minor.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Deci, matricea cofactorială este:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Prin transpunerea matricei cofactoriale se obține matricea adiacentă.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Determinant al unei matrice 3 × 3

Folosind același exemplu pe care l-am discutat mai sus, putem calcula determinantul matricei A

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Calculați determinantul matricei folosind primul rând,

Det A = 2(cofactor de 2) + 1 (cofactor de 1) + 3 (cofactor de 3)

Că A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

Că A = 2 + 4 – 6

Că A = 0

Poti sa verifici Truc pentru a calcula determinantul unei matrice 3×3

Inversa formulei matriceale 3 × 3

Pentru a găsi inversul unei matrice 3 × 3 A, puteți folosi formula A-1 = (adj A) / (det A), unde:

• adj A este matricea adjunctă lui A.
• det A este determinantul lui A.

Pentru ca A-1 să existe, det A nu ar trebui să fie egal cu zero. Acest lucru înseamnă:

• A^-1există atunci când det A nu este zero (A este nesingular).
• A^-1nu există când det A este zero (A este singular).

Iată pașii pentru a găsi inversul unei matrice 3 × 3, folosind același exemplu:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Pasul 1: Calculați matricea adjunctă (adj A).

Pentru a găsi matricea adiacentă, înlocuiți elementele lui A cu cofactorii corespunzători.

np unde

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Pasul 2: Aflați determinantul lui A (det A).

Pentru a calcula determinantul lui A, puteți folosi formula pentru o matrice 3 × 3. În acest caz, det A = -8.

Pasul 3: Aplicați formula A^-1= (adj A) / (det A) pentru a găsi matricea inversă A^-1.

Împărțiți fiecare element al matricei adiacente la determinantul lui A:

instrument de tăiere în ubuntu

A ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

La simplificarea fracțiilor,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Găsirea inversă a matricei 3 × 3 folosind operații pe rând

Pentru a găsi inversul unei matrice 3×3, puteți urma acești pași:

Pasul 1: Începeți cu Matricea A 3×3 dată și creați o matrice de identitate I de aceeași dimensiune, plasând A în partea stângă și I în partea dreaptă a unei matrice augmentate, separate printr-o linie.

Pasul 2: Aplicați o serie de operații pe rând matricei augmentate din partea stângă pentru a o transforma în matricea de identitate I. Matricea din partea dreaptă a liniei, care devine A^-1, este inversul matricei originale A.

Află mai multe, Operarea elementară a matricelor

De asemenea, verifica

• Tipuri de Matrici
• Matrice inversabilă
• Urma unei matrice

Exemple rezolvate pe inversul matricei 3 × 3

Exemplul 1: Găsiți inversul lui

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Soluţie:

Matricea minoră a lui D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Matricea minoră a lui D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Cofactor al matricei, adică X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transpunerea Matricei X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Acum, vom găsi determinantul lui D folosind primul rând:

Că D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ Că D = 6+0+14

⇒ Că D = 20

Inversarea matricei D sau D^-1= Adj D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Exemplul 2: Găsiți inversul lui

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Minor al matricei E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Cofactor al matricei E, adică X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Să găsim acum determinantul matricei E folosind primul rând:

Că E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

Că E= -1 + 0 + 1

Că E = 0

∴ Deoarece determinantul matricei E este echivalent cu 0, inversul matricei E sau E^-1nu e posibil.

Întrebări practice pe inversul matricei 3 × 3

Î1. Calculați inversul următoarei matrice 3×3:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Găsiți inversul matricei B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Determinați dacă Matricea C este inversabilă și, dacă da, găsiți-i inversul:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Î4. Calculați inversul matricei D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Î5. Pentru matricea E, verificați dacă este inversabilă și, dacă este, găsiți-i inversul:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Inversa de 3×3 Matrix – Întrebări frecvente

1. Care este inversul unei matrice 3×3?

Inversul unei matrice 3×3 este o altă matrice care, atunci când este înmulțită cu matricea originală, dă matricea de identitate.

2. De ce este importantă găsirea inversului?

Este esențial pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, transformări și diferite operații matematice.

3. Cum se calculează inversul unei matrice 3×3?

De obicei, găsiți matricea adjunctă, verificați valoarea diferită de zero a determinantului și aplicați o formulă specifică.

4. Când nu există inversul unei matrice 3×3?

Nu există atunci când determinantul matricei este zero, ceea ce o face singulară.

5. Poate orice matrice 3×3 să aibă un invers?

Nu, numai matricele nesingulare cu un determinant diferit de zero au inverse.

6. Care este rolul matricei adjuncte în găsirea inversului?

Matricea adjunctă ajută la calcularea inversului prin furnizarea de cofactori pentru fiecare element.

7. În ce domenii este utilizat pe scară largă conceptul de inversare a matricei 3×3?

Conceptul de inversare a matricei 3×3 este utilizat în inginerie, fizică, grafică pe computer și diverse discipline matematice.

8. Cum să obțineți inversul matricei 3×3?

Pentru a găsi inversul unei matrice 3×3, puteți urma acești pași:

• Mai întâi, calculați determinantul matricei.
• Dacă determinantul nu este egal cu 0, treceți la pasul următor. Dacă este 0, matricea nu are inversă.
• Găsiți matricea minorilor creând matrice 3×3 pentru fiecare element din matricea originală, excluzând rândul și coloana elementului pe care vă concentrați.
• Calculați matricea cofactorilor aplicând un model de semne plus și minus elementelor matricei minorilor.
• Transpuneți matricea de cofactori schimbând rândurile cu coloane.
• În cele din urmă, împărțiți matricea transpusă de cofactori la determinant pentru a obține inversul matricei 3×3.