Integrare este procesul de însumare a valorilor mici ale unei funcții în regiunea limitelor. Este exact opusul diferențierii. Integrarea este cunoscută și ca anti-derivată. Am explicat integrarea funcțiilor trigonometrice în acest articol de mai jos.

Mai jos este un exemplu de integrare a unei anumite funcții.

de exemplu., Considerăm o funcție, f(y) = y².

Această funcție poate fi integrată ca:

∫y²tu =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Cu toate acestea, un integrală nedefinită este o funcție care ia anti-derivata unei alte funcții. Este reprezentat ca un simbol integral (∫), o funcție și o derivată a funcției la sfârșit. Integrala nedefinită este o modalitate mai ușoară de a simboliza o anti-derivată.

Să învățăm ce este integrarea din punct de vedere matematic, integrarea unei funcții f(x) este dată de F(x) și este reprezentată de:

∫f(x)dx = F(x) + C

Aici R.H.S. a ecuației înseamnă integrală a lui f(x) față de x, F(x) se numește anti-derivată sau primitivă, f(x) se numește integrand, dx se numește agent de integrare, C se numește constantă de integrare sau constantă arbitrară și x este variabila de integrare.

Câteva integrale importante ale funcțiilor trigonometrice

În continuare este lista unor formule importante de integrale nedefinite pe bază funcții trigonometrice de reținut după cum urmează:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sec²x dx = tan x + C
• ∫ cosec²x dx = -cot x + C
• ∫ sec x tan x dx = sec x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | sec x | +C
• ∫ cot x dx = ln | sin x | + C
• ∫ sec x dx = ln | sec x + tan x | + C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – cot x | + C

Unde dx este derivata lui x, C este constanta integrării și ln reprezintă logaritm a funcției în interiorul modulului (| |).

În general, problemele integralelor nedefinite bazate pe funcții trigonometrice sunt rezolvate prin metoda substituției. Deci, să discutăm mai multe despre metoda de integrare prin substituție, după cum urmează:

Integrare prin substituire

În această metodă de integrare prin substituire , orice integrală dată este transformată într-o formă simplă de integrală prin înlocuirea variabilei independente cu altele. Să luăm în considerare un exemplu pentru o mai bună înțelegere.

Exemplu: Simplificați ∫ 3x ² păcatul (x ³ ) dx.

Răspuns:

Fie I = ∫ 3x²păcatul (x³) dx.

Pentru a evalua integrala dată, înlocuim orice variabilă cu o nouă variabilă după cum urmează:

Fie x³fie t pentru integrala dată.

Apoi, dt = 3x²dx

Prin urmare,

I = ∫ 3x²păcatul (x³) dx = ∫ sin (x³) (3x²dx)

Acum, înlocuiți t cu x³și dt pentru 3x²dx în integrala de mai sus.

I = ∫ sin (t) (dt)

cum se utilizează mysql workbench

Ca ∫ sin x dx = -cos x + C, astfel

I = -cos t + C

Din nou, înlocuiți înapoi x³pentru t în expresia ca:

I = ∫ 3x ² păcatul (x ³ ) dx = -cos x ³ + C

Care este integrala cerută.

Prin urmare, forma generală de integrare prin substituție este:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

unde t = g(x)

De obicei, metoda integrării prin substituție este extrem de utilă atunci când facem o substituție pentru o funcție a cărei derivată este prezentă și în integrand. Procedând astfel, funcția se simplifică și apoi formulele de bază de integrare pot fi folosite pentru a integra funcția.

În calcul, metoda de integrare prin substituție este cunoscută și sub denumirea de Regula lanțului invers sau Metoda de substituție în U. Putem folosi această metodă pentru a găsi o valoare integrală atunci când este configurată în forma specială. Înseamnă că integrala dată este de forma:

Citeşte mai mult,

• Calcul în matematică
• Integrale
• Calcul integral
• Diferențierea funcțiilor de declanșare
• Ecuații trigonometrice

Exemple de probleme privind integrarea funcțiilor trigonometrice

Problema 1: Să se determine integrala următoarei funcții: f(x) = cos ³ X.

Soluţie:

Să considerăm integrala funcției date ca:

Android poate juca gamepigeon

I = ∫ cos³x dx

Poate fi rescris ca:

I = ∫ (cos x) (cos²x) dx

Utilizarea identității trigonometrice; cos²x = 1 – sin²x, obținem

I = ∫ (cos x) (1 – sin²x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin²x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²x dx

Ca ∫ cos x dx = sin x + C,

Astfel, I = sin x – ∫ sin²x cos x dx . . . (1)

Fie, sin x = t

⇒ cos x dx = dt.

Înlocuiți t cu sin x și dt pentru cos x dx în al doilea termen al integralei de mai sus.

I = sin x – ∫ t²dt

⇒ I = sin x – t³/3 + C

Din nou, înlocuiți înapoi sin x cu t în expresie.

Prin urmare, ∫ cos ³ x dx = sin x – sin ³ x / 3 + C.

Problema 2: Dacă f(x) = sin ² (x) cos ³ (x) atunci determină ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

Soluţie:

Să considerăm integrala funcției date ca:

I = ∫sin²(x) cos³(x) dx

Utilizarea identității trigonometrice; cos²x = 1 – sin²x, obținem

I = ∫sin²x (1 – sin²x) cos x dx

Fie sin x = t atunci,

⇒ dt = cos x dx

Înlocuiți-le în integrala de mai sus ca,

I = ∫ t²(1 – t²) dt

⇒ I = ∫ t²– t⁴dt

⇒ I = t³/ 3 – t⁵/ 5 + C

Înlocuiți înapoi valoarea lui t în integrala de mai sus ca,

Prin urmare, I = păcat ³ x / 3 – fără ⁵ x / 5 + C.

Problema 3: Fie f(x) = sin ⁴ (x) atunci găsiți ∫ f(x)dx. adică ∫ păcat ⁴ (x) dx.

Soluţie:

Să considerăm integrala funcției date ca:

funcția prototip c++

I = ∫sin⁴(x) dx

⇒ I = ∫ (fără²(X))²dx

Utilizarea identității trigonometriei; păcat²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, obținem

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 – sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Prin urmare, ∫ sin ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Problema 4: Găsiți integrarea old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Soluţie:

Să considerăm integrala funcției date ca:

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Fie t = tan^-1X . . . (1)

Acum, diferențiați ambele părți în raport cu x:

dt = 1 / (1+x²) dx

Prin urmare, integrala dată devine:

I = ∫ e^tdt

⇒ I = e^t+ C . . . (2)

citind dintr-un fișier csv în java

Înlocuiți valoarea lui (1) în (2) ca:

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Care este integrarea necesară pentru funcția dată.

Problema 5: Aflați integrala funcției f (x) definită ca,

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

Soluţie:

Să considerăm integrala funcției date ca:

I = ∫ 2x cos (x²– 5) dx

Fie (x²– 5) = t . . . (1)

Acum diferențiază ambele părți în raport cu x ca,

2x dx = dt

Înlocuind aceste valori în integrala de mai sus,

I = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sin t + C . . . (2)

Înlocuiți ecuația valorii (1) în ecuația (2) ca:

⇒ I = sin (x²– 5) + C

Aceasta este integrarea necesară pentru funcția dată.

Problema 6: Determinați valoarea integralei nedefinite date, I = ∫ cot (3x +5) dx.

Soluţie:

Integrala dată poate fi scrisă ca:

I = ∫ cot (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Fie, t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Prin urmare,

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1 / 3) ln | t | + C

Înlocuiți t cu sin (3x+5) în expresia de mai sus.

I = (1 / 3) ln | păcat (3x+5) | + C

Aceasta este integrarea necesară pentru funcția dată.

Integrarea funcțiilor trigonometrice – Întrebări frecvente

Ce este integrarea unei funcții trigonometrice?

Integrarea funcțiilor trigonometrice, așa cum sugerează și numele, este procesul de calcul al integrării sau antiderivatei funcțiilor trigonometrice. Acesta este procesul invers de diferențiere a funcțiilor trigonometrice.

Ce sunt funcțiile trigonometrice de bază?

Funcțiile trigonometrice de bază sunt:

ce este desktop.ini

• sinus (fara),
• cosinus (cos),
• tangentă (brun),
• cotangent (cot),
• secant (sec) și
• cosecant (csc).

Cum integrezi funcțiile Sinus (sin) și Cosinus (cos)?

Pentru a integra funcțiile sinus și cosinus, putem folosi următoarele formule:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Unde C este constanta integrării.

Care este integrarea funcției trigonometrice tangente (tan)?

Integrala funcției tangente este dată după cum urmează:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

Unde,

• ln reprezintă logaritmul natural și
• C este constanta integrării.

Cum să găsiți integrala funcției trigonometrice secante (Sec)?

Integrala funcției secante este dată astfel:

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

Unde,

• ln reprezintă logaritmul natural și
• C este constanta integrării.

Ce este integrarea funcției trigonometrice cotangente (cot)?

Integrala funcției cotangente poate fi calculată folosind următoarea formulă:

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C

Unde,

• ln reprezintă logaritmul natural și
• C este constanta integrării.

Cum să găsiți integrala funcției Cosecant (cosec)?

Integrala funcției cosecante este dată astfel:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – cot x | + C

Unde,

• ln reprezintă logaritmul natural și
• C este constanta integrării.