Integrare pe părți: Integrarea pe părți este o tehnică utilizată în calcul pentru a găsi integrala produsului a două funcții. Este, în esență, o inversare a regulii de diferențiere a produsului.

Integrarea unei funcții nu este întotdeauna ușoară, uneori, trebuie să integrăm o funcție care este multiplu a două sau mai multe funcții în acest caz, dacă trebuie să găsim integrarea, trebuie să folosim conceptul de integrare prin parte, care utilizează două produse a două funcții și ne spune cum să le găsim integrarea.

Acum să învățăm despre Integrarea pe părți, formula sa, derivarea și altele în detaliu în acest articol.

Ce este integrarea prin părți?

Integrarea parțială este tehnica folosită pentru a găsi integrarea produsului a două sau mai multe funcții în care integrarea nu poate fi realizată folosind tehnici normale. Să presupunem că avem două funcții f(x) și g(x) și trebuie să găsim integrarea produsului lor, adică ∫ f(x).g(x) dx unde nu este posibil să rezolvăm în continuare produsul acestui produs. f(x).g(x).

Această integrare se realizează folosind formula:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

unde f'(x) este prima diferențiere a lui f(x).

Această formulă se citește astfel:

Integrarea primei funcții înmulțită cu cea de-a doua funcție este egală cu (Prima funcție) înmulțită cu (integrarea celei de-a doua funcție) – Integrarea (diferențierea primei funcție înmulțită cu integrarea a doua funcție).

Din formula de mai sus, putem observa cu ușurință că alegerea primei funcție și a celei de-a doua funcție este foarte importantă pentru succesul acestei formule, iar modul în care alegem prima și a doua funcție este discutat în continuare în acest articol.

Ce este integrarea parțială?

Integrarea parțială, cunoscută și sub numele de integrare pe părți, este o tehnică utilizată în calcul pentru a evalua integrala unui produs a două funcții. Formula pentru integrarea parțială este dată de:

∫ u dv = uv – ∫ v du

unde u și v sunt funcții diferențiabile ale lui x. Această formulă ne permite să simplificăm integrala unui produs, împărțind-o în două integrale mai simple. Ideea este să alegeți u și dv astfel încât noua integrală din partea dreaptă să fie mai ușor de evaluat decât cea originală din partea stângă. Această tehnică este deosebit de utilă atunci când se ocupă cu produse ale funcțiilor care nu au antiderivate simple.

Istoria integrării parțiale

Conceptul de integrare prin parte a fost propus pentru prima dată de celebrul Brook Taylor în cartea sa din 1715. El a scris că putem găsi integrarea produsului a două funcții ale căror formule de diferențiere există. Unele funcții importante nu au formule de integrare și integrarea lor se realizează folosind integrarea prin luarea lor ca un produs al două funcții. De exemplu, ∫ln x dx nu poate fi calculat folosind tehnici de integrare normale. Dar îl putem integra folosind tehnica Integrare prin piesă și luând-o ca un produs al două funcții, adică ∫1.ln x dx.

Formula de integrare prin părți

Formula de integrare prin părți este formula care ne ajută să realizăm integrarea produsului a două sau mai multe funcții. Să presupunem că trebuie să integrăm produsul a două funcții ca

∫u.v dx

unde u și v sunt funcțiile lui x, atunci acest lucru poate fi realizat folosind,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Ordinea de a alege prima funcție și a doua funcție este foarte importantă și conceptul folosit în majoritatea cazurilor pentru a găsi prima funcție și a doua funcție este conceptul ILATE.

Folosind formula de mai sus și conceptul ILATE putem găsi cu ușurință integrarea produsului a două funcții. Formula de integrare prin parte este prezentată în imaginea de mai jos,

Formula de derivare a integrării prin părți

Formula de integrare prin părți este derivată folosind regula de diferențiere a produsului. Să presupunem că avem două funcții în și în și x atunci derivata produsului lor este obținută folosind formula,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Acum să derivăm formula de integrare prin părți folosind regula de diferențiere a produsului.

Rearanjarea termenilor

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integrarea ambelor părți în raport cu x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

simplificare,

∫ u dv = uv – ∫ v du

conversia int în șir

Astfel, se derivă formula de integrare prin părți.

Regula ILATE

Regula ILATE ne spune despre cum să alegem prima funcție și a doua funcție în timp ce rezolvăm integrarea produsului a două funcții. Să presupunem că avem două funcții ale lui x u și v și trebuie să găsim integrarea produsului lor apoi alegem prima funcție și regula prin ILATE.

Forma completă ILATE este discutată în imaginea de mai jos,

Regula ILATE de integrare parțială

Regulile ILATE ne oferă ierarhia luării primei funcție, adică dacă în produsul dat al funcției, o funcție este o funcție logaritmică și o altă funcție este o funcție trigonometrică. Acum luăm funcția logaritmică ca primă funcție, așa cum apare mai sus în ierarhia regulii ILATE în mod similar, alegem prima și a doua funcție în consecință.

NOTĂ: Nu este întotdeauna adecvat să folosiți regula ILATE, uneori, alte reguli sunt folosite și pentru a găsi prima funcție și a doua funcție.

Cum să găsiți integrarea după parte?

Integrarea în parte este utilizată pentru a găsi integrarea produsului a două funcții. Putem realiza acest lucru folosind pașii discutați mai jos,

Să presupunem că trebuie să simplificăm ∫uv dx

Pasul 1: Alegeți prima și a doua funcție conform regulii ILATE. Să presupunem că luăm u ca prima funcție și v ca a doua funcție.

Pasul 2: Diferențierea u(x) față de x, adică Evaluați du/dx.

Pasul 3: Integrați v(x) în raport cu x, adică Evaluați ∫v dx.

Utilizați rezultatele obținute în Pasul 1 și Pasul 2 în formulă,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Pasul 4: Simplificați formula de mai sus pentru a obține integrarea necesară.

Integrare repetată pe părți

Integrarea repetată pe părți este o extensie a tehnicii integrării pe părți în calcul. Este folosit atunci când aveți un produs de funcții care necesită integrare de mai multe ori pentru a găsi antiderivată. Procesul presupune aplicarea iterativă a formulei de integrare prin părți până când ajungeți la un punct în care integrala rezultată este ușor de evaluat sau are o formă cunoscută.

Când aplicați această formulă în mod repetat, veți începe cu o integrală care implică un produs a două funcții și apoi aplicați integrarea pe părți pentru a o descompune în integrale mai simple. Apoi veți continua acest proces pe integralele rezultate până când ajungeți la un punct în care aplicațiile ulterioare nu sunt necesare sau în care integralele devin gestionabile.

Iată un exemplu pas cu pas despre cum funcționează integrarea repetată pe părți:

1. Începeți cu o integrală a unui produs a două funcții: ∫ u dv.
2. Aplicați formula de integrare prin părți pentru a obține: uv – ∫ v du.
3. Dacă noua integrală obținută în partea dreaptă implică încă un produs de funcții, aplicați din nou integrarea pe părți pentru a o descompune în continuare.
4. Continuați acest proces până când obțineți o integrală mai simplă care poate fi evaluată cu ușurință sau una care se potrivește cu o formă integrală cunoscută.

Integrare tabelară pe părți

Integrarea tabulară, cunoscută și ca metoda tabulară sau metoda integrării tabulare, este o tehnică alternativă pentru evaluarea integralelor care implică aplicarea repetată a integrării pe părți. Această metodă este deosebit de utilă atunci când se ocupă de integrale în care produsul funcțiilor poate fi integrat de mai multe ori pentru a ajunge la un rezultat simplu.

Metoda tabulară organizează integrarea repetată pe procese de piese într-un tabel, facilitând urmărirea termenilor și simplificarea integrală în mod eficient. Iată cum funcționează metoda tabelară:

1. Începeți prin a nota funcțiile implicate în integrală în două coloane: una pentru funcția de diferențiere (u) și alta pentru funcția de integrat (dv).
   • Începeți cu funcția de integrare (dv) pe coloana din stânga și funcția de diferențiere (u) pe coloana din dreapta.
2. Continuați diferențierea funcției din coloana u până când ajungeți la zero sau o constantă. La fiecare pas, integrați funcția în coloana dv până când ajungeți într-un punct în care nu este necesară integrarea ulterioară.
3. Înmulțiți termenii în diagonală și alternați semnele (+ și -) pentru fiecare termen. Însumați aceste produse pentru a găsi rezultatul integrării.

Iată un exemplu pentru a ilustra metoda de integrare tabelară :

Să evaluăm integrala ∫x sin(x) dx.

• Pasul 1: Creați un tabel cu două coloane pentru u (funcție de diferențiere) și dv (funcție de integrare):

• Pasul 2: Diferențiați funcția din coloana u și integrați funcția în coloana dv:

• Pasul 3: Înmulțiți termenii în diagonală și alternați semnele:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Deci, rezultatul integralei ∫x sin(x) dx este -x cos(x) + sin(x).

Metoda de integrare tabelară este utilă în special atunci când se ocupă de integrale care implică funcții care se repetă la diferențiere sau integrare, permițând o abordare sistematică și organizată a găsirii antiderivatei.

Aplicații ale integrării pe părți

Integrarea prin părți are diverse aplicații în calculul integral, este folosită pentru a găsi integrarea funcției în care tehnicile normale de integrare eșuează. Putem găsi cu ușurință integrarea funcțiilor inverse și logaritmice folosind conceptul de integrare prin părți.

Vom găsi integrarea funcției logaritmice și a funcției Arctan folosind integrarea prin regula părții,

Integrarea funcției logaritmice (log x)

Integrarea funcției logaritmice inverse (log x) este realizată utilizând formula Integrare prin parte. Integrarea este discutată mai jos,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Luând log x ca prima funcție și 1 ca a doua funcție.

Folosind ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Care este integrarea necesară a funcției logaritmice.

Integrarea funcției trigonometrice inverse (tan^-1X)

Integrarea funcției trigonometrice inverse (tan^-1x) se realizează folosind formula de integrare prin parte. Integrarea este discutată mai jos,

∫ deci^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Logica de ordinul 1

Luând bronz^-1x ca prima funcție și 1 ca a doua funcție.

Folosind ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1X. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = x. asa de^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫tan^-1x.dx = x. asa de^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Care este integrarea necesară a funcției trigonometrice inverse.

Aplicații reale ale integrării parțiale

Unele dintre aplicațiile comune din viața reală a integrării parțiale sunt:

• Găsirea antiderivatelor
  • În inginerie și fizică, integrarea parțială este utilizată pentru a găsi antiderivate ale funcțiilor care reprezintă cantități fizice. De exemplu, în mecanică, este folosit pentru a deriva ecuații de mișcare din ecuațiile de forță și accelerație.
• Produs Wallis
  • Produsul Wallis, o reprezentare infinită a produsului pi, poate fi derivat folosind tehnici de integrare parțială. Acest produs are aplicații în domenii precum teoria numerelor, teoria probabilității și procesarea semnalului.
• Identitatea funcției Gamma
  • Funcția gamma, care extinde funcția factorială la numere complexe, are diverse aplicații în matematică, fizică și inginerie. Integrarea parțială este utilizată pentru a demonstra identitățile care implică funcția gamma, care sunt cruciale în domenii precum teoria probabilității, mecanica statistică și mecanica cuantică.
• Utilizare în analiza armonică
  • Integrarea parțială joacă un rol semnificativ în analiza armonică, în special în analiza Fourier. Este folosit pentru a deriva proprietăți ale transformărilor Fourier, cum ar fi teorema de convoluție și proprietățile seriei Fourier. Aceste rezultate sunt aplicate în domenii precum procesarea semnalului, analiza imaginilor și telecomunicațiile.

Formule de integrare prin părți

Putem deriva integrarea diferitelor funcții folosind conceptul de integrare prin părți. Unele dintre formulele importante derivate folosind această tehnică sunt

• ∫ și^X(f(x) + f'(x)).dx = e^Xf(x) + C
• ∫√(x²+ a²).dx = ½ . x.√(x²+ a²)+ a²/2. log|x + √(x²+ a²)| + C
• ∫√(x²- A²).dx =½ . x.√(x²- A²) - A²/2. log|x +√(x²- A²) | C
• ∫√(a²- X²).dx = ½ . x.√(a²- X²) + a²/2. fără^-1x/a + C

Exemple de integrare prin părți

Exemplul 1: Găsiți ∫ e ^X x dx.

Soluţie:

Fie I = ∫ e^Xx dx

Alegerea u și v folosind regula ILATE

u = x
v = e^X

Diferențierea u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^Xdx = e^X

Folosind formula de integrare prin parte,

⇒ I = ∫ e^Xx dx

⇒ I = x ∫e^Xdx − ∫1 (∫ e^Xdx) dx

⇒ I = xe^X− și^X+ C

tostring în java

⇒ I = e^X(x − 1) + C

Exemplul 2: Calculați ∫ x sin x dx.

Soluţie:

Fie I = ∫ x sin x dx

Alegerea u și v folosind regula ILATE

u = x
v = sin x

Diferențierea u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Folosind formula Integrare prin parte,

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

Exemplul 3: Găsiți ∫ sin ⁻¹ x dx.

Soluţie:

Fie I= ∫ sin⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.sin⁻¹x dx

Alegerea u și v folosind regula ILATE

u = păcat⁻¹X
v = 1

Diferențierea u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x)/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Folosind formula de integrare prin parte,

⇒ I = ∫ sin⁻¹x dx

⇒ I = fără⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x sin⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

Fie t = 1 − x²

Diferențierea ambelor părți

dt = −2x dx

data dactilografiată

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ sin⁻¹x dx = x sin⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x sin⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x sin⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ I = x sin⁻¹x + √(1 − x²) + C

Practicați probleme privind integrarea pe părți

1. Integrați xe ^X

2. Integrați x sin(x)

3. Integrați x ² ln(x)

4. Integrați e ^X cos(x)

5. Integrați ln(x)

Întrebări frecvente despre integrarea prin piese

Ce este integrarea pe părți?

Integrarea pe părți este tehnica de găsire a integrării produsului celor două funcții în care tehnicile normale de integrare eșuează. Integrarea prin formula părții este,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Ce este formula de integrare prin părți?

Pentru două funcții f(x) și g(x), formula de integrare prin părți este:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

Unde f'(x) este diferențierea lui f(x).

Cum se deduce integrarea după formula părți?

Integrarea prin formula părții este derivată folosind regula de diferențiere a produsului.

De ce folosim formula de integrare prin părți?

Formula de integrare prin parte este utilizată pentru a găsi integrarea funcției atunci când tehnicile normale de diferențiere eșuează. Putem găsi integrarea funcțiilor trigonometrice inverse și a funcțiilor logaritmice folosind formula Integrare prin parte

Care este aplicarea integrării pe părți?

Integrarea parțială are diverse aplicații și aplicarea de bază a acesteia este aceea că este folosită pentru a găsi integrarea funcției atunci când funcția este dată ca produs al funcțiilor care nu poate fi simplificată în continuare. De exemplu ∫ f(x).g(x) dx se realizează folosind Integrarea pe părți.