logo

TechCodeview

Formule de integrare

Formule de integrare sunt formulele de bază care sunt folosite pentru a rezolva diverse probleme integrale. Ele sunt folosite pentru a găsi integrarea expresiilor algebrice, a rapoartelor trigonometrice, a funcțiilor trigonometrice inverse și a funcțiilor logaritmice și exponențiale. Aceste formule de integrare sunt foarte utile pentru găsirea integrării diverselor funcții.

Integrarea este procesul invers de diferențiere, adică dacă d/dx (y) = z, atunci ∫zdx = y. Integrarea oricărei curbe dă aria de sub curbă. Găsim integrarea prin două metode Integrare nedefinită și Integrare definită. În integrarea nedefinită, nu există o limită a integrării, în timp ce în integrarea definită există o limită sub care funcția este integrată.



Să învățăm despre acestea formule integrale, si al lor clasificare, în detaliu în acest articol.

Cuprins

Calcul integral

Calcul integral este o ramură a calculului care se ocupă cu teoria și aplicațiile integralelor. Procesul de găsire a integralelor se numește integrare. Calculul integral ajută la găsirea anti-derivatelor unei funcții. Antiderivatele sunt numite și integrale ale unei funcții. Este notat cu ∫f(x)dx. Calculul integral se ocupă de valoarea totală, cum ar fi lungimile, suprafețele și volumele. Integrala poate fi folosită pentru a găsi soluții aproximative la anumite ecuații ale datelor date. Calculul integral implică două tipuri de integrare:



  • Nedefinit Integrale
  • Integrale definite

Ce sunt formulele de integrare?

Formulele de integrare au fost prezentate în linii mari ca următoarele seturi de formule. Formulele includ formule de integrare de bază, integrarea rapoartelor trigonometrice, funcțiile trigonometrice inverse, produsul funcțiilor și unele seturi avansate de formule de integrare. Integrarea este o modalitate de a uni părțile pentru a găsi un întreg. Este operația inversă de diferențiere. Astfel formula de bază de integrare este

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Formule de integrare



Folosind aceasta, sunt derivate următoarele formule de integrare.

Diferitele formule de calcul integral sunt

  1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
  2. ∫ xndx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
  3. ∫(1/x) dx = logEste|x| + C
  4. ∫eXdx = eX+ C
  5. ∫aXdx = (aX/ ButurugaEstea) + C

Mai mult, formulele integrale sunt discutate mai jos în articol,

Notă:

  • d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
  • ∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx , unde k este constant
  • ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Formule de integrare de bază

Unele dintre formulele de bază de integrare care sunt utilizate pentru rezolvarea problemelor de integrare sunt discutate mai jos. Ele sunt derivate de teorema fundamentală a integrării. Lista formulelor integrale de bază este prezentată mai jos:

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ șiXdx = eX+ C
  • ∫ aXdx = aX/log a+ C
  • ∫ șiX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {unde, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Clasificarea formulelor integrale

Formulele integrale sunt clasificate în diferite categorii pe baza următoarei funcții.

  • Funcții raționale
  • Funcții iraționale
  • Funcții hiperbolice
  • Funcții hiperbolice inverse
  • Funcții trigonometrice
  • Funcții trigonometrice inverse
  • Funcții exponențiale
  • Funcții logaritmice

Formule de integrare a funcțiilor trigonometrice

Formulele de integrare ale funcțiilor trigonometrice sunt folosite pentru a rezolva ecuațiile integrale care implică funcții trigonometrice. O listă de formule integrale care implică funcții trigonometrice și trigonometrice inverse este dată mai jos,

  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin x dx = -cos x + C
  • ∫ sec2x dx = tan x + C
  • ∫ cosec2x dx = -cot x + C
  • ∫ sec x tan x dx = sec x + C
  • ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
  • ∫ tan x dx = log |sec x| +C
  • ∫ cot x dx = log |sin x| + C
  • ∫ sec x dx = log |sec x + tan x| + C
  • ∫ cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C

Formule de integrare a funcțiilor trigonometrice inverse

Mai jos sunt prezentate diverse formule de integrare a funcțiilor trigonometrice inverse care sunt utilizate pentru a rezolva întrebările integrale,

  • ∫1/√(1 – x2) dx = sin-1x + C
  • ∫ -1/√(1 – x2) dx = cos-1x + C
  • ∫1/(1 + x2) dx = tan-1x + C
  • ∫ -1/(1 + x2) dx = cot-1x + C
  • ∫ 1/x√(x2– 1) dx = sec-1x + C
  • ∫ -1/x√(x2– 1) dx = cosec-1x + C

Formule avansate de integrare

Alte formule de integrare avansate care sunt de mare importanță pentru rezolvarea integralelor sunt discutate mai jos,

  • ∫1/(x2- A2) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
  • ∫ 1/(a2- X2) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
  • ∫1/(x2+ a2) dx = 1/a tan-1x/a + C
  • ∫1/√(x2- A2)dx = log |x +√(x2- A2)| + C
  • ∫ √(x2- A2) dx = x/2 √(x2- A2) -A2/2 log |x + √(x2- A2)| + C
  • ∫1/√(a2- X2) dx = sin-1x/a + C
  • ∫√(a2- X2) dx = x/2 √(a2- X2) dx + a2/2 fara-1x/a + C
  • ∫1/√(x2+ a2) dx = log |x + √(x2+ a2)| + C
  • ∫ √(x2+ a2) dx = x/2 √(x2+ a2)+ a2/2 log |x + √(x2+ a2)| + C

Formule de integrare diferite

Sunt utilizate diferite tipuri de metode de integrare pentru a rezolva diferite tipuri de întrebări integrale. Fiecare metodă este un rezultat standard și poate fi considerată o formulă. Unele dintre metodele importante sunt discutate mai jos în acest articol. Să verificăm cele trei metode importante de integrare.

  • Formula de integrare prin părți
  • Integrare prin Formula de substituție
  • Formula de integrare prin fracții parțiale

Formula de integrare prin părți

Integrare prin părți Formula se aplică atunci când funcția dată este ușor descrisă ca produsul a două funcții. Formula de integrare prin părți utilizată în matematică este prezentată mai jos,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Exemplu: Calculați ∫ xe X dx

Soluţie:

∫ mașinăXdx are forma ∫ f(x) g(x) dx

fie f(x) = x și g(x) = eX

știm că, ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ mașinăXdx = x ∫eXdx – ∫( 1 ∫eXdx) dx+ c

= masinaX- EsteX+ c

Integrare prin Formula de substituție

Integrare prin Formula de substituție se aplică atunci când o funcție este o funcție a unei alte funcții. adică fie I = ∫ f(x) dx, unde x = g(t) astfel încât dx/dt = g'(t), apoi dx = g'(t)dt

Acum, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Exemplu: Evaluați ∫ (4x +3) 3 dx

Soluţie:

Fie u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)3dx

modele de învățare automată

= 1/4 ∫(u)3de

= 1/4. în4/5

= u4/douăzeci

= 4x ​​+3)4/douăzeci

Formula de integrare prin fracții parțiale

Integrare prin fracții parțiale Formula este utilizată atunci când integrala lui P(x)/Q(x) este necesară și P(x)/Q(x) este o fracție improprie, astfel încât gradul lui P(x) este mai mic decât (<) gradul de Q(x), atunci fracția P(x)/Q(x) se scrie ca

P(x)/Q(x) = R(x) + P 1 (x)/ Q(x)

Unde

  • R(x) este un polinom în x
  • P 1 (x)/ Q(x) este o funcție rațională adecvată

Acum integrarea lui R(x) + P1(x)/ Q(x) este ușor de calculat folosind formulele discutate mai sus.

Aplicarea integralelor

Formulele integrale sunt formule extrem de utile în matematică care sunt utilizate pentru o varietate de sarcini. Variat aplicatii ale integralelor include:

  • Aflarea lungimii curbei
  • Găsirea ariei de sub curbă
  • Găsirea valorilor aproximative ale funcției
  • Determinarea traseului unui obiect și a altora
  • Pentru a găsi aria de sub curbă
  • Pentru a găsi suprafața și volumul formelor neregulate
  • Pentru a găsi centrul de masă sau centrul de greutate

Aceste formule sunt practic clasificate în două categorii,

  • Formule de integrare definite
  • Formule de integrare nedefinite

Formula de integrare definită

Formulele integrale definite sunt utilizate atunci când este dată limita integrării. În integrarea definită, soluția la întrebare este o valoare constantă. În general, integrarea definită se rezolvă astfel:

∫ A b f(x) dx = F(b) – F(a)

Formula de integrare nedefinită

Formulele de integrare nedefinită sunt folosite pentru a rezolva integrarea nedefinită atunci când nu este dată limita de integrare. În integrarea nedefinită, folosim constanta integrării care este, în general, notată cu C

∫f(x) = F(x) + C

  • Integrale nedefinite
  • Definiți proprietățile integrale
  • Integrarea funcțiilor trigonometrice

Exemple de formule integrale

Exemplul 1: Evaluează

  • ∫ x 6 dx
  • ∫1/x 4 dx
  • ∫ 3 √x dx
  • ∫3 X dx
  • ∫4e X dx
  • ∫(sin x/cos 2 x) dx
  • ∫(1/sin 2 x) dx
  • ∫[1/√(4 – x 2 )] dx
  • ∫[1/3√(x 2 – 9)] dx
  • ∫(1 /cos x tan x) dx

Soluţie:

(i)∫x 6 dx

= (x6+1)/(6 + 1) + C [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x7/7) + C

(ii) ∫1/x 4 dx

= ∫x-4dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x-3/ 3) + C

= -(1/3x3) + C

(iii) ∫ 3 √x dx

= ∫x1/3dx [∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x4/3) + C

(iv) ∫3 X dx

= (3X/ ButurugaEste3) + C [ ∫a X dx = (a X / Buturuga Este a) + C]

(v) ∫4e X dx

= 4∫eXdx [∫k . f(x) dx = k f(x) dx , unde k este constant]

= 4 șiX+ C [∫e X dx = e X + C]

(vi) ∫(sin x/cos 2 x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . sec x dx [ ∫tan x .sec x dx = sec x + C ]

= sec x + C

(vii) ∫(1/sin 2 x) dx

= ∫cosec2x dx [∫cosec 2 x dx = -cot x + C ]

= -cot x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x 2 )] dx

= ∫[1/√(22- X2)] dx [știm că, dx = sin -1 (x/a) + C]

= fara-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x 2 – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x2- 32)}] dx [știm că,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)sec-1(x/a) + C]

= (1/3) sec-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫cosec x dx [știm că, ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C]

= log |cosec x – cot x| + C

Exemplul 2: Evaluați ∫{e 9log Este X + și 8log Este X }/{Este 6log Este X + și 5log Este X } dx

Soluţie:

De cand, Este tremurând Este X = x A

∫{e 9log Este X + și 8log Este X }/{Este 6log Este X + și 5log Este X } dx

= ∫{x9+ x8}/{X6+ x5} dx

= ∫[x8(x + 1)]/[x5(x + 1)] dx

=∫ x8/X5dx

= ∫x3dx [știm că, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x4/4) + C

Exemplul 3: Evaluați ∫ sin x + cos x dx

Soluţie:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [știm că, ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [știm că, ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Exemplul 4: Evaluați ∫4 x+2 dx

Soluţie:

∫4 x+2 dx = ∫4X. 42dx

= ∫16. 4Xdx [ știm că∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , unde k este constant]

= 16∫ 4Xdx [∫a X dx = (a X / Buturuga Este a) + C]

= 16 (4X/log 4) + C

Exemplul 5: Evaluați ∫(x 2 + 3x + 1) dx

Soluţie:

∫(x 2 + 3x + 1) dx

= ∫x2dx+ 3∫x dx + 1∫ x0dx [Știm că, ∫x n dx = {x n+1 /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x2+1/2+1] + 3[[x1+1/1+1]] + [x0+1/0+1] + C

= [x3/3] + 3[x2/2] + x + C

Exemplul 6: Evaluați ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Soluţie:

1 + cos 2x = 2cos 2 X

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos2x)] dx

= ∫(2/cos2x) dx

= ∫2 sec2xdx

= 2∫sec2x dx [Știm că, ∫sec 2 x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Exemplul 7: Evaluați ∫(3cos x – 4sin x + 5 sec 2 x) dx

Soluţie:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sec 2 x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sec2x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, unde k este constant]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫sec2x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Probleme de practică privind formulele de integrare

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Întrebări frecvente despre formulele de integrare

Care sunt toate formulele de integrare?

Formulele de integrare sunt formulele care sunt utilizate pentru a rezolva diverse probleme de integrare,

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ xndx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
  • ∫ 1/x dx = log |x| + C
  • ∫ șiXdx = eX+ C
  • ∫ aXdx = aX/log a+ C
  • ∫ șiX[f(x) + f'(x)] dx = eXf(x) + C {unde, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Care sunt formulele de integrare a UV?

Formula de integrare a UV este:

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Ce înseamnă integrarea în matematică?

Dacă derivata funcției g(x) este f(x), atunci integrarea lui f(x) este g(x) adică ∫f(x)dx = g(x). Integrarea este reprezentată prin simbol ∫

Cum integrăm folosind formulele de integrare?

Integrarea poate fi realizată folosind formulele,

  • Definiți o mică parte a unui obiect în anumite dimensiuni care prin adăugarea de ori infinite face obiectul complet.
  • Folosind formule de integrare peste acea parte mică de-a lungul dimensiunilor diferite, ne obținem obiectul complet.

Care este formula integrală după parte?

Formula integrală pe parte este utilizată pentru a rezolva integrala în care este dată fracția improprie.

Care este utilizarea formulelor de integrare?

Formulele de integrare sunt folosite pentru a rezolva diverse probleme integrale. Diverse probleme pe care le întâlnim în viața de zi cu zi pot fi rezolvate cu ușurință cu ajutorul integrării, cum ar fi găsirea centrului de masă al oricărui obiect, găsirea traiectoriei rachetelor, rachetelor, avioanelor și altele.