A Hiperbolă este o curbă netedă într-un plan cu două ramuri care se oglindesc una pe cealaltă, asemănătoare cu două arcuri infinite. Este o secțiune conică formată prin intersectarea unui con circular drept cu un plan la un unghi astfel încât ambele jumătăți ale conului să fie intersectate.

Să învățăm despre Hyperbola în detaliu, inclusiv ecuația, formulele, proprietățile, graficele și derivația acesteia.

Hiperbolă

Cuprins

• Ce este Hiperbola?
• Definiție hiperbolă
• Ecuația hiperbolei
• Părți ale hiperbolei
• Excentricitatea hiperbolelor
• Ecuația standard a hiperbolei
• Partea dreaptă a hiperbolei
• Derivarea ecuației hiperbolei
• Formula hiperbolă
• Graficul hiperbolei
• Hiperbola conjugată
• Proprietățile hiperbolei
• Cercuri auxiliare de hiperbolă
• Hiperbola dreptunghiulară
• Reprezentarea parametrică a hiperbolei
• Hiperbola clasa 11
• Exemple rezolvate pe hiperbolă
• Exersați probleme pe hiperbolă

Ce este Hiperbola?

O hiperbolă este locul punctelor a căror diferență între distanțe de la două focare este o valoare fixă. Această diferență se obține prin scăderea distanței focarului mai apropiat de distanța focalizării mai îndepărtate.

Dacă P (x, y) este un punct pe hiperbolă și F, F’ sunt două focare, atunci locul hiperbolei este

PF – PF' = 2a

Notă: Consultați diagrama adăugată în derivație pentru imagine.

Definiție hiperbolă

În geometria analitică, o hiperbola este un tip de secțiune conică creată atunci când un plan taie ambele jumătăți ale unui con circular dublu drept la un unghi . Această intersecție are ca rezultat două curbe separate, nemărginite, care sunt imagini în oglindă una ale celeilalte, formând o hiperbolă.

Ecuația hiperbolei

Ecuația unei hiperbole în forma ei standard depinde de orientarea ei și dacă este centrată la origine sau în alt punct. Iată cele două forme primare pentru hiperbolele centrate la origine, una deschizându-se orizontal și cealaltă deschizându-se vertical:

X ² /A ² - și ² /b ² = 1

Această ecuație reprezintă o hiperbolă care se deschide la stânga și la dreapta. Punctele (±a,0) sunt vârfurile hiperbolei, situate pe axa x.

Părți ale hiperbolei

O hiperbola este o secțiune conică care se dezvoltă atunci când un plan taie un con circular dublu drept la un unghi astfel încât ambele jumătăți ale conului să fie unite. Poate fi descris folosind concepte precum focare, directrice, latus rectum și excentricitate.

Excentricitatea hiperbolelor

Excentricitatea unei hiperbole este raportul dintre distanța unui punct de la focar și distanța sa perpendiculară față de directrice. Este notat cu litera „ Este '.

• Excentricitatea unei hiperbole este întotdeauna mai mare decât 1, adică e>1.
• Putem găsi cu ușurință excentricitatea hiperbolei prin formula:

e = √[1 + (b ² /A ² )]

Unde,

• A este lungimea semi-axei ​​majore
• b este lungimea axei semi-minore

Citeşte mai mult: Excentricitate

Ecuația standard a hiperbolei

Ecuațiile standard ale unei hiperbole sunt:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

SAU

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

O hiperbolă are două ecuații standard. Aceste ecuații ale unei hiperbole se bazează pe axa ei transversală și pe axa conjugată.

este grasime proteica

• Ecuația standard a hiperbolei este [(x²/A²) - (și²/b²)] = 1, unde axa X este axa transversală și axa Y este axa conjugată.
• În plus, o altă ecuație standard a hiperbolei este [(y²/A²)- (X²/b²)] = 1, unde axa Y este axa transversală și axa X este axa conjugată.
• Ecuația standard a hiperbolei cu centrul (h, k) și axa X ca axă transversală și axa Y ca axa conjugată,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Mai mult, o altă ecuație standard a hiperbolei cu centrul (h, k) și axa Y ca axă transversală și axa X ca axă conjugată este

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Partea dreaptă a hiperbolei

Latus rectum al unei hiperbole este o linie care trece prin oricare dintre focarele unei hiperbole și perpendiculară pe axa transversală a hiperbolei. Extremitățile unui latus rectum se află pe hiperbolă, iar lungimea sa este de 2b²/A.

Derivarea ecuației hiperbolei

Să considerăm un punct P de pe hiperbolă ale cărui coordonate sunt (x, y). Din definiția hiperbolei, știm că diferența dintre distanța punctului P de la cele două focare F și F’ este 2a, adică PF’-PF = 2a.

Fie coordonatele focarelor F (c, o) și F ‘(-c, 0).

Acum, folosind formula distanței de coordonate, putem găsi distanța punctului P (x, y) la focarele F (c, 0) și F ‘(-c, 0).

√[(x + c)²+ (și – 0)²] – √[(x – c)²+ (și – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ și²] = 2a + √[(x – c)²+ și²]

Acum, prin pătrarea ambelor părți, obținem

(x + c)²+ și²= 4a²+ (x – c)²+ și²+ 4a√[(x – c)²+ și²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ și²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ și²]

Acum, prin pătrarea pe ambele părți și simplificând, obținem

[(X²/A²) - (și²/(c²- A²))] = 1

Avem, c²= a²+ b², deci înlocuind aceasta în ecuația de mai sus, obținem

X²/A²- și²/b²= 1

Prin urmare, este derivată ecuația standard a hiperbolei.

În mod similar, putem deriva ecuațiile standard ale celeilalte hiperbole, adică [y²/A²- X²/b²] = 1

Formula hiperbolă

Următoarele formule de hiperbolă sunt utilizate pe scară largă în găsirea diferiților parametri ai hiperbolei, care includ ecuația hiperbolei, axa majoră și minoră, excentricitatea, asimptotele, vârfurile, focarele și rectul semi-latus.

Unde,

• ( X₀, și₀​) este punctul central
• A este Semi-axa majoră
• b este Axa Semi-minoră.

Graficul hiperbolei

Hiperbola este o curbă care are două curbe nemărginite care sunt imagini în oglindă una ale celeilalte. Graficul hiperbolei arată acea curbă în planul 2-D. Putem observa diferitele părți ale unei hiperbole în graficele hiperbolelor pentru ecuațiile standard prezentate mai jos:

Ecuația hiperbolei	Graficul hiperbolei	Parametrii hiperbolei
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Coordonatele centrului: (0, 0) Coordonatele vârfului: (a, 0) și (-a, 0) Coordonatele focarelor: (c, 0) și (-c, 0) Lungimea axei transversale = 2a Lungimea axei conjugate = 2b Lungimea latus rectum = 2b2/A Ecuații de asimptote: y = (b/a) x și y = -(b/a) x Excentricitatea (e) = √[1 + (b2/A2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Coordonatele centrului: (0, 0) Coordonatele vârfului: (0, a) și (0, -a) Coordonatele focarelor: (0, c) și (0, -c) Lungimea axei transversale = 2b Lungimea axei conjugate = 2a Lungimea latus rectum = 2b2/A Ecuații de asimptote: y = (a/b) x și y = -(a/b) x Excentricitatea (e) = √[1 + (b2/A2)]

Hiperbola conjugată

Hiperbola conjugată sunt 2 hiperbole, astfel încât axele transversale și conjugate ale unei hiperbole sunt axa conjugată și, respectiv, transversală a celeilalte hiperbole.

Hiperbola conjugată a lui (x²/ A²) - (și²/b²) = 1 este,

(X ² / A ² ) - (și ² / b ² ) = 1

Unde,

• A este Semi-axa majoră
• b este semi-axa minoră
• Este este excentricitatea parabolei
• A ² = b ² (Este ² − 1)

Proprietățile hiperbolei

• Dacă excentricitățile hiperbolei și ale conjugatului său sunt e₁, și e₂apoi,

(1 și ₁ ² ) + (1 / e ₂ ² ) = 1

• Focurile unei hiperbole și conjugatul său sunt conciclice și formează vârfurile unui pătrat.
• Hiperbolele sunt egale dacă au același latus rectum.

Cercuri auxiliare de hiperbolă

Cercul auxiliar este un cerc care este desenat cu centrul C și diametrul ca axă transversală a hiperbolei. Cercul auxiliar al ecuației hiperbolei este:

X ² + și ² = a ²

Hiperbola dreptunghiulară

O hiperbolă cu o axă transversală de 2a unități și o axă conjugată de 2b unități de lungime egală se numește Hiperbola dreptunghiulară. adică în hiperbolă dreptunghiulară,

2a = 2b

⇒ a = b

Ecuația unei hiperbole dreptunghiulare este dată după cum urmează:

X ² - și ² = a ²

Notă: Excentricitatea hiperbolei dreptunghiulare este √2.

Reprezentarea parametrică a hiperbolei

Reprezentarea parametrică a cercurilor auxiliare ale hiperbolei este:

x = a sec θ, y = b tan θ

Oamenii Citesc De asemenea

• Secțiunea conică
• Parabolă
• Cerc
• Elipsă

Hiperbola clasa 11

În matematica clasa 11, studiul hiperbolelor face parte din secțiunile conice din geometria analitică. Înțelegerea hiperbolelor la acest nivel implică explorarea definiției lor, a ecuațiilor standard, a proprietăților și a diferitelor elemente asociate acestora.

Curriculum-ul clasei 11 include de obicei derivarea acestor ecuații și proprietăți, schițarea hiperbolelor pe baza ecuațiilor date și rezolvarea problemelor legate de elementele și pozițiile hiperbolei. Stăpânirea acestor concepte oferă o bază solidă în analitică geometrie , pregătirea studenților pentru studii ulterioare în matematică și domenii conexe.

Rezumat – Hiperbola

O hiperbola este un tip de secțiune conică care se formează atunci când un plan intersectează un con sub un unghi astfel încât să se producă două curbe separate. Caracterizată prin simetria sa în oglindă, o hiperbolă este formată din două ramuri deconectate, fiecare curbându-se departe de cealaltă. Poate fi definit matematic într-un plan de coordonate folosind o ecuație standard, care variază în funcție de orientarea sa - orizontală sau verticală - și dacă centrul său este la origine sau un alt punct.

Formele standard sunt X ² /A ² - și ² /b ² = 1 pentru o hiperbolă care se deschide orizontal și și ² /A ² - X ² /b ² = 1 pentru o deschidere pe verticală, cu variații pentru a găzdui un centru mutat în (h,k). Caracteristicile cheie ale hiperbolelor includ vârfurile, cele mai apropiate puncte de pe fiecare ramură de centru; focare, puncte de la care distanțele până la orice punct de pe hiperbolă au o diferență constantă; și asimptote, linii de care ramurile se apropie dar nu le ating niciodată.

Proprietățile hiperbolelor le fac semnificative în diferite domenii, inclusiv astronomie, fizică și inginerie, pentru modelarea și analiza traiectoriilor și comportamentelor hiperbolice.

Exemple rezolvate pe hiperbolă

Întrebarea 1: Determinați excentricitatea hiperbolei x ² /64 – și ² /36 = 1.

Soluţie:

Ecuația hiperbolei este x²/64 – și²/36 = 0

Prin compararea ecuației date cu ecuația standard a hiperbolei x²/A²- și²/b²= 1, obținem

A²= 64, b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Avem,

Excentricitatea unei hiperbole (e) = √(1 + b²/A²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Prin urmare, excentricitatea hiperbolei date este 1,25.

Întrebarea 2: Dacă ecuația hiperbolei este [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, găsiți lungimile axei majore, ale axei minore și ale latus rectum.

Soluţie:

Ecuația hiperbolei este [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Comparând ecuația dată cu ecuația standard a hiperbolei, (x – h)²/A²– (și – k)²/b²= 1

Aici, x = 4 este axa majoră și y = 3 este axa minoră.

A²= 25 a = 5

b²= 9 b = 3

Lungimea axei majore = 2a = 2 × (5) = 10 unități

Lungimea axei minore = 2b = 2 × (3) = 6 unități

Lungimea latus rectum = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 unități

Întrebarea 3: Găsiți vârful, asimptota, axa majoră, axa minoră și directrixa dacă ecuația hiperbolei este [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Soluţie:

Ecuația hiperbolei este [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Prin compararea ecuației date cu ecuația standard a hiperbolei, (x – h)²/A²– (și – k)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Vârful unei hiperbole: (h + a, k) și (h – a, k) = (13, 2) și (-1, 2)

Axa majoră a hiperbolei este x = h x = 6

Axa mică a hiperbolei este y = k y = 2

Ecuațiile asimptotelor hiperbolei sunt

structuri de date în java

y = k − (b / a)x + (b / a)h și y = k+ (b / a)x – (b / a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 și y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 și y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x și y = -1,43 + 0,57x

Ecuația directricei unei hiperbole este x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Întrebarea 4: Aflați excentricitatea hiperbolei al cărei latus rectum este jumătate din axa sa conjugată.

Soluţie:

Lungimea latus rectum este jumătate din axa sa conjugată

Fie ecuația hiperbolei [(x²/ A²) - (și²/ b²)] = 1

Axa conjugată = 2b

Lungimea Latus rectum = (2b²/ A)

Din datele date, (2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = a

Avem,

Excentricitatea hiperbolei (e) = √[1 + (b²/A²)]

Acum, înlocuiți a = 2b în formula excentricității

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

Prin urmare, excentricitatea necesară este √5/2.

Exersați probleme pe hiperbolă

P1. Găsiți ecuația de formă standard a hiperbolei cu vârfurile la (-3, 2) și (1, 2) și o distanță focală de 5.

P2. Determinați centrul, vârfurile și focarele hiperbolei cu ecuația 9x ² – 4 ani ² = 36.

P3. Având în vedere hiperbola cu ecuația (x – 2) ² /16 – (și + 1) ² /9 = 1, găsiți coordonatele centrului, vârfurilor și focarelor sale.

P4. Scrieți ecuația hiperbolei cu o axă majoră orizontală, centru la (0, 0), un vârf la (5, 0) și un focar la (3, 0).

Hyperbola – Întrebări frecvente

Ce este hiperbola la matematică?

Locul unui punct dintr-un plan astfel încât raportul dintre distanța sa de la un punct fix și cel de la o dreaptă fixă ​​este o constantă mai mare decât 1 se numește hiperbolă.

Ce este ecuația standard a hiperbolei?

Ecuația standard a hiperbolei este

(X ² /A ² ) - (și ² /b ² ) = 1

Ce este excentricitatea hiperbolei?

Excentricitatea unei hiperbole este raportul dintre distanța unui punct de la focar și distanța sa perpendiculară față de directrice. Pentru Hyperbola, excentricitatea este întotdeauna mai mare decât 1.

Care este formula de excentricitate a hiperbolei?

Formula pentru excentricitatea hiperbolei este e = √(1 + (b ² /A ² ))

Ce sunt Focuri de Hiperbola?

O hiperbolă are două focare. Pentru hiperbola (x²/A²) - (și²/b²) = 1, focarele sunt date de (ae, 0) și (-ae, 0)

Ce este axa transversală a hiperbolei?

Pentru hiperbola (x²/A²) - (și²/b²) = 1, axa transversală este de-a lungul axei x. Lungimea sa este dată de 2a. Linia care trece prin centrul și focarele hiperbolei se numesc axa transversală a unei hiperbole.

Ce sunt asimptotele hiperbolei?

Liniile paralele cu hiperbola care întâlnesc hiperbola la infinit se numesc asimptotele hiperbolei.

Câte asimptote are Hyperbola?

O hiperbola are 2 asimptote. Asimptotele este o linie tangentă la hiperbola care întâlnește hiperbola la infinit.

Pentru ce se folosește Hyperbola?

Hiperbolele găsesc aplicații în diverse domenii, cum ar fi astronomie, fizică, inginerie și economie. Ele sunt utilizate în traiectorii satelitului, modele de transmisie radio, țintirea artileriei, modelarea financiară și mecanica cerească, printre alte domenii.

Care este diferența dintre parabolă și hiperbolă în formă standard?

În formă standard, ecuația unei parabole implică termeni ridicați la puterea lui 1 și 2, în timp ce ecuația unei hiperbole implică termeni ridicați la puterea lui 2 și -2. De asemenea, parabola este caracterizată de un singur punct de focalizare, în timp ce hiperbola are două.

Ce este ecuația de bază a graficului hiperbolei?

Ecuația de bază a unui grafic hiperbolă este:

(x – h)²/ A²– (și – k)²/ b²= 1

Sau

(și – k)²/ b²– (x -h)²/ A²= 1

Care sunt tipurile de hiperbolă?

Hiperbolele pot fi clasificate în trei tipuri în funcție de orientarea lor: hiperbole orizontale, verticale și oblice.

Cum identifici o ecuație de hiperbolă?

O ecuație de hiperbolă implică de obicei termeni cu ambii X și și variabile, cu o diferență între pătratele lui X și și coeficienții, iar coeficienții acestor termeni sunt pozitivi și, respectiv, negativi.

Care este formula lui B în hiperbolă?

În forma standard a unei ecuații de hiperbolă, B reprezintă lungimea axei conjugate, iar formula acesteia este B = 2 b , Unde b este distanța de la centru la vârfurile de-a lungul axei conjugate.

Cum se desenează o hiperbolă?

Pentru a desena o hiperbolă, începeți de obicei prin a trasa punctul central, apoi marcați vârfurile, focarele, asimptotele și alte puncte cheie pe baza ecuației sau proprietăților date. În cele din urmă, schițați curbele hiperbolei folosind aceste puncte ca ghiduri.