Frustul unui con este o formă specială care se formează atunci când tăiem conul cu un plan paralel cu baza lui. Conul este o formă tridimensională având o bază circulară și un vârf. Deci trunchiul unui con este un volum solid care se formează prin îndepărtarea unei părți a conului cu un plan paralel cu baza circulară. Trunchiul nu este definit doar pentru conuri, ci poate fi definit și pentru diferitele tipuri de piramide (piramidă pătrată, piramidă triunghiulară etc.).

Unele dintre formele comune ale unui tronc de con pe care le descoperim în viața noastră de zi cu zi sunt gălețile, abajurul și altele. Să aflăm mai multe despre trunchiul de conuri în acest articol.

Ce este Frustum of Cone?

Frustum este un cuvânt latin, care înseamnă bucăți, prin urmare trunchiul de con este o bucată solidă a conului. Când un con circular drept este tăiată de un plan paralel cu baza conului forma astfel obținută se numește trunchiul conului. Figura de mai jos ne arată cum un avion taie conul paralel cu baza sa pentru a forma trunchiul conului.

Acum, trunchiul conului este ușor de definit ca:

Dacă un con circular drept este tăiat de un plan paralel cu baza sa, forma porțiunii dintre planul de tăiere și planul de bază se numește trunchi de con.

Plasa de bucată de con

Dacă o formă tridimensională (3D) este tăiată și se face o formă bidimensională, forma astfel obținută se numește plasă. Se poate presupune că, atunci când plasa figurii este pliată corect într-un mod corect, formează forma 3D dorită. Imaginea de mai jos arată plasa trunchiului conului.

Proprietățile unei bucăți de con

Proprietățile unui Frustum de con sunt foarte asemănătoare cu conul, unele dintre proprietățile importante ale Frustum de con sunt:

• Baza conului conul inițial este conținut în trunchiul unui con, dar vârful său nu este conținut în trunchiul conului.
• Formulele trunchiului unui con depind de înălțimea acestuia și de două raze (corespunzând bazelor de sus și de jos).
• Înălțimea trunchiului conului este distanța perpendiculară dintre centrele celor două baze ale sale.

Formulele Piece of Cone

Frustum of Cone este o astfel de formă care este văzută frecvent în viața noastră de zi cu zi, de exemplu, lămpi de masă, găleți etc. Formulele importante pentru trunchiul unui con sunt:

• Volumul piesei de con
• Suprafața Frustum of Cone

Să învățăm mai jos despre aceste formule în detaliu,

Volumul piesei de con

Frustum de con este o parte feliată a unui con, unde un con mic este îndepărtat din conul mai mare. Prin urmare, pentru a calcula volumul trunchiului de con, trebuie doar să calculați diferența dintre volumul conului mai mare și cel mai mic.

Sa presupunem,

• Înălțimea totală a conului trebuie să fie H + h
• Înălțimea totală înclinată să fie l’ + L
• Raza unui con complet este r
• Raza conului feliat este r’

Deoarece volumul conului este dat ca V = 1/3πr²h

Volumul conului complet V₁= 1/3πr²(H+h)

Volumul conului mai mic V₂=1/3πr’²(h)

Acum, volumul trunchiului de con (V) poate fi calculat folosind formula,

V=V₁- ÎN₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr’²(h)

repetarea unei liste în java

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]…(1)

Folosind proprietatea de similitudine a triunghiurilor lui △OCD și △OAB, se poate scrie,

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

H + h = hr / r’

Înlocuiți această valoare a lui (H+h) în ecuația (1) și simplificați,

V = 1/3π[r²(rh / r’) – r’²(h)}

= 1/3π[{hr³- HR'³} / r’]…(2)

Folosind din nou proprietatea triunghiului similar în △OCD și △OAB, vom afla valoarea lui h

r / (H + h) = r’ / h

r / r’ = (H + h) / h

rh = (H + h)r’

python convertește octeții în șir

rh = Hr’ + hr’

(r -r’)h = Hr’

h = Hr’ / (r -r’)

Înlocuind aceste valori în ecuația (2),

V = 1/3π[{r³HR³HR']

= 1/3π[{r³– r’³}HR']

= 1/3π[{r³– r’³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3πH(r²+ r’²+rr’)

Prin urmare,

Volumul trunchiului de con = 1/3 πH(r ² + r’ ² + rr’)

Suprafața Frustum of Cone

Suprafața trunchiului de con poate fi calculată prin diferența dintre suprafața conului complet iar conul mai mic (scos din conul complet). Suprafața trunchiului de con poate fi calculată folosind diagrama de mai jos, unde trebuie să însumăm suprafețele suprafețelor curbate și suprafețele suprafețelor superioare și inferioare ale trunchiului de con.

Similar cu Volumul trunchiului de con, suprafața curbată va fi, de asemenea, egală cu diferența dintre suprafețele conului mai mare și conului mai mic.

În figura de mai sus, triunghiurile OAB și OCD sunt similare. Prin urmare, folosind criteriile de similitudine, se poate scrie,

l’ / l = r’ / r...(1)

Deoarece, l’ = l – L, prin urmare, din ecuația (1),

(l – L) / l = r’ / r

După înmulțirea încrucișată,

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)…(2)

Suprafața curbată a unui con complet = πrl

Suprafața curbată a conului mai mic = πr’l’

Diferența dintre suprafețele curbate ale conului complet și ale conului mai mic = π (rl – r’l’)

Astfel, aria suprafeței curbe (CSA) a trunchiului de con = πl (r – r’l’/l)

Folosiți ecuația (1) pentru a înlocui valoarea lui l’/l în ecuația de mai sus și simplificați,

ce este trimiterea directorului

CSA trunchiului de con = πl (r – r’×r’/r) = πl (r²– r’²)/r

Acum, înlocuiți valoarea lui l din ecuația (2) și simplificați,

CSA trunchiului de con = πlr/(r – r’)× (r²– r’²)/r = πl (r + r')

Astfel, se poate scrie,

Suprafața curbată a trunchiului de con = πl (r + r’)

Acum, să calculăm aria suprafeței bazelor superioare și inferioare ale trunchiului conului, astfel încât,

Suprafața bazei superioare a trunchiului de con cu raza r’ = πr’²

Suprafața bazei inferioare a trunchiului de con cu raza r = πr²

Asa de,

Suprafața totală a trunchiului de con = suprafața curbată a trunchiului de con + suprafața bazei superioare + suprafața bazei inferioare

Prin urmare,

Suprafața totală a trunchiului de con = πl (r + r’) + πr’²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r’²)

Astfel, suprafața totală a trunchiului de con este = πl (r + r’) + π (r²+ r’²)

Această formulă poate fi scrisă și ca,

Suprafața totală a trunchiului de con este = πl (r²– r’²)/r + π (r²+ r’²)

Deci, se poate scrie,

Suprafața totală a trunchiului de con = πl(r + r’) + π (r ² + r’ ² )

sau

Suprafața totală a trunchiului de con = πl (r ² – r’ ² )/r + π (r ² + r’ ² )

Rețineți că, l este înălțimea înclinată a conului mai mic care poate fi dat ca

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Citeşte mai mult

• Volumul conului
• Volumul cilindrului
• Volumul sferei

Exemple rezolvate pe fragment de con

Exemplul 1: Aflați volumul unui tronc de con care are 15 cm înălțime și razele ambelor baze sunt de 5 cm și 8 cm.

Soluţie:

Folosind formula studiată mai sus, se poate scrie,

V = 1/3 πH(r²+ r’²+ rr’)

Dat,

H = 15 cm
r’= 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm³

Exemplul 2: Aflați suprafața și suprafața totală a unui tronc de con care are 10 cm înălțime și razele ambelor baze sunt de 4 cm și 8 cm.

Soluţie:

Cunoaștem formula pentru suprafața și suprafața totală a trunchiului. Trebuie să introducem valorile necesare.

Suprafața curbată a trunchiului = πl(r+r’)

Unde,
L = √ [H²+ (R – r)²]

Dat,
H = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Calcularea valorii lui L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Suprafața curbată a Frustum = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Suprafața totală = Suprafața curbată a Frustum + Suprafața ambelor baze

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

variabilă java variabilă

= 48π√(29) + 80π cm²

Exemplul 3: Să presupunem că avem o găleată metalică deschisă a cărei înălțime este de 50 cm și razele bazelor sunt de 10 cm și 20 cm. Găsiți zona tabla metalica folosita la confectionarea galetii.

Soluţie:

Găleata este sub formă de trunchi care s-a închis de jos. Trebuie să calculăm suprafața totală a acestui tronc.

Dat
H = 50 cm
r ‘= 10 cm
r = 20 cm

Suprafața curbată a Frustum = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Suprafața curbată a Frustum = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

șir java la boolean

Suprafața totală = Suprafața curbată a Frustum + Suprafața ambelor baze

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

Exemplul 4: Aflați expresia volumului unui trunchi dacă înălțimea lui este 6y, iar razele sale sunt y și, respectiv, 2y.

Soluţie:

Folosind formula studiată mai sus,

V = 1/3 πH(r²+ r’²+ rr’)

Dat,

H = 6y
r'= y
r = 2y

V = 1/3 π6[(2y)²+ (și)²+ (y)(2y)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³unitate³

Întrebări frecvente despre Piece of Cone

Întrebarea 1: Ce este Frustumul unui con?

Răspuns:

Când tăiem un con în așa fel încât planul de tăiere să fie paralel cu baza conului. Figura rezultată astfel obținută se numește Frustum of the Cone.

Întrebarea 2: Care sunt Frustum-ul formulelor de conuri?

Răspuns:

Formulele trunchiului de con sunt discutate mai jos. Să luăm un tronc cu raza de bază „R” și raza superioară „r”, înălțimea „H” și înălțimea înclinată, atunci,

• Volumul piesei unui con (V) = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)
• Suprafața totală a trunchiului de con = πl (r + r’) + π (r’)²+ r²).

Întrebarea 3: Care este CSA-ul unui frustum?

Răspuns:

Suprafața curbată a trunchiului unui con este calculată folosind formula,

CSA = πl (r + r')

Unde,
r’ este raza cercului superior al trunchiului
r este baza razei
l este înălțimea înclinată

Întrebarea 4: Care este suprafața Frustum of Cone?

Răspuns:

Aria suprafeței trunchiului unui con este calculată folosind formula,

• CSA bucată de con = πl [ (r²– r’²)/r’]
• TSA trunchiului de con = π (r²+ r’²) + πl [ (r²– r’²) / r’]

Întrebarea 5: Care este volumul Frustumului conului?

Răspuns:

Volumul trunchiului unui con este calculat folosind formula,

• V = 1/3πh[ (r³– r’³) / r’]
• V = 1/3πH(r²+ rr’ + r’²)