O perioadă este definită ca intervalul de timp dintre două puncte de timp, iar o funcție periodică este definită ca o funcție care se repetă la intervale regulate sau perioade de timp. Cu alte cuvinte, o funcție periodică este o funcție ale cărei valori se repetă după un anumit interval de timp. O funcție periodică este reprezentată ca f(x + p) = f(x), unde p este perioada funcției. Unda sinusoidală, unda triunghiulară, unda pătrată și unda dinți de ferăstrău sunt câteva exemple de funcții periodice. Mai jos sunt grafice ale unor funcții periodice și putem observa că graficul fiecărei funcții periodice are simetrie translațională.

Perioada fundamentală a unei funcții

Domeniul unei funcții periodice cuprinde toate valorile numerelor reale, în timp ce intervalul său este specificat pentru un interval fix. O funcție periodică este una în care există un număr real pozitiv P astfel încât f (x + p) = f (x), pentru toate x fiind numere reale. Perioada fundamentală a unei funcții este cea mai mică valoare a numărului real pozitiv P sau perioada în care o funcție se repetă.

f(x + P) = f(x)

linux mint scorțișoară vs mate

Unde,

P este perioada funcţiei şi f este funcția periodică.

Cum se determină perioada unei funcții?

1. O funcție periodică este definită ca o funcție care se repetă la intervale sau perioade regulate.
2. Este reprezentată ca f(x + p) = f(x), unde p este perioada funcției, p ∈ R.
3. Perioada înseamnă intervalul de timp dintre cele două apariții ale valului.

Perioade ale funcțiilor trigonometrice

Funcțiile trigonometrice sunt funcții periodice, iar perioada funcțiilor trigonometrice este după cum urmează

• Perioada lui Sin x și Cos x este 2 p .

adică sin(x + 2π) = sin x și cos(x + 2π) = cos x

• Perioada lui Tan x și Cot x este Pi.

adică tan(x + π) = tan x și cot(x + π) = cot x

• Perioada lui Sec x și Cosec x este 2 p.

adică sec(x + 2π) = sec x și cosec(x + 2π) = cosec x

Perioada funcției este denumită distanța dintre repetările oricărei funcții. Perioada unei funcții trigonometrice este lungimea unui ciclu complet. Amplitudinea este definită ca deplasarea maximă a unei particule într-o undă de la echilibru. Cu cuvinte simple, este distanța dintre punctul cel mai înalt sau cel mai jos și punctul din mijloc pe graficul unei funcții. În trigonometrie, există trei funcții fundamentale, și anume, sin, cos și tan, ale căror perioade sunt 2π, 2π și, respectiv, π. Punctul de pornire al graficului oricărei funcții trigonometrice este luat ca x = 0.

De exemplu, dacă observăm graficul cosinus prezentat mai jos, putem vedea că distanța dintre două apariții este 2π, adică perioada funcției cosinus este 2π. Amplitudinea sa este 1.

Graficul cosinus

Formule periodice

• Dacă p este perioada funcției periodice f (x), atunci 1/f (x) este de asemenea o funcție periodică și va avea aceeași perioadă fundamentală a lui p ca f(x).

Dacă f (x + p) = f (x),

F (x) = 1/f (x) , apoi F (x + p) = F (x).

• Dacă p este perioada funcției periodice f(x), atunci f (ax + b), a>0 este și o funcție periodică cu o perioadă de p/|a|.

• Perioada lui Sin (ax + b) și Cos (ax + b) este 2π/|a|.
• Perioada lui Tan (ax + b) și Cot (ax + b) este π/|a|.
• Perioada lui Sec (ax + b) și Cosec (ax + b) este 2π/|a|.

• Dacă p este perioada funcției periodice f(x), atunci af(x) + b, a>0 este și o funcție periodică cu o perioadă de p.

• Perioada lui [a Sin x + b] și [a Cos x + b] este 2π.
• Perioada lui [a Tan x + b] și [a Cot x + b] este π.
• Perioada lui [a Sec x + b] și [a Cosec x + b] este 2π.

Practicați probleme bazate pe funcția periodică

Problema 1: Determinați perioada funcției periodice cos(5x + 4).

Soluţie:

Funcția dată: cos (5x + 4)

Coeficientul lui x = a = 5.

Noi stim aia,

Perioada lui cos x este 2π.

Deci, perioada lui cos(5x + 4) este 2π/ |a| = 2π/5.

Prin urmare, perioada lui cos(5x + 4) este 2π/5.

Problema 2: Aflați perioada lui f(x) = cot 4x + sin 3x/2.

Soluţie:

eliminând ultimul comit git

Funcție periodică dată: f(x) = cot 4x + sin 3x/2

Noi stim aia,

Perioada cot x este π și perioada sin x este 2π.

Deci, perioada cot 4x este π/4.

Deci, perioada sin 3x/2 este 2π/(3/2) = 4π/3.

Acum, calculul perioadei funcției f(x) = cot 4x + sin 3x/2 este,

Perioada lui f(x) = (LCM de π și 4π)/(HCF de 3 și 4) = 4π/1 = 4π.

Prin urmare, perioada cot 4x + sin 3x/2 este 4π.

Problema 3: Schițați graficul lui y = 3 sin 3x+ 5.

Soluţie:

Având în vedere că y = 3 sin 3x + 5

Unda dată este sub forma y = a sin bx + c

Din graficul de mai sus putem scrie următoarele:

1. Perioada = 2π/|b| = 2π/3
2. Axa: y = 0 [axa x]
3. Amplitudine: 3
4. Valoarea maximă = (3 × 1) + 5 = 8
5. Valoarea minimă = (3 × -1) + 5 = 2
6. Domeniu: { x : x ∈ R }
7. Interval = [ 8, 2]

Problema 4: Determinați perioada funcției periodice date 5 sin(2x + 3).

Soluţie:

Funcția dată: 5 sin(2x + 3)

Coeficientul lui x = a = 2.

lista de state

Noi stim aia,

Perioada lui cos x este 2π.

Deci, perioada lui 5 sin(2x + 3) este 2π/ |a| = 2π/2 = π.

Prin urmare, perioada lui 5 sin(2x + 3) este π.

Problema 5: Aflați perioada lui f (x) = tan 3x + cos 5x.

Soluţie:

Funcție periodică dată: f(x) =tan 3x + cos 6x.

Noi stim aia,

Perioada lui tan x este π și perioada lui cos x este 2π.

Deci, perioada tan 3x este π/3.

Deci, perioada lui cos 6x este 2π/5.

Acum, calculul perioadei funcției f(x) = tan 3x + cos 6x este,

Perioada lui f(x) = (LCM de π și 2π)/(HCF de 3 și 5) = 2π/1 = 2π.

Prin urmare, perioada lui f (x) = tan 3x + cos 5x este 2π.