Derivată a funcției arc tangente este notat ca bronz^-1(x) sau arctan(x). Este egal cu 1/(1+x ² ) . Derivată a funcției arc tangente se găsește prin determinarea ratei de modificare a funcției arc tan față de variabila independentă. Tehnica de găsire a derivatelor funcțiilor trigonometrice este denumită diferențiere trigonometrică.

Derivat de Arctan

În acest articol, vom afla despre derivata arc tan x și formula sa, inclusiv demonstrația formulei. În afară de asta, am oferit și câteva exemple rezolvate pentru o mai bună înțelegere.

Derivatul lui Arctan x

Derivată a funcției arc tangentă sau arctan(x) este 1/(1+x ² ). Arctanul x reprezintă unghiul a cărui tangentă este x. Cu alte cuvinte, dacă y = arctan(x), atunci tan(y) = x.

sistem de fișiere linux

Derivata unei funcții poate fi găsită folosind regula lanțului. Dacă aveți o funcție compozită precum arctan(x), diferențiați funcția exterioară față de funcția interioară și apoi înmulțiți cu derivata funcției interioare.

Derivat al formulei Arctan x

Formula pentru derivata inversului lui tan x este dată de:

d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x ² )

Verificați de asemenea :

• Arctan – Formula, grafic, identități, domeniu, interval și întrebări frecvente
• Calcul în matematică
• Invers Funcția trigonometrică

Dovada derivatei lui Arctan x

Derivata inversului lui tan x poate fi demonstrată folosind următoarele moduri:

• Folosind Regula lanțului
• Folosind Metoda de diferențiere implicită
• Utilizarea primelor principii ale derivatelor

Derivată a lui Arctan x prin regula lanțului

Pentru a demonstra derivata lui Arctan x prin regula lanțului, vom folosi formula trigonometrică de bază și trigonometrică inversă:

• sec²y = 1 + tan²și
• tan(arctan x) = x

Iată dovada derivatei lui arctan x:

Să presupunem, y = arctan(x)

Luând bronz pe ambele părți obținem:

tan y = tan(arctan X)

tan y = x [ca tan (arctan x) = x]

Acum diferențiază ambele părți în raport cu x

d/dx (tan y) = d/dx(x)

d/dx(tan y) = 1 [ca d/dx(x) = 1]

Aplicând regula lanțului pentru a diferenția tan y față de x obținem

d/dx(tan y) = sec²y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/sec²și

dy/dx = 1/ 1 + tan²y [ca sec²y = 1 + tan²și]

Acum, știm tan y = x, înlocuind valoarea din ecuația de mai sus pe care o obținem

dy/dx = 1/ 1 + x²

Derivată de Arctan x prin metoda de diferențiere implicită

Derivatul arctanului x poate fi demonstrat folosind metoda diferențierii implicite. Vom folosi formule trigonometrice de bază care sunt enumerate mai jos:

• sec²x = ( 1 + tan²X )

• Dacă y = arctan x ⇒ x = tan y și x²= deci²și

Să începem demonstrația pentru derivata arctanului x , presupunem f(x) = y = arctan X

Prin metoda de diferențiere implicită

f(x) = y = arctan X

⇒ x = tan y

Luând derivată de ambele părți în raport cu x

⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]

⇒ 1 = d/dx[tan y]

Înmulțirea și împărțirea părții din dreapta cu dy

⇒ 1 = d/dx[tan y] × dy/dy

⇒ 1 = d/dy[tan y] × dy/dx

⇒ 1 = sec²y × dy/dx

⇒ dx/dy = ( 1+tan²y) [Ca sec²x = ( 1 + tan²X )]

⇒ dy/dx = 1/( 1+tan²și )

⇒ dy/dx = 1/( 1 + x²) = f'(x)

Prin urmare f'(x) = 1/ ( 1+x²)

Derivată a lui Arctan x după primul principiu

Pentru a demonstra derivata lui arctan x utilizând primul principiu al derivatei, vom folosi limite de bază și formule trigonometrice care sunt enumerate mai jos:

python os listdir

• lim_h→0arctan x/x = 1

• arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]

Să începem demonstrația pentru derivata arctan x

avem arctan(x) = y

Aplicați definiția derivatei pe care o obținem

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1

frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}

Verificați de asemenea

• Derivată a funcțiilor trigonometrice inverse
• Formule de diferențiere
• Identități trigonometrice inverse

Exemple despre derivata lui Arctan x

Exemplul 1: Aflați derivata funcției f(x) = arctan(3x).

Soluţie:

Vom folosi regula lanțului, care spune că dacă g(x) este diferențiabilă la x și f(x) = arctan (g(x)), atunci derivata f'(x) este dată de:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

În acest caz, g(x) = 3x, deci g'(X) = 3. Aplicând formula regulii lanțului:

f'(x) = 3/(1+(3x)²)

f'(x) = 3/(1+9x²)

Exemplul 2: Aflați derivata funcției h(x) = tan ^-1 (x/2)

Soluţie:

Vom folosi regula lanțului, conform căreia f(x) = tan^-1(g(x)), atunci derivata f'(x) este dată de:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

În acest caz, g(x) = x/2, deci g'(X) = 1/2. Aplicarea formulei regulii lanțului:

f'(x) = (1/2)/(1+(x/2)²)

f'(x) = (1/2)/(1+x²/4)

matrice java

Simplificând obținem,

f'(x) = 2/(4+x²)

Exemplul 3: Aflați derivata lui f(x) = arctan (2x ² )

Soluţie:

Vom folosi regula lanțului, care spune că dacă g(x) este diferențiabilă la x și f(x) = arctan (g(x)), atunci derivata f'(x) este dată de:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

În acest caz, g(x) = 2x², deci g'(X) = 4x.

Aplicarea formulei regulii lanțului:

conectează java cu mysql

f'(x) = 4x/(1+(2x²)²)

f'(x) = 4x/(1+4x⁴)

f'(x) = d/dx(arctan (2x²)) = 4x/(1+4x⁴)

Întrebări practice despre derivata de Arctan x

Q.1: Aflați derivata funcției f(x) = x ² arcan (2x)

Q.2: Aflați derivata funcției k(x) = arctan (X ³ +2x)

Q.3: Aflați derivata funcției p(x) = x arctan(x ² +1)

Q.4: Aflați derivata funcției f(x) = arctan (x)/1+x

Q.5: Aflați derivata funcției r(x) = arctan (4x)

Citeşte mai mult,

• Derivată în matematică
• Derivată a inversului tan x
• Arctan

Derivată a lui Arctan x – Întrebări frecvente

Ce este derivata în matematică?

În matematică, derivatele măsoară modul în care o funcție se schimbă pe măsură ce intrarea sa (variabila independentă) se modifică.

Ce este derivatul bronzului ^-1 (X)?

Derivat al bronzului^-1(x) în raport cu x este 1/1+x²

Ce este inversul tan x?

Arctan este inversul funcției tan și este una dintre funcțiile trigonometrice inverse. Este cunoscută și ca funcția arctan.

Ce este Chain Rule în Arctan (X)?

Regula lanțului este o regulă de diferențiere. Pentru arctan (u), regula lanțului spune că dacă f(x) = arctan(u), atunci f'(x) = (1/1+u²)× du/dx. Aplicând acest lucru la arctan(x), unde u=x, dă 1/1+x²

Ce este derivata lui f(x) = x tan ^-1 (X)?

Derivată a lui f(x) = xtan^-1(x) poate fi găsit folosind regula produsului. Rezultatul este asa de ^-1 (x) + {x/(1 + x ² )} .

Ce este anti-derivatul Arctan x?

Antiderivată arctan x este dată de ∫tan^-1x dx = x tan^-1x – ½ ln |1+x²| + C.

Ce este derivatul?

Derivată de funcție este definită ca rata de schimbare a funcției în raport cu o variabilă independentă.