Legea lui De Morgan este cea mai comună lege în teoria mulțimilor și algebra booleană, precum și în teoria mulțimilor. În acest articol, vom afla despre legea lui De Morgan, legea lui De Morgan în teoria mulțimilor și legea lui De Morgan în algebra booleană, împreună cu dovezile, tabelele de adevăr și diagramele porților logice. Articolul include, de asemenea, exemplul rezolvat de legea lui De Morgan și întrebări frecvente despre legea lui De Morgan. Să învățăm despre legea lui De Morgan.

Cuprins

• Care este legea lui De Morgan
• Legea lui De Morgan în teoria multimilor
• Prima lege a lui De Morgan
• A doua lege a lui De Morgan
• Dovada folosind algebra multimilor
• Legea lui De Morgan în algebra booleană
• Din formula legii lui Morgan
• Exemple rezolvate pe legea lui De Morgan
• Aplicații logice ale legii lui De Morgan

Care este legea lui De Morgan

Legea lui De Morgan este legea care dă relația dintre unire, intersecție și complemente în teoria mulțimilor. În algebra booleană, oferă relația dintre ȘI, SAU și complementele variabilei, iar în logică, oferă relația dintre ȘI, SAU sau Negația declarației. Cu ajutorul Legii lui De Morgan, putem optimiza diverse circuite booleene care implică porți logice care ne ajută să realizăm aceeași operație, dar cu foarte puține aparate.

Legea lui De Morgan în teoria multimilor

Legea lui De Morgan în teoria multimilor definește relația dintre unirea, intersecția și complementele mulțimilor și este dat atât pentru complement de unire, cât și pentru intersecția a două mulțimi. În teoria mulțimilor, există două legi lui De Morgan care sunt:

• Prima lege a lui De Morgan
• A doua lege a lui De Morgan

Să înțelegem aceste legi în detaliu, după cum urmează:

Prima lege a lui De Morgan

În primul rând, legea lui De Morgan prevede că Complementul unirii a două mulțimi este egal cu intersecția complementelor fiecărei mulțimi.

Fie A și B două mulțimi, apoi matematic Legea lui First De Morgan este dată ca:

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

Unde

• ÎN reprezintă operațiunea Uniunii între seturi,
• ∩ reprezintă operația de intersecție între mulțimi și
• ' reprezintă operația complementului pe o mulțime.

Se mai numeste Legea Unirii a lui De Morgan.

Detaliați dovezile legii lui De Morgan

Dovada folosind algebra multimilor

Trebuie să demonstrăm, (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

Fie X = (A ∪ B)’ și Y = A’ ∩ B’

Fie p orice element al lui X, atunci p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)’

⇒ p ∉ (A ∪ B)

⇒ p ∉ A sau p ∉ B

⇒ p ∈ A’ și p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∩ B’

⇒ p ∈ Y

∴X ⊂ Y. . . (yo)

Din nou, fie q orice element al lui Y, atunci q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∩ B’

⇒ q ∈ A’ și q ∈ B’

⇒ q ∉ A sau q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∪ B)

⇒ q ∈ (A ∪ B)’

⇒ q ∈ X

∴Y ⊂X. . . (ii)

Din (i) și (ii) X = Y

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

Citește și - Dovada legilor lui De-Morgan în algebra booleană

Dovada folosind diagrama Venn

Diagrama Venn pentru (A ∪ B)’

Diagrama Venn pentru A’ ∩ B’

Din ambele diagrame, putem spune clar,

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

Aceasta este prima lege a lui De Morgan.

A doua lege a lui De Morgan

A doua lege a lui De Morgan prevede că Complementul de intersecție a două mulțimi este egal cu unirea complementelor fiecărei mulțimi.

Fie A și B două mulțimi, apoi matematic Legea lui First De Morgan este dată ca:

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Unde

• ÎN reprezintă operațiunea Uniunii între seturi,
• ∩ reprezintă operația de intersecție între mulțimi și
• ' reprezintă operația complementului pe o mulțime.

Se mai numeste Legea intersecției a lui De Morgan .

Dovada folosind algebra multimilor

A doua lege a lui De Morgan: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Fie X = (A ∩ B)’ și Y = A’ ∪ B’

Fie p orice element al lui X, atunci p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)’

⇒ p ∉ (A ∩ B)

⇒ p ∉ A și p ∉ B

⇒ p ∈ A’ sau p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∪ B’

⇒ p ∈ Y

∴ X ⊂ Y ————–(i)

Din nou, fie q orice element al lui Y, atunci q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∪ B’

⇒ q ∈ A’ sau q ∈ B’

⇒ q ∉ A și q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∩ B)

np.unde

⇒ q ∈ (A ∩ B)’

⇒ q ∈ X

∴ Y ⊂ X ————–(ii)

Din (i) și (ii) X = Y

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Dovada folosind diagrama Venn

Diagrama Venn pentru (A ∩ B)’

Diagrama Venn pentru A’ ∪ B’

Din ambele diagrame, putem spune clar

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Aceasta este a doua lege a lui De Morgan.

Legea lui De Morgan în algebra booleană

Legea lui De Morgan Algebra booleană definește relația dintre OR, AND și complementele variabilelor și este dată atât pentru complementul AND, cât și OR a două valori. În algebra booleană există două legi De Morgan care sunt:

• Prima lege a lui De Morgan
• A doua lege a lui De Morgan

Să înțelegem aceste legi în detaliu, după cum urmează:

Prima lege a lui De Morgan în algebra booleană

În primul rând, legea lui De Morgan prevede că Complementul OR a două sau mai multe variabile este egal cu AND al complementului fiecărei variabile.

Fie A și B două variabile, apoi matematic Legea lui First De Morgan este dată ca:

(A + B)’ = A’ . B’

Unde

• + reprezintă operatorul SAU între variabile,
• . reprezintă operatorul AND între variabile și
• ' reprezintă operația de complement pe variabilă.

Prima lege a lui De Morgan, porțile logice

În contextul porților logice și algebrei booleene, Legea lui De Morgan afirmă că ambele circuite ale porții logice, adică poarta NOT este adăugată la ieșirea porții OR și poarta NOT este adăugată la intrarea porții AND, sunt echivalente. Aceste două circuite de porți logice sunt date după cum urmează:

Primul tabel de adevăr al legii lui De Morgan

Tabelul de adevăr pentru prima lege a lui De Morgan este dat după cum urmează:

A doua lege a lui De Morgan în algebra booleană

A doua lege a lui De Morgan prevede că Complementul AND a două sau mai multe variabile este egal cu OR al complementului fiecărei variabile.

Fie A și B două variabile, apoi matematic a doua lege a lui De Morgan este dată ca:

(A. B)’ = A’ + B’

Unde

• + reprezintă operatorul SAU între variabile,
• . reprezintă operatorul AND între variabile și
• ' reprezintă operația de complement pe variabilă.

Porțile logice ale legii a doua a lui De Morgan

În contextul porților logice și algebrei booleene, Legea lui De Morgan afirmă că ambele circuite ale porții logice, adică poarta NOT este adăugată la ieșirea porții AND și poarta NOT este adăugată la intrarea porții OR, sunt echivalente. Aceste două circuite de porți logice sunt date după cum urmează:

Al doilea tabel de adevăr al legii lui De Morgan

Tabelul de adevăr pentru a doua lege a lui De Morgan este dat după cum urmează:

Din logica legii lui Morgan

În legea lui De Morgan pentru logică, prepozițiile de mai jos sunt tautologie:

∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b

∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Unde,

• ∧ reprezintă conjuncția de afirmații,
• ∨ reprezintă disjuncția enunțurilor,
• ~ reprezintă negația enunțului și
• ≡ reprezintă echivalenţa enunţurilor.

Din formula legii lui Morgan

Să compilam toate formulele pentru Legea lui De Morgan, în lista următoare.

Pentru teoria multimilor:

• (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
• (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Pentru algebra booleană:

• (A + B)’ = A’ . B’
• (A. B)’ = A’ + B’

Pentru logica:

• ∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b
• ∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Exemple rezolvate pe legea lui De Morgan

Problema 1: Având în vedere că U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} și B = {2, 3, 9}. Demonstrați a doua lege a lui De Morgan.

Soluţie:

U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} și B = {2, 3, 9}

Pentru a demonstra: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

(A ∩ B) = {2}

(A ∩ B)’ = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}

(A ∩ B)’ = {3, 7, 8, 9}

A’ = U – A = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}

A’ = {3, 8, 9}

B’ = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}

B’ = {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}

A’ ∪ B’ = {3, 7, 8, 9}

(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Problema 2: Având în vedere că U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} și B = {4, 6, 9}. Demonstrați prima lege a lui De Morgan.

Soluţie:

U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} și B = {4, 6, 9}

Pentru a demonstra: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)’ = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)’ = {8}

A’ = U – A = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}

A’ = {4, 6, 8}

B’ = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}

B’ = {1, 8}

A’ ∩ B’ = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}

A’ ∩ B’ = {8}

(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

întreg în șir în java

Prin urmare, dovedit

Problema 3: Simplificați expresia booleană: Y = [(A + B).C]’

Soluţie:

Y = [(A + B).C]’

Aplicarea legii lui De Morgan (A. B)’ = A’ + B’

Y = (A + B)’ + C’

Aplicând legea lui De Morgan (A + B)’ = A’. B’

Y = A'. B' + C'

Problema 4: Simplificați expresia booleană: X = [(A + B)’ + C]’

Soluţie:

X = [(A + B)’ + C]’

Aplicând legea lui De Morgan (A + B)’ = A’. B’

X = [(A + B)’]’ . C’

X = (A + B). C’

Verificați aceste surse pentru mai multe:

Exemple de prezentare ale legii lui De Morgan

Din Legea lui Morgan Exemple practice

Exemplul 1: Toppinguri pentru pizza

Imaginează-ți că ești la o petrecere cu pizza și ți se spune că poți alege orice topping, cu excepția ciupercilor și măslinelor împreună.

• Folosind legea lui De Morgan : Aceasta înseamnă că dacă nu doriți atât ciuperci, cât și măsline (Nu (ciuperci și măsline)), puteți fie să nu aveți ciuperci (nu ciuperci) fie să nu aveți măsline (nu măsline) pe pizza. Așadar, ai putea mânca o pizza doar cu ciuperci, doar măsline sau niciunul!

Exemplul 2: Cărți de bibliotecă

Profesorul tău spune că nu poți aduce cărți despre vrăjitori sau dragoni în clasă.

• Folosind legea lui De Morgan : Aceasta înseamnă că dacă nu aveți voie cărți despre vrăjitori sau dragoni (Nu (Vrăjitori sau Dragoni)), nu puteți aduce cărți despre vrăjitori (Nu vrăjitori) și nu puteți aduce cărți despre dragoni (Nu Dragoni). Deci, cărțile despre spațiu sau animale sunt încă în regulă!

Exemplul 3: Joacă afară

Mama ta spune că nu te poți juca afară dacă plouă și frig în același timp.

• Folosind legea lui De Morgan : Aceasta înseamnă că dacă nu ieși pentru că plouă și frig (Nu (Plouă și Frig)), nu ai ieși dacă doar plouă (Nu plouă) sau doar frig (Nu plouă). Dar dacă este soare și cald, ești gata!

Exemplul 4: Alegerea unui film

Prietenul tău spune că nu vrea să se uite la un film care este înfricoșător sau plictisitor.

• Folosind legea lui De Morgan : Aceasta înseamnă că dacă prietenul tău nu vrea un film care este înfricoșător sau plictisitor (Nu (Scary sau Boring)), nu vrea un film înfricoșător (Not Scary) și nu vrea un film plictisitor (Not Boring) . Deci, un film amuzant sau captivant ar fi perfect!

Aplicații logice ale legii lui De Morgan

Din Legea lui Morgan – Întrebări frecvente

Prezentați prima declarație de lege a lui De Morgan în teoria mulțimilor.

Prima lege a lui De Morgan în teoria mulțimilor afirmă că complementul de unire a două mulțimi este egal cu intersecția complementelor lor individuale.

Prezentați a doua declarație de lege a lui De Morgan în algebra booleană.

A doua lege a lui De Morgan în algebra booleană afirmă că complementul AND a două sau mai multe variabile este egal cu OR al complementului fiecărei variabile.

Scrieți formula legii lui De Morgan în teoria mulțimilor.

Formula pentru legea lui De Morgan în teoria mulțimilor:

(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’

(ii) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

Scrieți formula legii lui De Morgan în algebra booleană.

Formula pentru legea lui De Morgan în algebra booleană:

(i) (A + B)’ = A’ . B’

(ii) (A. B)’ = A’ + B’

Scrieți câteva aplicații ale legii lui De Morgan.

Unele dintre aplicațiile legii lui De Morgan sunt de a minimiza expresia booleană complexă și de a o simplă.

Cum se dovedește legea lui De Morgan?

Legea lui De Morgan în teoria mulțimilor poate fi demonstrată prin diagramele Venn, iar legea lui De Morgan în algebra booleană poate fi demonstrată prin tabele de adevăr.