Algebra booleană este un tip de algebră care este creată prin operarea sistemului binar. În anul 1854, George Boole, un matematician englez, a propus această algebră. Aceasta este o variantă a logicii propoziționale a lui Aristotel care folosește simbolurile 0 și 1 sau Adevărat și Fals. Algebra booleană se ocupă de variabilele binare și operațiile logice.
Algebra booleană este fundamentală în dezvoltarea sistemelor electronice digitale, deoarece toate folosesc conceptul de Algebra Booleană pentru a executa comenzi. În afară de electronica digitală, această algebră își găsește aplicația și în teoria mulțimilor, statistică și alte ramuri ale matematicii.
În acest articol, vom afla în detaliu despre operațiile booleene de bază, expresiile booleene, tabelele de adevăr, legile booleene și altele.
Cuprins
- Operații de algebră booleană
- Tabelul Boolean Algbera
- Expresia booleană și variabile
- Terminologii de algebră booleană
- Tabelele de adevăr în algebra booleană
- Reguli algebrei booleene
- Legi pentru algebra booleană
- Teoreme de algebră booleană
- Exemple rezolvate pe algebră booleană
Operații de algebră booleană
Există diverse operații care sunt utilizate în algebra booleană, dar operațiile de bază care formează baza algebrei booleene sunt.
- Negare sau NU Operațiunea
- Conjuncție sau Operațiunea AND
- Disjuncție sau Operațiunea SAU

Expresia algebrică booleană
Verifica: Bazele algebrei booleene în electronica digitală
Aceste operații au propriile simboluri și prioritate, iar tabelul adăugat mai jos arată simbolul și precedența acestor operatori.
Operator | Simbol | Precedenta matrice dinamică în java |
---|---|---|
NU | ‘ (sau) ⇁ | Primul |
ȘI | . (sau) ∧ | Al doilea |
SAU | + (sau) ∨ | Al treilea |
Putem defini cu ușurință aceste operații folosind două variabile booleene.
Să luăm două variabile booleene A și B care pot avea oricare dintre cele două valori 0 sau 1, adică pot fi OFF sau ON. Apoi aceste operații sunt explicate ca,
Operațiunea Negație sau NU
Folosind NU Operația inversează valoarea variabilei booleene de la 0 la 1 sau invers. Acest lucru poate fi înțeles ca:
- Dacă A = 1, atunci folosind operația NOT avem (A)’ = 0
- Dacă A = 0, atunci folosind operația NOT avem (A)’ = 1
- De asemenea, reprezentăm operația de negație ca ~A, adică dacă A = 1, ~A = 0
Verifica: Proprietățile algebrei booleene
Conjuncție sau operație AND
Folosind ȘI operația îndeplinește condiția dacă ambele valori ale variabilelor individuale sunt adevărate și dacă oricare dintre valori este falsă, atunci această operație dă rezultatul negativ. Acest lucru poate fi înțeles ca,
- Dacă A = Adevărat, B = Adevărat, atunci A . B = Adevărat
- Dacă A = adevărat, B = fals, sau A = fals, B = adevărat, atunci A . B = Fals
- Dacă A = Fals, B = Fals, atunci A . B = Fals
Verifica: Teoreme algebrice booleene
Operație de disjuncție (SAU).
Folosind SAU Operația satisface condiția dacă orice valoare a variabilelor individuale este adevărată, dă un rezultat negativ doar dacă ambele valori sunt false. Acest lucru poate fi înțeles ca,
- Dacă A = adevărat, B = adevărat, atunci A + B = adevărat
- Dacă A = adevărat, B = fals, sau A = fals, B = adevărat, atunci A + B = adevărat
- Dacă A = Fals, B = Fals, atunci A + B = Fals
Tabelul algebrei booleene
Mai jos este dată expresia pentru algebra booleană
Operațiune | Simbol | Definiție |
---|---|---|
ȘI Operațiunea | ⋅ sau ∧ | Returnează adevărat numai dacă ambele intrări sunt adevărate. |
SAU Operațiunea | + sau ∨ | Returnează adevărat dacă cel puțin o intrare este adevărată. |
NU Operațiunea | ¬ sau ∼ | Inversează intrarea. |
Operațiunea XOR | ⊕ | Returnează adevărat dacă exact o intrare este adevărată. |
Operațiunea NAND | ↓ | Returnează false numai dacă ambele intrări sunt adevărate. |
Operațiunea NOR | ↑ | Returnează false dacă cel puțin o intrare este adevărată. |
Operațiunea XNOR | ↔ | Returnează adevărat dacă ambele intrări sunt egale. |
Expresia booleană și variabile
Expresia booleană este o expresie care produce o valoare booleană atunci când este evaluată, adică produce fie o valoare adevărată, fie o valoare falsă. În timp ce variabilele booleene sunt variabile care stochează numere booleene.
P + Q = R este o frază booleană în care P, Q și R sunt variabile booleene care pot stoca doar două valori: 0 și 1. 0 și 1 sunt sinonimele pentru fals și True și sunt folosite în algebra booleană, uneori folosim și Da în loc de Adevărat și Nu în loc de Fals.
fizzbuzz java
Astfel, putem spune că instrucțiunile care folosesc variabile booleene și care operează pe operații booleene sunt expresii booleene. Câteva exemple de expresii booleene sunt:
- A + B = Adevărat
- A.B = Adevărat
- (A)’ = Fals
Verifica: Axiomele algebrei booleene
Terminologii de algebră booleană
Există diverse terminologii legate de algebra booleană, care sunt folosite pentru a explica diferiți parametri ai Algebra Booleană . Care include,
- Algebra Booleană
- Variabile booleene
- Funcția booleană
- Literal
- Completa
- Tabelul Adevărului
Acum, vom discuta terminologiile importante ale algebrei booleene în articolul de mai jos,
Algebra Booleană
Ramura algebrei care se ocupă de operații binare sau operații logice se numește Algebră Booleană. A fost introdus de George Boole la mijlocul secolului al XIX-lea. Este folosit pentru a analiza și manipula funcții logice în variabile binare. Este utilizat pe scară largă în diverse domenii, cum ar fi proiectarea logică digitală, informatică și telecomunicații.
Variabile booleene
Variabilele utilizate în algebra booleană care stochează valoarea logică a 0 și 1 se numesc variabile booleene. Ele sunt folosite pentru a stoca fie valori adevărate, fie false. Variabilele booleene sunt fundamentale în reprezentarea stărilor logice sau a propozițiilor în expresii și funcții booleene.
Funcția booleană
O funcție a algebrei booleene care este formată prin utilizarea variabilelor booleene și a operatorilor booleeni se numește funcție booleană. Este format prin combinarea variabilelor booleene și a expresiilor logice precum AND, OR și NOT. Este folosit pentru a modela relații logice, condiții sau operații.
Literal
O variabilă sau complementul variabilei în algebra booleană se numește Literal. Literalele sunt blocurile de bază ale expresiilor și funcțiilor booleene. Ei reprezintă operanzii în operații logice.
Completa
Inversul variabilei booleene se numește complement al variabilei. Complementul lui 0 este 1 iar complementul lui 1 este 0. Este reprezentat prin ‘ sau (¬) peste variabilă. Complementele sunt folosite pentru a reprezenta negații logice în expresii și funcții booleene.
Tabelul Adevărului
Tabelul care conține toate valorile posibile ale variabilelor logice și combinația variabilei împreună cu operația dată se numește tabel de adevăr. Numărul de rânduri din tabelul de adevăr depinde de totalul variabilelor booleene utilizate în acea funcție. Este dat folosind formula,
Numărul de rânduri din tabelul de adevăr = 2 n
unde n este numărul de variabile booleene utilizate.
Verifica:
- Teoria seturilor
- Statistici
Tabelele de adevăr în algebra booleană
Un tabel de adevăr reprezintă toate combinațiile de valori de intrare și ieșiri într-o manieră tabelară. Toate posibilitățile de intrare și de ieșire sunt afișate în el și de aici numele tabelului de adevăr. În problemele de logică, tabelele de adevăr sunt utilizate în mod obișnuit pentru a reprezenta diferite cazuri. T sau 1 denotă „adevărat” și F sau 0 denotă „fals” în tabelul de adevăr.
Exemplu: Desenați tabelul de adevăr al condițiilor A + B și A.B unde A și b sunt variabile booleene.
Soluţie:
Tabelul de adevăr necesar este,
A | B | X = A + B | Y = A.B |
---|---|---|---|
T | T | T | T |
T | F | T | F |
F | T | T | F |
F | F | F | F |
Reguli algebrei booleene
În algebra booleană există diferite reguli fundamentale pentru exprimarea logică.
- Reprezentare binară: În algebra booleană variabilele pot avea doar două valori, fie 0, fie 1, unde 0 reprezintă scăzut și 1 reprezintă mare. Aceste variabile reprezintă stări logice ale sistemului.
- Reprezentarea complementului: Complementul variabilelor este reprezentat prin (¬) sau (‘) peste variabilă. Aceasta indică negația logică sau inversarea valorii variabilei. Deci Complementul variabilei A poate fi reprezentat prin
overline{A} ,dacă valoarea lui A=0 atunci complementul său este 1. - SAU Operațiunea: Operația SAU este reprezentată prin (+) între Variabile. Operația OR returnează adevărat dacă cel puțin unul dintre operanzi este adevărat. Pentru Exemple, să luăm trei variabile A,B,C operația SAU poate fi reprezentată ca A+B+C.
- ȘI operațiunea: Operația AND este notată cu (.) între variabile. Operația AND returnează adevărat numai dacă toți operanzii sunt adevărati. Pentru Exemple, să luăm trei variabile A,B,C operația AND poate fi reprezentată A.B.C sau ABC.
Legi pentru algebra booleană
Legile de bază ale algebrei booleene sunt adăugate în tabelul adăugat mai jos,
Lege | forma SAU | ȘI formă |
---|---|---|
Legea identității | P + 0 = P | P.1 = P |
Legea idempotent | P + P = P | P.P = P |
Legea comutativă | P + Q = Q + P | P.Q = Q.P |
Drept asociativ | P + (Q + R) = (P + Q) + R | P.(Q.R) = (P.Q).R |
Legea distributivă | P + QR = (P + Q).(P + R) | P.(Q + R) = P.Q + P.R |
Legea inversiunii | (A’)’ = A | (A’)’ = A |
Din Legea lui Morgan | (P + Q)’ = (P)’.(Q)’ | (P.Q)’ = (P)’ + (Q)’ |
Să învățăm despre aceste legi în detaliu.
Legea identității
În algebra booleană, avem elemente de identitate atât pentru operațiile AND(.) cât și OR(+). Legea identității stabilește că în algebra booleană avem astfel de variabile încât la operarea cu AND și SAU obținem același rezultat, i.e.
- A + 0 = A
- A.1 = A
Legea comutativă
Variabilele binare din algebra booleană urmează legea comutativă. Această lege afirmă că operarea variabilelor booleene A și B este similară cu variabilele booleene operaționale B și A. Adică,
- A. B = B. A
- A + B = B + A
Drept asociativ
Legea asociativă afirmă că ordinea de realizare a operatorului boolean este ilogic, deoarece rezultatul lor este întotdeauna același. Acest lucru poate fi înțeles ca,
- (A.B). C = A. (B.C)
- ( A + B ) + C = A + ( B + C)
Legea distributivă
Variabilele booleene urmează, de asemenea, legea distributivă și expresia pentru legea distributivă este dată ca:
- A . ( B + C) = (A . B) + (A . C)
Legea inversiunii
Legea inversării este legea unică a algebrei booleene. Această lege prevede că complementul oricărui număr este numărul însuși.
- (A’)’ = A
În afară de aceste alte legi, sunt menționate mai jos:
SI Legea
Legea AND a algebrei booleene folosește operatorul AND și legea AND este,
- A . 0 = 0
- A . 1 = A
- A . A = A
SAU Legea
Legea OR a algebrei booleene folosește operatorul OR și legea OR este,
- A + 0 = A
- A + 1 = 1
- A + A = A
Legile lui De Morgan sunt de asemenea numite Din teorema lui Morgan . Sunt cele mai importante legi în Algebra Booleană iar acestea sunt adăugate mai jos sub titlul Teorema algebrei booleene
Teoreme de algebră booleană
Există două teoreme de bază de mare importanță în algebra booleană, care sunt primele legi ale lui De Morgan și cele doua legi ale lui De Morgan. Acestea sunt numite și teoremele lui De Morgan. Acum să învățăm despre ambele în detaliu.
Primele legi ale lui De Morgan
Tabelul de adevăr pentru același lucru este prezentat mai jos:
P | Q | (P)’ | (Q)’ | (P.Q)’ | (P)’ + (Q)’ |
---|---|---|---|---|---|
T | T | F | F | F | F |
T | F | F | T | T | T |
F | T | T | F | T | T |
F | F | T | T | T | T |
Putem vedea clar că valorile de adevăr pentru (P.Q)’ sunt egale cu valorile de adevăr pentru (P)’ + (Q)’, corespunzătoare aceleiași date de intrare. Astfel, prima lege a lui De Morgan este adevărată.
Din cele doua legi ale lui Morgan
Afirmație: Complementul sumei (OR) a două variabile (sau expresii) booleene este egal cu produsul (ȘI) al complementului fiecărei variabile (sau expresii) booleene.
(P + Q)’ = (P)’.(Q)’
Dovada:
Tabelul de adevăr pentru același lucru este prezentat mai jos:
P | Q | (P)’ | (Q)’ | (P + Q)” | (P)’.(Q)’ |
---|---|---|---|---|---|
T | T | F | F | F | F |
T | F | F | T | F | F |
F | T | T | F | F | F |
F | F | T | T | T | T |
Putem vedea clar că valorile de adevăr pentru (P + Q)’ sunt egale cu valorile de adevăr pentru (P)’.(Q)’, corespunzătoare aceleiași date de intrare. Astfel, a doua lege a lui De Morgan este adevărată.
adnotări de boot de primăvară
Citeşte mai mult,
Exemple rezolvate pe algebră booleană
Desenați tabelul de adevăr pentru P + P.Q = P
Soluţie:
Tabelul de adevăr pentru P + P.Q = P
P Q P.Q P + P.Q T T T T T F F T F T F F F F F F În tabelul de adevăr, putem vedea că valorile de adevăr pentru P + P.Q sunt exact aceleași cu P.
Desenați tabelul de adevăr pentru P.Q + P + Q
Soluţie:
Tabelul de adevăr pentru P.Q + P + Q
P Q P.Q P.Q + P + Q T T T T T F F T F T F T F F F F
Rezolva
Soluţie:
Folosind legea lui De Morgan
overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C) Utilizarea dreptului distributiv
java parseint
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C Deci, expresia simplificată pentru ecuația dată
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C
Concluzie
Algebra booleană servește ca un cadru de bază pentru reprezentarea și manipularea expresiilor logice folosind variabile binare și operatori logici. Joacă un rol crucial în diverse domenii, cum ar fi proiectarea logicii digitale, programarea computerelor și analiza circuitelor. Oferind o modalitate sistematică de a descrie și analiza relațiile logice, Algebra Booleană permite dezvoltarea unor sisteme și algoritmi complexi. Principiile și operațiunile sale, inclusiv AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR și XNOR, formează blocurile de construcție pentru proiectarea circuitelor logice, scrierea unui cod eficient și rezolvarea problemelor logice.
Algebra Booleană - Întrebări frecvente
Ce este algebra booleană?
Algebra booleană numită și Algebră logică este o ramură a matematicii care se ocupă de variabile booleene, cum ar fi 0 și 1.
Ce sunt principalii operatori booleeni?
Există trei operatori booleeni principali care sunt:
- AND (Conjuncție)
- SAU (disjuncție)
- NU (negație)
Cum să minimizezi funcția booleană?
Există mai multe metode pentru minimizarea funcțiilor booleene, inclusiv:
- Simplificare algebrică:
- Hărți Karnaugh (K-Maps):
- Algoritmul Quine-McCluskey:
- Metoda de tabelare:
- Condiții care nu-ți pasă:
Care sunt aplicațiile algebrei booleene?
Algebra Booleană are aplicatii diverse. Este folosit pentru a simplifica circuitele logice care sunt coloana vertebrală a tehnologiei moderne.
Ce reprezintă 0 în algebra booleană?
0 in Algebra Booleană reprezintă o condiție falsă sau reprezintă condiția de oprire.
Ce reprezintă 1 în algebra booleană?
Cel de 1 in Algebra Booleană reprezintă o condiție adevărată sau reprezintă condiția Pornire.
Care sunt legile algebrei booleene?
Legile algebrei booleene sunt reguli pentru manipularea expresiilor logice cu variabile binare, asigurarea coerenței și simplificării operațiunilor precum adunarea, înmulțirea și completarea, cruciale în domenii precum electronica digitală și informatica.
Care sunt cele 5 legi ale algebrei booleene?
algebră booleană este guvernată de cinci legi primare, care servesc drept bază pentru manipularea expresiilor logice:
1. Legea identității pentru AND
2. Legea identității pentru sala de operare
3. Complement Legea pentru AND
4. Complement Legea pentru OR
5. Legea idempotente
Care sunt cele 3 legi din logica booleană?
Cele trei legi fundamentale din logica booleană sunt
- Legea identității (adăugarea zero sau înmulțirea cu unu păstrează variabila neschimbată)
- Legea dominației (adăugarea unei variabile la complementul său rezultă în 1 și înmulțirea acesteia cu complementul său rezultă în 0)
- Legea comutativă (ordinea variabilelor poate fi schimbată prin adunare sau înmulțire fără a modifica rezultatul).
Care este teorema lui De Morgan?
Teorema lui De Morgan afirmă că t complementul unei operații logice AND este echivalent cu operația SAU a complementelor termenilor individuali, si invers. Este un principiu fundamental în algebra booleană utilizat pentru simplificarea expresiilor logice și optimizarea circuitelor logice.