Odată ce aveți formula pătratică și elementele de bază ale ecuațiilor pătratice, este timpul pentru următorul nivel al relației voastre cu parabole: aflați despre acestea. formă de vârf .

Citiți mai departe pentru a afla mai multe despre forma de vârf a parabolei și cum să convertiți o ecuație pătratică din forma standard în forma de vârf.

credit imagine caracteristică: SBA73 /Flickr

De ce este utilă forma Vertex? O imagine de ansamblu

The formă de vârf a unei ecuații este o modalitate alternativă de a scrie ecuația unei parabole.

În mod normal, veți vedea o ecuație pătratică scrisă ca $ax^2+bx+c$, care, atunci când este reprezentată grafic, va fi o parabolă. Din această formă, este destul de ușor să găsiți rădăcinile ecuației (unde parabola lovește axa $x$) setând ecuația egală cu zero (sau folosind formula pătratică).

Dacă trebuie să găsiți vârful unei parabole, totuși, forma pătratică standard este mult mai puțin utilă. În schimb, veți dori să vă convertiți ecuația pătratică în formă de vârf.

Ce este forma de vârf?

În timp ce forma pătratică standard este $ax^2+bx+c=y$, forma de vârf a unei ecuații pătratice este $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

În ambele forme, $y$ este coordonata $y$, $x$ este coordonata $x$ și $a$ este constanta care vă spune dacă parabola este orientată în sus ($+a$) sau în jos ($-a$). (Mă gândesc la asta ca și cum parabola ar fi un castron de sos de mere; dacă există un $+a$, pot adăuga sos de mere în bol; dacă există un $-a$, pot scutura sosul de mere din castron.)

Diferența dintre forma standard a unei parabole și forma de vârf este că forma de vârf a ecuației vă oferă și vârful parabolei: $(h,k)$.

De exemplu, aruncați o privire la această parabolă fină, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Pe baza graficului, vârful parabolei pare a fi ceva de genul (-1,5,-2), dar este greu de spus exact unde este vârful doar din grafic. Din fericire, pe baza ecuației $y=3(x+4/3)^2-2$, știm că vârful acestei parabole este $(-4/3,-2)$.

De ce vârful este $(-4/3,-2)$ și nu $(4/3,-2)$ (altul decât graficul, ceea ce face clar atât coordonatele $x$- și $y$- vârfurile sunt negative)?

Tine minte: în ecuația formei de vârf, se scade $h$ și se adaugă $k$ . Dacă aveți un $h$ negativ sau un $k$ negativ, va trebui să vă asigurați că scadeți $h$ negativ și adăugați $k$ negativ.

În acest caz, aceasta înseamnă:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

și deci vârful este $(-4/3,-2)$.

Ar trebui să verificați întotdeauna semnele pozitive și negative atunci când scrieți o parabolă sub formă de vârf , mai ales dacă vârful nu are valori pozitive $x$ și $y$ (sau pentru dvs. capete de cadran, dacă nu se află în cadranul I ). Aceasta este similară cu verificarea pe care ați face-o dacă ați rezolva formula pătratică ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) și ar trebui să vă asigurați că v-ați păstrat pozitiv și negative direct pentru $a$s, $b$s și $c$s.

Mai jos este un tabel cu exemple suplimentare de alte câteva ecuații de formă de noduri de parabolă, împreună cu vârfurile lor. Observați în special diferența în partea $(x-h)^2$ a ecuației formei vârfului parabolei atunci când coordonatele $x$ a vârfului este negativă.

Cum să convertiți de la forma cuadratică standard la forma de vârf

De cele mai multe ori, când vi se cere să convertiți ecuații patratice între diferite forme, veți trece de la forma standard ($ax^2+bx+c$) la forma de vârf ($a(x-h)^2+k$ ).

Procesul de conversie a ecuației dvs. din formă pătratică standard în formă de vârf implică efectuarea unui set de pași numiti completarea pătratului. (Pentru mai multe despre completarea pătratului, asigurați-vă că citiți acest articol.)

Să parcurgem un exemplu de conversie a unei ecuații din formă standard în formă de vârf. Vom începe cu ecuația $y=7x^2+42x-3/14$.

Primul lucru pe care veți dori să-l faceți este să mutați constanta sau termenul fără $x$ sau $x^2$ lângă el. În acest caz, constanta noastră este $-3/14$. (Știm că este negativ $3/14$ deoarece ecuația pătratică standard este $ax^2+bx+c$, nu $ax^2+bx-c$.)

Mai întâi, vom lua acel $-3/14$ și îl vom muta în partea stângă a ecuației:

$y+3/14=7x^2+42x$

Următorul pas este să factorizezi 7 (valoarea $a$ din ecuație) din partea dreaptă, astfel:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Grozav! Această ecuație arată mult mai mult ca forma de vârf, $y=a(x-h)^2+k$.

În acest moment, s-ar putea să vă gândiți: „Tot ce trebuie să fac acum este să mut 3/14$ înapoi în partea dreaptă a ecuației, nu?” Din păcate, nu atât de repede.

Dacă aruncați o privire la o parte a ecuației din paranteze, veți observa o problemă: nu este sub forma $(x-h)^2$. Sunt prea multe $x$s! Deci nu am terminat încă.

Ceea ce trebuie să facem acum este partea cea mai grea - să completăm pătratul.

Să aruncăm o privire mai atentă la partea $x^2+6x$ a ecuației. Pentru a factoriza $(x^2+6x)$ în ceva asemănător cu $(x-h)^2$, va trebui să adăugăm o constantă în interiorul parantezelor - și va trebui să ne amintim pentru a adăuga acea constantă și pe cealaltă parte a ecuației (deoarece ecuația trebuie să rămână echilibrată).

Pentru a configura acest lucru (și ne asigurăm că nu uităm să adăugăm constanta de cealaltă parte a ecuației), vom crea un spațiu gol în care constanta va merge de fiecare parte a ecuației:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Rețineți că în partea stângă a ecuației, ne-am asigurat că includem valoarea noastră $a$, 7, în fața spațiului în care va merge constanta noastră; acest lucru se datorează faptului că nu doar adăugăm constanta în partea dreaptă a ecuației, ci înmulțim constanta cu orice se află în exteriorul parantezelor. (Dacă valoarea dvs. $a$ este 1, nu trebuie să vă faceți griji pentru acest lucru.)

Următorul pas este completarea pătratului. În acest caz, pătratul pe care îl completați este ecuația din interiorul parantezelor - prin adăugarea unei constante, o transformați într-o ecuație care poate fi scrisă ca un pătrat.

Pentru a calcula acea nouă constantă, luați valoarea de lângă $x$ (6, în acest caz), împărțiți-o la 2 și pătrați-o.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Constanta este 9.

Motivul pentru care înjumătățim 6 și pătratul este că știm că într-o ecuație sub forma $(x+p)(x+p)$ (care este ceea ce încercăm să ajungem), $px+px= 6x$, deci $p=6/2$; pentru a obține constanta $p^2$, trebuie să luăm $6/2$ ($p$-ul nostru) și să-l pătram.

Acum, înlocuiți spațiul gol de ambele părți ale ecuației noastre cu constanta 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Apoi, factorizați ecuația în interiorul parantezei. Deoarece am completat pătratul, îl veți putea factoriza ca $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Ultimul pas: mutați valoarea non-$y$ din partea stângă a ecuației înapoi în partea dreaptă:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Felicitări! Ați convertit cu succes ecuația dvs. din formă pătratică standard în formă de vârf.

Acum, majoritatea problemelor nu vă vor cere doar să vă convertiți ecuațiile din forma standard în formă de vârf; vor dori ca tu să dai de fapt coordonatele vârfului parabolei.

Pentru a evita să fim păcăliți de schimbările de semn, să scriem ecuația generală a formei de vârf direct deasupra ecuației de formă a vârfurilor pe care tocmai am calculat-o:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Și apoi putem găsi cu ușurință $h$ și $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Vârful acestei parabole este la coordonate $(-3,-{885/14})$.

Uau, au fost multe numere amestecate în jur! Din fericire, conversia ecuațiilor în cealaltă direcție (din vârf în formă standard) este mult mai simplă.

Cum să convertiți de la forma de vârf la forma standard

Convertirea ecuațiilor din forma lor de vârf în forma pătratică obișnuită este un proces mult mai simplu: tot ce trebuie să faceți este să înmulțiți forma de vârf.

Să luăm exemplul nostru de ecuație de mai devreme, $y=3(x+4/3)^2-2$. Pentru a transforma aceasta într-o formă standard, extindem doar partea dreaptă a ecuației:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Ați convertit cu succes $y=3(x+4/3)^2-2$ în forma sa $ax^2+bx+c$.

Exercițiu pentru forma de vârf de parabolă: Exemple de întrebări

Pentru a încheia această explorare a formei vârfurilor, avem patru exemple de probleme și explicații. Vedeți dacă puteți rezolva singur problemele înainte de a citi explicațiile!

#1: Care este forma de vârf a ecuației pătratice $x^2+ 2.6x+1.2$?

#2: Convertiți ecuația $7y=91x^2-112$ în formă de vârf. Ce este vârful?

#3: Având în vedere ecuația $y=2(x-3/2)^2-9$, care sunt coordonatele $x$ ale unde această ecuație se intersectează cu axa $x$?

#4: Aflați vârful parabolei $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Practica formei parabolelor pentru vârfuri: soluții

#1: Care este forma de vârf a ecuației pătratice ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$?

Începeți prin a separa variabila non-$x$ pe cealaltă parte a ecuației:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Deoarece $a$-ul nostru (ca și în $ax^2+bx+c$) din ecuația originală este egal cu 1, nu trebuie să-l factorizem din partea dreaptă aici (deși dacă doriți, puteți scrie $y-1.2=1(x^2+2.6x)$).

Apoi, împărțiți coeficientul $x$ (2.6) la 2 și pătrați-l, apoi adăugați numărul rezultat la ambele părți ale ecuației:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Factorizați partea dreaptă a ecuației în interiorul parantezei:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

În cele din urmă, combinați constantele din partea stângă a ecuației, apoi mutați-le în partea dreaptă.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Răspunsul nostru este $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Convertiți ecuația $7i y=91i x^2-112$ în formă de vârf. Ce este vârful?

Când convertiți o ecuație în formă de vârf, doriți ca $y$ să aibă un coeficient de 1, așa că primul lucru pe care îl vom face este să împărțim ambele părți ale acestei ecuații la 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Apoi, aduceți constanta în partea stângă a ecuației:

$y+16=13x^2$

Factorizați coeficientul numărului $x^2$ ($a$) din partea dreaptă a ecuației

$y+16=13(x^2)$

Acum, în mod normal, ar trebui să completați pătratul din partea dreaptă a ecuației în interiorul parantezei. Cu toate acestea, $x^2$ este deja un pătrat, așa că nu trebuie să faceți nimic în afară de a muta constanta din partea stângă a ecuației înapoi în partea dreaptă:

$y=13(x^2)-16$.

Acum pentru a găsi vârful:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, deci $h=0$

$+k=-16$, deci $k=-16$

Vârful parabolei este la $(0, -16)$.

#3: Având în vedere ecuația $i y=2(i x-3/2)^2-9$, care este(sunt) coordonatele $i x$ în care această ecuație se intersectează cu $i x$-axa?

Deoarece întrebarea vă cere să găsiți intersecția (interceptele) $x$ a ecuației, primul pas este să setați $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Acum, există câteva moduri de a merge de aici. Modalitatea furtunoasă este să folosim faptul că există deja un pătrat scris în ecuația formei de vârf în avantajul nostru.

Mai întâi, vom muta constanta în partea stângă a ecuației:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

În continuare, vom împărți ambele părți ale ecuației la 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Acum, partea ascunsă. Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±