Dimensiunea Vapnik-Chervonenkis (VC) este o măsură a capacității unui set de ipoteze de a se potrivi diferitelor seturi de date. A fost introdus de Vladimir Vapnik și Alexey Chervonenkis în anii 1970 și a devenit un concept fundamental în teoria învățării statistice. Dimensiunea VC este o măsură a complexității unui model, care ne poate ajuta să înțelegem cât de bine se poate potrivi cu diferite seturi de date.
ce este stupul
Dimensiunea VC a unei mulțimi de ipoteze H este cel mai mare număr de puncte care pot fi spulberate de H. O mulțime de ipoteze H sparge o mulțime de puncte S dacă, pentru fiecare etichetare posibilă a punctelor din S, există o ipoteză în H care clasifică corect punctele. Cu alte cuvinte, un set de ipoteze sparge un set de puncte dacă se poate potrivi cu orice posibilă etichetare a acelor puncte.
Limitele VC – Dimensiunea
Dimensiunea VC oferă atât limite superioare, cât și inferioare ale numărului de exemple de antrenament necesare pentru a atinge un anumit nivel de precizie. Limita superioară a numărului de exemple de antrenament este logaritmică în dimensiunea VC, în timp ce limita inferioară este liniară.
Aplicații ale VC – Dimensiune
Dimensiunea VC are o gamă largă de aplicații în învățare automată si statistici. De exemplu, este folosit pentru a analiza complexitatea rețelelor neuronale, a mașinilor vectoriale de suport și a arborilor de decizie. Dimensiunea VC poate fi folosită și pentru a proiecta noi algoritmi de învățare care sunt robusti la zgomot și se pot generaliza bine la date nevăzute.
Dimensiunea VC poate fi extinsă la scenarii de învățare mai complexe, cum ar fi clasificarea multiclasă și regresia. Conceptul de dimensiune VC poate fi aplicat și în alte domenii ale informaticii, cum ar fi geometria computațională și teoria grafurilor.
Implementarea codului pentru VC – Dimensiune
Dimensiunea VC este un concept teoretic care nu poate fi calculat direct din date. Cu toate acestea, putem estima dimensiunea VC pentru un anumit set de ipoteze numărând numărul de puncte care pot fi sparte de mulțime. În Python, putem implementa o funcție care calculează dimensiunea VC a unui anumit set de ipoteze folosind această abordare.
Funcția ia ca intrare un set de ipoteze și calculează dimensiunea VC utilizând abordarea brută de verificare a tuturor combinațiilor posibile de puncte și etichete. Utilizează modulul itertools pentru a genera toate combinațiile posibile de puncte și etichete și apoi verifică dacă setul de ipoteze poate distruge fiecare combinație. Funcția returnează dimensiunea VC estimată a setului de ipoteze.
Să ilustrăm utilizarea acestei funcții cu câteva exemple:
Exemplul 1:
Să presupunem că avem o mulțime de ipoteze care constă din toate funcțiile liniare de forma f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale. Putem defini această ipoteză setată în Python după cum urmează:
Piton
import> itertools> > > def> vc_dimension(hypothesis_set):> >'''> >Estimates the VC dimension of a hypothesis set using the brute-force approach.> >'''> >n>=> 4> >while> True>:> >points>=> [(i, j)>for> i>in> range>(n)>for> j>in> range>(>2>)]> >shattered_sets>=> 0> >for> combination>in> itertools.combinations(points, n):> >is_shattered>=> True> >for> labeling>in> itertools.product([>0>,>1>], repeat>=>n):> >hypotheses>=> [hypothesis_set(point)>for> point>in> combination]> >if> set>(hypotheses) !>=> set>(labeling):> >is_shattered>=> False> >break> >if> is_shattered:> >shattered_sets>+>=> 1> >else>:> >break> >if> not> is_shattered:> >break> >n>+>=> 1> >return> n>->1> if> shattered_sets>=>=> 2>*>*>n>else> n>->2> > > # Example 1: linear function hypothesis set> def> linear_function(point):> >x, y>=> point> >return> int>(y>>>> > > print>(vc_dimension(linear_function))> |
>
>
Ieșire:
2>
În exemplul 1, funcția linear_function implementează un set de ipoteze de funcție liniară simplă care returnează 1 dacă coordonata y a punctului de intrare este mai mare sau egală cu coordonata x și 0 în caz contrar. Funcția vc_dimension este apoi utilizată pentru a estima dimensiunea VC a acestui set de ipoteze, care este 2.
Exemplul 2:
Să presupunem că avem o mulțime de ipoteze care constă din toate funcțiile pătratice de forma f(x) = ax2+ bx + c, unde a, b și c sunt numere reale. Putem defini asta ipoteză setați în Python după cum urmează:
Piton
matrice adăugând elemente java
import> itertools> > > def> vc_dimension(hypothesis_set):> >'''> >Estimates the VC dimension of a hypothesis set using the brute-force approach.> >'''> >n>=> 5> >while> True>:> >points>=> [(i, j)>for> i>in> range>(n)>for> j>in> range>(>2>)]> >shattered_sets>=> 0> >for> combination>in> itertools.combinations(points, n):> >is_shattered>=> True> >for> labeling>in> itertools.product([>0>,>1>], repeat>=>n):> >hypotheses>=> [hypothesis_set(point)>for> point>in> combination]> >if> set>(hypotheses) !>=> set>(labeling):> >is_shattered>=> False> >break> >if> is_shattered:> >shattered_sets>+>=> 1> >else>:> >break> >if> not> is_shattered:> >break> >n>+>=> 1> >return> n>->1> if> shattered_sets>=>=> 2>*>*>n>else> n>->2> > > # Example 2: quadratic function hypothesis set> def> quadratic_function(point):> >x, y>=> point> >return> int>(y>>>>*>*>2>)> > > print>(vc_dimension(quadratic_function))> |
>
>
Ieșire:
3>
În exemplul 2, funcția quadratic_function implementează un set de ipoteze de funcție pătratică mai complex, care returnează 1 dacă coordonata y a punctului de intrare este mai mare sau egală cu pătratul coordonatei x și 0 în caz contrar. Funcția vc_dimension este apoi utilizată pentru a estima dimensiunea VC a acestui set de ipoteze, care este 3.
Concluzie
Dimensiunea VC este un concept fundamental în teoria învățării statistice care măsoară complexitatea unui set de ipoteze. Oferă atât limite superioare, cât și inferioare ale numărului de exemple de antrenament necesare pentru a atinge un anumit nivel de precizie. În Python, putem estima dimensiunea VC a unui set de ipoteze dat utilizând o abordare brută care verifică toate combinațiile posibile de puncte și etichete. Dimensiunea VC are o gamă largă de aplicații în învățarea automată și statistică și poate fi extinsă la scenarii de învățare mai complexe.