Substituția trigonometrică este una dintre metodele de substituție de integrare în care o funcție sau expresie din integrala dată este înlocuită cu funcții trigonometrice precum sin, cos, tan etc. Integrarea prin substituție este cea mai ușoară metodă de substituție.

Se folosește atunci când facem o substituție a unei funcții, a cărei derivată este deja inclusă în funcția integrală dată. Prin aceasta, funcția devine simplificată și se obține funcția de integrale simple pe care o putem integra cu ușurință. Este cunoscută și sub denumirea de substituție u sau regula lanțului invers. Sau cu alte cuvinte, folosind această metodă, putem evalua cu ușurință integralele și antiderivatele.

Înlocuirea trigonometrică

Ce este substituția trigonometrică?

Substituția trigonometrică este un proces în care are loc înlocuirea unei funcții trigonometrice într-o altă expresie. Este folosit pentru evaluarea integralelor sau este o metodă de găsire a antiderivate ale funcțiilor care conțin rădăcini pătrate de expresii pătratice sau puteri raționale de formafrac{p}{2} (unde p este un număr întreg) de expresii pătratice. Exemple de astfel de expresii sunt

({x^2+4})^frac{3}{2} sausqrt{25-x^2} sau etc.

Metoda substituției trigonometrice poate fi apelată atunci când alte metode de integrare mai comune și mai ușor de utilizat au eșuat. Substituția trigonometrică presupune că sunteți familiarizat cu identitățile trigonometrice standard, utilizarea notației diferențiale, integrarea folosind substituția u și integrarea funcțiilor trigonometrice.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Aici, vom discuta câteva formule importante în funcție de funcția pe care trebuie să o integrăm, înlocuim una dintre următoarele expresii trigonometrice pentru a simplifica integrarea:

∫cosx dx = sinx + C

strsep

∫sinx dx = −cosx + C

∫sec²x dx = tanx + C

∫cosec²x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|secx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Citiți în detaliu: Calcul în matematică

Când să folosiți substituția trigonometrică?

Folosim substituția trigonometrică în următoarele cazuri,

Cum se aplică metoda de substituție trigonometrică?

Putem aplica metoda de substituție trigonometrică așa cum se discută mai jos,

Integral cu a²- X²

Să luăm în considerare un exemplu de Integrală care implică a²- X².

Exemplu: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Să punem, x = a sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Astfel, eu =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ I =int 1. d heta

⇒ I = θ + c

Ca, x = a sinθ

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integrală cu x ² + a ²

Să luăm în considerare un exemplu de integrală care implică x²+ a².

Exemplu: Găsiți integrala old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Soluţie:

Să punem x = a tanθ

⇒ dx = a sec2θ dθ, obținem

Astfel, eu =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ I =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ I =frac{1}{a} heta + c

Ca, x = a tanθ

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral cu a ² + x ² .

Să luăm în considerare un exemplu de Integrală care implică a²+ x².

Exemplu: Găsiți integrala lui old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Soluţie:

Să punem, x = a tanθ

⇒ dx = a sec²θ dθ

descărca video youtube vlc

Astfel, eu =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ I =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integrală cu x ² - A ² .

Să luăm în considerare un exemplu de integrală care implică x²- A².

Exemplu: Găsiți integrala lui old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Să punem, x = a secθ

⇒ dx = a secθ tanθ dθ

Astfel, eu =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ I =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ I = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Citeşte mai mult,

• Formule de integrare
• Integrare prin substituire
• Integrare prin părți

Exemple de probleme privind substituția trigonometrică

Problema 1: Aflați integrala lui old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Soluţie:

Luând 5 comune la numitor,

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Conform teoremei 1, a =frac{3}{5}

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Problema 2: Aflați integrala lui old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Soluţie:

Luând √2 comun la numitor,

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Conform teoremei 1, a = 2

lista java a

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Problema 3: Aflați integrala lui old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Soluţie:

Prin rearanjare, obținem

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Aici luând, a = 3 și x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Înlocuind aceste valori,

eu =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

cartela SIM introdusă, dar fără service Android

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Hai sa luam,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Înlocuind aceste valori, obținem

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

Ca, u = cos θ și x = 3 sinθ

⇒ cos θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ în =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ în =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Prin urmare, I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Problema 4: Aflați integrala lui old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Soluţie:

Luând 9 comune la numitor,

eu =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

Conform teoremei 2, a =frac{2}{3}

⇒ I =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ I =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Problema 5: Aflați integrala lui old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Soluţie:

Luând 4 comune la numitor,

eu =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ I =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Conform teoremei 3, a =frac{5}{4}

⇒ I =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ I =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Problema 6: Aflați integrala lui old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Soluţie:

Luând 2 comune la numitor,

eu =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

eu =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Conform teoremei 4, a =frac{3}{2}

eu =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

eu =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

eu =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

eu =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

eu =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Problema 7: Aflați integrala lui old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Soluţie:

făcând executabil un script shell

După rearanjare, obținem

eu =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

eu =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

eu =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

eu =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Conform teoremei 2, avem

x = x-frac{1}{2} și a =frac{sqrt{3}}{2}

eu =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

eu =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Înlocuirea trigonometrică – Întrebări frecvente

Ce este substituția trigonometrică?

Substituția trigonometrică este tehnica de integrare folosită pentru a rezolva integralele care implică expresii cu radicali și rădăcini pătrate, cum ar fi √(x²+ a²), √(a²+ x²), și √(x²- A²).

Când ar trebui să folosesc substituția trigonometrică?

Substituția trigonometrică este utilă atunci când aveți o integrală care implică o expresie radicală, mai ales când expresia radicală conține un termen pătratic.

Care sunt cele trei substituții trigonometrice utilizate în mod obișnuit în integrale?

Cele trei substituții trigonometrice utilizate în mod obișnuit sunt:

• Înlocuiți x = un sin θ când expresia radicală conține un termen de forma a²- X².
• Înlocuiți x = un tan θ când expresia radicală conține un termen de forma x²- A².
• Înlocuiți x = a sec θ când expresia radicală conține un termen de forma x²+ a².

Cum alege cineva ce substituție trigonometrică să folosească?

Ar trebui să alegeți substituția trigonometrică pe baza formei expresiei radicalului. Dacă expresia radicală conține un termen de forma a^2 – x^2, folosiți x = a sin θ. Dacă expresia radicală conține un termen de forma x^2 – a^2, folosiți x = a tan θ. Dacă expresia radicală conține un termen de forma x^2 + a^2, folosiți x = a sec θ.