logo

TechCodeview

Regulă trapezoidală

Regula trapezoidală este una dintre regulile fundamentale ale integrării care este folosită pentru a defini definiția de bază a integrării. Este o regulă folosită pe scară largă și regula trapezoidală este numită astfel deoarece dă aria de sub curbă împărțind curba în trapeze mici în loc de dreptunghiuri.

În general, găsim aria de sub curbă împărțind aria în dreptunghiuri mai mici și apoi găsim suma tuturor dreptunghiurilor, dar în regula trapezoidală aria de sub curbă este împărțită în trapeze, iar apoi se calculează suma acestora. Regula trapezoidală este utilizată pentru a găsi valoarea integralelor definite în analiza numerică. Această regulă se mai numește și regula trapezului sau regula trapezului. Să aflăm mai multe despre regula trapezoidală, formula și demonstrația sa, exemplu și altele în detaliu în acest articol.

Ce este regula trapezoidală?

Regula trapezoidală este o regulă care este folosită pentru a afla valoarea integralei definite a formeib∫Af(x) dx. Știm că valoarea integralei definiteb∫Af(x) dx este aria cuprinsă sub curba y = f(x) și axa x în intervalul a și b pe axa x. Calculăm această zonă împărțind întreaga suprafață în mai multe dreptunghiuri mici și apoi găsim suma lor.



În regula trapezoidală, așa cum sugerează și numele, aria de sub curbă este împărțită în mai multe trapeze și apoi se găsește suma lor pentru a obține aria curbei. Regula trapezoidală nu oferă cea mai bună aproximare a ariei de sub curbă decât regula lui Simpson, dar totuși, rezultatul său este suficient de precis și această regulă este o regulă utilizată pe scară largă în calcul.

Formula regulii trapezoidale

Formula regulii trapezoidale este formula care este utilizată pentru a găsi aria de sub curbă. Acum pentru a găsi aria de sub curbă folosind regula trapezoidală,

Fie y = f(x) o curbă continuă definită pe intervalul închis [a, b]. Acum împărțim intervalul închis [a, b] în n subintervale egale, fiecare având lățimea de,

Δx = (b – a)/n

Astfel încât,

a = x0 1 2<⋯ < xn= b

Acum, folosind formula regulii trapezoidale, putem găsi aria de sub curbă ca,

∫bAf(x) dx = Aria de sub curbă = (Δx/2) [y0+ 2 (și1+ și2+ și3+ ….. + șin-1) + yn]

unde, y0, și1, și2,…. șinsunt valorile funcției la x = 1, 2, 3, ….., respectiv n.

Derivarea formulei regulii trapezoidale

Formula Regulii Trapezoidale pentru calcularea ariei de sub curbă este derivată prin împărțirea ariei de sub curbă în mai multe trapeze și apoi găsirea sumei acestora.

Afirmație:

Fie f(x) o funcție continuă definită pe intervalul (a, b). Acum împărțim intervalele (a, b) în n sub-intervale egale unde lățimea fiecărui interval este,

Δx = (b – a)/n

astfel încât a = x0 1 2 3<…..< xn= b

Atunci formula Regulii Trapezoidale este:

∫bAf(x) dx ≈ △x/2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) +….2f(xn-1) + f(xn)]

unde, xi= a + i△x

Dacă n → ∞, R.H.S al expresiei dă integrala definită int_{a}^{b}f(x) dx

Dovada:

Această formulă este dovedită prin împărțirea ariei de sub curba dată, așa cum se arată în figura de mai sus, în diferite trapeze. Primul trapez are o înălțime Δx și lungimea bazelor paralele este f(x0) și f(x1)

Aria primului trapez = (1/2) Δx [f(x0) + f(x1)]

În mod similar, aria trapezelor rămase este (1/2)Δx [f(x1) + f(x2)], (1/2)Δx [f(x2) + f(x3)], și așa mai departe.

Acum putem spune că,

∫bAf(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x0)+f(x1) ) + (1/2)Δx (f(x1)+f(x2) ) + (1/2)Δx (f(x2)+f(x3) ) + … + (1/2)Δx (f(xn-1) + f(xn) )

După simplificare, obținem,

∫bAf(x) dx≈ (Δx/2) (f(x0)+2 f(x1)+2 f(x2)+2 f(x3)+ … +2f(xn-1) + f(xn))

Astfel, se dovedește regula trapezoidală.

Cum se aplică regula trapezoidală?

Regula trapezoidală găsește aria de sub curbă împărțind aria de sub curbă în diferite trapeze și apoi găsește suma tuturor trapezelor. Regula trapezoidală nu este aproximarea perfectă a valorii integralei definite, deoarece folosește aproximarea pătratică.

python __nume__

Trebuie să găsim valoarea integralei definite, ∫bAf(x) dx. Valoarea integralei definite poate fi calculată folosind regula trapezoidală urmând pașii de mai jos,

Pasul 1: Marcați valoarea sub-intervalelor, n și intervalelor a și b.

Pasul 2: Găsiți lățimea sub-intervalului (△x) folosind formula △x = (b – a)/n

Pasul 3: Puneți toate valorile în formula regulii trapezoidale și găsiți aria aproximativă a curbei date care reprezintă integrala definită ∫bAf(x) dx

∫ b A f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x 0 )+2 f(x 1 )+2 f(x 2 )+2 f(x 3 )+ … +2f(x n-1 ) + f(x n ))

Unde, X i = a + i△x

Notarea de sumare a regulii trapezoidale

Știm că aria unui trapez este practic media lungimilor laturilor paralele înmulțită cu înălțimea. Deci, în acest caz, luați în considerare un trapez pentru ithinterval,

A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x

Deoarece aria totală este suma tuturor suprafețelor,

A = A1+ A2+ ….+ An

⇒ A = sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}

⇒ A = sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x

Aceasta se numește notația sigma sau notația de însumare a sumelor trapezoide.

Sume Riemann

Riemann rezumă munca la ideea de a scufunda zona de sub curbă în diferite părți dreptunghiulare. Pe măsură ce numărul de dreptunghiuri crește, zona devine din ce în ce mai aproape de zona curentă. În figura de mai jos, există o funcție f(x). Aria de sub această funcție este împărțită în mai multe dreptunghiuri. Aria totală de sub curbă este suma ariilor tuturor dreptunghiurilor.

generează un număr aleator în java
Sume Riemann (dreapta)

Observați că în figura de mai sus, capătul drept al dreptunghiurilor atinge curba. Aceasta se numește sume Riemann drepte.

Într-un alt caz, când capătul din stânga al dreptunghiurilor atinge curba așa cum se arată în imaginea de mai jos, acestea se numesc sume Riemann din stânga.

Sume Riemann (stânga)

Să presupunem că Δx este lățimea intervalului lățimea n este numărul de intervale așa cum sa menționat mai sus. Atunci aria curbei reprezentată de sumă este dată de,

old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}

Sumele punctului de mijloc

În sumele Riemann, fie capătul din stânga, fie capătul drept al dreptunghiului atinge curba. În acest caz, punctul de mijloc al dreptunghiului atinge curba. Toate celelalte sunt la fel ca sumele Riemann. Figura de mai jos arată funcția f(x) și diferite dreptunghiuri în sumele punctului din mijloc.

Sumele punctului de mijloc

Să spunem Aidenotă aria lui ithdreptunghi. Aria acestui dreptunghi în acest caz va fi,

A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x

Acum, aria totală din notația de însumare va fi dată de,

old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}

Citeşte mai mult,

Exemplu rezolvat pe regula trapezoidală

Exemplul 1: Găsiți aria cuprinsă de funcția f(x) între x = 0 și x = 4 cu 4 intervale.

f(x) = 4

Soluţie:

Aici a = 0, b = 4 și n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Regula trapezoidală pentru n = 4 este,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Înlocuind valorile din această ecuație,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16

Exemplul 2: Găsiți aria cuprinsă de funcția f(x) între x = 0 și x = 3 cu 3 intervale.

f(x) = x

Soluţie:

Aici a = 0, b = 3 și n = 3.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Regula trapezoidală pentru n = 3 este,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))

seria Fibonacci în java

Înlocuind valorile din această ecuație,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Săgeată la dreapta T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6

Exemplul 3: Găsiți aria cuprinsă de funcția f(x) între x = 0 și x = 2 cu 2 intervale.

f(x) = 2x

Soluţie:

Aici a = 0, b = 2 și n = 2.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Regula trapezoidală pentru n = 2 este,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))

Înlocuind valorile din această ecuație,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4

Exemplul 4: Găsiți aria cuprinsă de funcția f(x) între x = 0 și x = 3 cu 3 intervale.

f(x) = x 2

Soluţie:

Aici a = 0, b = 3 și n = 3.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Regula trapezoidală pentru n = 3 este,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))

Înlocuind valorile din această ecuație,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14

Exemplul 5: Găsiți aria cuprinsă de funcția f(x) între x = 0 și x = 4 cu 4 intervale.

f(x) = x 3 + 1

Soluţie:

Aici a = 0, b = 4 și n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Regula trapezoidală pentru n = 4 este,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Înlocuind valorile din această ecuație,

matrice de programare java

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Rightarrow T_n= 72

Exemplul 6: Găsiți aria cuprinsă de funcția f(x) între x = 0 și x = 4 cu 4 intervale.

f(x) = e X

Soluţie:

Aici a = 0, b = 4 și n = 4.

Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1

x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i

Regula trapezoidală pentru n = 4 este,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))

Înlocuind valorile din această ecuație,

T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}

Aplicații ale regulii trapezului

Integrare numerică:

Aplicația primară a regulii trapezoidale este în aproximarea integralelor definite. Este folosit atunci când integrarea unei funcții este dificilă și o abordare numerică este mai fezabilă. Regula trapezoidală face adesea parte din tehnicile mai avansate de integrare numerică.

Fizica si Inginerie:

În fizică și inginerie, regula trapezoidală poate fi aplicată pentru a calcula mărimi precum deplasarea, viteza și accelerația. De exemplu, atunci când datele experimentale sunt colectate la intervale de timp discrete, regula trapezoidală poate fi utilizată pentru a estima aria sub curbă, oferind o aproximare a integralei.

Economie și finanțe:

Regula trapezoidală poate fi aplicată în modelarea financiară pentru a estima valoarea actuală a fluxurilor de numerar viitoare. Acest lucru este util în special în analiza fluxului de numerar actualizat (DCF), unde scopul este de a calcula valoarea actuală netă a unei investiții.

Statistici:

În statistică, regula trapezoidală poate fi utilizată pentru a estima aria sub funcții de densitate de probabilitate sau funcții de distribuție cumulativă. Acest lucru este util în special în cazurile în care forma exactă a distribuției este necunoscută sau complexă.

Întrebări frecvente despre regula trapezoidală

Î1: Ce este regula trapezoidală?

Răspuns:

Regula trapezoidală este regula care este folosită pentru a găsi integrala definită, împarte aria de sub curbă în mai multe trapeze și apoi se află aria lor individuală și apoi se calculează suma pentru a obține valoarea integralei definite.

Î2: Care este Formula Regulii Trapezoidale?

Răspuns:

Formula regulii trapezoidale este:

∫ b A f(x) dx = (Δx/2) (f(x 0 )+2 f(x 1 )+2 f(x 2 )+2 f(x 3 )+ … +2f(x n-1 ) + f(x n ))

Î3: De ce se numește Formula Trapezoidal Rule?

Răspuns:

Formula trapezoidală se numește regula trapezoidală deoarece împarte aria de sub curbă în mai multe trapeze și apoi aria lor este calculată prin aflarea sumei trapezelor.

Î4: Care este diferența dintre regula trapezoidală și regula sumelor Riemann?

Răspuns:

Diferența majoră dintre regula trapezoidală și regula sumelor Riemann este, deoarece regula trapezoidală împarte aria de sub curbă ca trapeze și apoi găsește aria luând suma lor, în timp ce, sumele Riemann împarte aria de sub curbă ca trapez și apoi găsește zona luând suma lor.