Triunghiuri similare sunt triunghiuri cu aceeași formă, dar pot avea dimensiuni variabile. Triunghiuri similare au laturi corespunzătoare proporțional între ele și unghiuri corespunzătoare egale între ele. Triunghiuri similare sunt diferite de triunghiurile congruente. Două figuri congruente sunt întotdeauna similare, dar două figuri similare nu trebuie să fie congruente.

Două triunghiuri sunt considerate similare atunci când unghiurile lor corespunzătoare se potrivesc și laturile lor sunt proporționale. Aceasta înseamnă că triunghiuri similare au aceeași formă, deși dimensiunile lor pot diferi. Pe de altă parte, triunghiurile sunt definite ca fiind congruente atunci când nu numai că au aceeași formă, dar au și laturi corespunzătoare care sunt identice ca lungime.

Acum, să aflăm mai multe despre triunghiuri similare și proprietățile lor cu exemple rezolvate și altele în detaliu în acest articol.

Cuprins

• Ce sunt triunghiurile similare?
• Definiție triunghiuri similare
• Exemple de triunghiuri similare
• Teorema de bază a proporționalității (teorema Thales)
• Triunghiuri similare criterii
• Formula triunghiurilor similare
• Formula pentru triunghiuri similare în geometrie
• Reguli similare ale triunghiului
• Unghi-Unghi (AA) sau Teorema de similitudine AAA
• Side-Angle-Side sau Teorema de similitudine SAS
• Teorema de similaritate Side-Side-Side sau SSS
• Cum să găsești triunghiuri similare?
• Aria triunghiurilor asemănătoare – Teoremă
• Diferența dintre triunghiuri similare și triunghiuri congruente
• Aplicații ale triunghiurilor similare
• Note importante despre triunghiuri similare
• Întrebări rezolvate pe triunghiuri similare
• Întrebări practice Triunghiuri similare

Ce sunt similare Triunghiuri?

Triunghiuri similare sunt triunghiuri care arată similar între ele, dar dimensiunile lor pot fi diferite. Obiectele similare au aceeași formă, dar dimensiuni diferite. Acest lucru implică forme similare, atunci când sunt mărite sau demagrite, ar trebui să se suprapună una peste alta. Această proprietate a formelor similare este cunoscută ca Similitudine .

Există trei teoreme triunghiulare similare:

• AA (sau AAA) sau Teorema de similitudine unghi-unghi
• SAS sau Teorema de similitudine latură-unghi-parte
• SSS sau Teorema de similitudine Side-Side-Side

Definiție triunghiuri similare

Două triunghiuri se numesc triunghiuri similare dacă unghiurile lor corespunzătoare sunt egale și laturile corespunzătoare sunt în aceeași proporție. Unghiurile corespunzătoare a două triunghiuri similare trebuie să fie egale. Triunghiuri similare pot avea lungimi diferite ale laturilor triunghiului, dar raportul dintre lungimile laturilor corespunzătoare trebuie să fie același.

Când două triunghiuri sunt similare, înseamnă că:

matrice care returnează în java

• Toate perechile de unghiuri corespunzătoare din triunghiuri sunt egale.
• Toate perechile de laturi corespunzătoare ale triunghiului sunt proporționale.

Simbolul ∼ este folosit pentru a reprezenta asemănarea dintre triunghiuri similare. Deci, când două triunghiuri sunt similare, scriem ca △ABC ∼ △DEF.

Exemple de triunghiuri similare

Diverse exemple de triunghiuri similare sunt:

• Dacă luăm două triunghiuri care au laturile în raport, atunci acestea sunt triunghiuri similare.
• Steagurile și umbrele lor reprezintă triunghiuri similare.

Triunghiurile prezentate în imaginea de mai jos sunt similare și le reprezentăm ca, △ABC ∼ △PQR.

Teorema de bază a proporționalității (teorema Thales)

Teorema de bază a proporționalității, cunoscută și sub numele de Teorema lui Thales, este un concept fundamental în geometrie care se referă la asemănarea triunghiurilor. Afirmă că, dacă o dreaptă este trasată paralelă cu o latură a unui triunghi, ea împarte proporțional celelalte două laturi. În termeni mai simpli, dacă o dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi intersectează celelalte două laturi, ea împarte acele laturi proporțional.

Matematic, dacă o dreaptă DE este trasată paralelă cu o latură a triunghiului ABC, intersectând laturile AB și AC în punctele D și, respectiv, E, atunci conform teoremei de bază a proporționalității:

BD/DA = CE/EA

Această teoremă este o consecință a asemănării triunghiurilor formate din dreapta paralelă și laturile triunghiului original. Mai exact, triunghiurile ADE și ABC, precum și triunghiurile ADC și AEB, sunt similare, deoarece unghiurile corespunzătoare sunt egale. În consecință, rapoartele laturilor corespunzătoare din triunghiuri similare sunt egale, ceea ce duce la relația de proporționalitate descrisă de teorema de bază a proporționalității.

Teorema de bază a proporționalității este utilizată pe scară largă în geometrie și trigonometrie pentru a rezolva diverse probleme care implică drepte și triunghiuri paralele. Acesta servește ca principiu de bază pentru înțelegerea proprietăților triunghiurilor similare și a relațiilor dintre laturile și unghiurile lor corespunzătoare. În plus, formează baza pentru concepte mai avansate în geometrie, cum ar fi Teorema liniilor paralele și aplicații în diferite construcții geometrice și dovezi.

Triunghiuri similare criterii

Dacă două triunghiuri sunt similare, ele trebuie să îndeplinească una dintre următoarele reguli:

• Două perechi de unghiuri corespunzătoare sunt egale. (Regula AA)
• Trei perechi de laturi corespunzătoare sunt proporționale. (Regula SSS)
• Două perechi de laturi corespunzătoare sunt proporționale și unghiurile corespunzătoare dintre ele sunt egale. (Regula SAS)

Citiți în detaliu: Criterii pentru triunghiuri similare

Formula triunghiurilor similare

În ultima secțiune, am studiat două condiții prin care putem verifica dacă triunghiurile date sunt similare sau nu. Condițiile sunt atunci când două triunghiuri sunt similare; unghiurile lor corespunzătoare sunt egale sau laturile corespunzătoare sunt proporționale. Folosind oricare dintre condiții, putem demonstra că △PQR și △XYZ sunt similare din următorul set de formule triunghiulare similare.

Formula pentru triunghiuri similare în geometrie

În △PQR și △XYZ dacă,

1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

Cele două triunghiuri de mai sus sunt similare, adică △PQR ∼ △XYZ.

Reguli similare ale triunghiului

Teoremele de similaritate ne ajută să aflăm dacă cele două triunghiuri sunt similare sau nu. Când nu avem măsura unghiurilor sau laturile triunghiurilor, folosim teoremele de asemănare.

Există trei tipuri majore de reguli de similitudine, după cum sunt prezentate mai jos:

• AA (sau AAA) sau Teorema de similitudine unghi-unghi
• SAS sau Teorema de similitudine latură-unghi-parte
• SSS sau Teorema de similitudine Side-Side-Side

Unghi-Unghi (AA) sau Teorema de similitudine AAA

Criteriul de similitudine AA afirmă că dacă oricare două unghiuri dintr-un triunghi sunt egale cu oricare două unghiuri ale altui triunghi, atunci ele trebuie să fie triunghiuri similare. Regula similarității AA se aplică cu ușurință atunci când știm doar măsura unghiurilor și nu avem nicio idee despre lungimea laturilor triunghiului.

În imaginea de mai jos, dacă se știe că ∠B = ∠G și ∠C = ∠F:

Și putem spune că după criteriul de similitudine AA, △ABC și △EGF sunt similare sau △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF și ∠A = ∠E.

Side-Angle-Side sau Teorema de similitudine SAS

Conform teoremei de similaritate SAS, dacă oricare două laturi ale primului triunghi sunt exact proporționale cu cele două laturi ale celui de-al doilea triunghi, împreună cu unghiul format de aceste două laturi ale triunghiurilor individuale sunt egale, atunci trebuie să fie triunghiuri similare. Această regulă se aplică în general atunci când cunoaștem doar măsura a două laturi și, respectiv, unghiul format între acele două laturi în ambele triunghiuri.

În imaginea de mai jos, dacă se știe că AB/DE = AC/DF și ∠A = ∠D

Și putem spune că după criteriul de similitudine SAS, △ABC și △DEF sunt similare sau △ABC ∼ △DEF.

Teorema de similaritate Side-Side-Side sau SSS

Conform teoremei de similitudine SSS, două triunghiuri vor fi similare între ele dacă raportul corespunzător al tuturor laturilor celor două triunghiuri este egal. Acest criteriu este folosit în mod obișnuit atunci când avem doar măsura laturilor triunghiului și avem mai puține informații despre unghiurile triunghiului.

În imaginea de mai jos, dacă se știe că PQ/ED = PR/EF = QR/DF

Și putem spune că după criteriul de similitudine SSS, △PQR și △EDF sunt similare sau △PQR ∼ △EDF.

Proprietăți similare triunghiurilor

Triunghiuri similare au diverse proprietăți care sunt utilizate pe scară largă pentru rezolvarea diferitelor probleme geometrice. Unele dintre proprietățile comune ale triunghiului similar:

apurva padgaonkar

• Forma triunghiurilor similare este fixă, dar dimensiunile lor pot fi diferite.
• Unghiurile corespondente ale triunghiurilor similare sunt egale.
• Laturile corespunzătoare ale triunghiurilor similare sunt în rapoarte comune.
• Raportul dintre aria triunghiurilor similare este egal cu pătratul raportului laturii lor corespunzătoare.

Cum să găsești triunghiuri similare?

Două triunghiuri date pot fi dovedite ca triunghiuri similare folosind teoremele date mai sus. Putem urma pașii de mai jos pentru a verifica dacă triunghiurile date sunt similare sau nu:

Pasul 1: Notați dimensiunile date ale triunghiurilor (laturile corespunzătoare sau unghiurile corespunzătoare).

Pasul 2: Verificați dacă aceste dimensiuni respectă oricare dintre condițiile pentru teoremele triunghiurilor similare (AA, SSS, SAS).

Pasul 3 : Triunghiurile date, dacă îndeplinesc oricare dintre teoremele de similaritate, pot fi reprezentate folosind ∼ pentru a desemna asemănarea.

Acest lucru poate fi înțeles mai bine cu ajutorul următorului exemplu:

Exemplu: Verificați dacă △ABC și △PQR sunt triunghiuri similare sau nu utilizând datele date: ∠A = 65°, ∠B = 70° și ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Folosind măsurarea dată a unghiurilor, nu putem concluziona dacă triunghiurile date respectă sau nu criteriul de similitudine AA. Să găsim măsura celui de-al treilea unghi și să o evaluăm.

Știm, folosind proprietatea sumei unghiurilor a unui triunghi, ∠C în △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

În mod similar, ∠Q în △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Prin urmare, putem concluziona că în △ABC și △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P și ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

Aria triunghiurilor asemănătoare – Teoremă

Teorema ariei triunghiului similar afirmă că, pentru două triunghiuri similare, raportul ariei triunghiurilor este proporțional cu pătratul raportului laturilor lor corespunzătoare. Să presupunem că ni se dau două triunghiuri similare, ΔABC și ΔPQR atunci

Conform teoremei triunghiului similare:

(Aria ΔABC)/(Aria ΔPQR) = (AB/PQ) ² = (BC/QR) ² = (CA/RP) ²

Diferența dintre triunghiuri similare și triunghiuri congruente

Triunghiuri similare și triunghiuri congruente sunt două tipuri de triunghiuri care sunt utilizate pe scară largă în geometrie pentru rezolvarea diferitelor probleme. Fiecare tip de triunghi are proprietăți diferite, iar diferența de bază dintre ele este discutată în tabelul de mai jos.

Aplicații ale triunghiurilor similare

Diverse aplicații ale triunghiului similar pe care îl vedem în viața reală sunt:

• Umbra și înălțimea diferitelor obiecte sunt calculate folosind conceptul de triunghiuri similare.
• Scararea hărții folosește conceptul de triunghi similar.
• Dispozitivele fotografice utilizează proprietățile triunghiulare similare pentru a captura diferite imagini.
• Modelarea folosește conceptul de triunghiuri similare.
• Navigația și trigonometria utilizează, de asemenea, abordarea triunghiulară similară pentru a rezolva diverse probleme etc.

Note importante despre triunghiuri similare:

• Raportul ariilor triunghiurilor similare este egal cu pătratul raportului laturilor lor corespunzătoare.
• Toate triunghiurile congruente sunt similare, dar toate triunghiurile similare pot să nu fie neapărat congruente.
• Acest ' ~ Simbolul ’ este folosit pentru a desemna triunghiuri similare.

Întrebări rezolvate pe triunghiuri similare

Întrebarea 1: În figura 1 dată, DE || î.Hr. Dacă AD = 2,5 cm, DB = 3 cm și AE = 3,75 cm. Găsi AC?

Soluţie:

În △ABC, DE || B.C.

AD/DB = AE/EC (După Teorema lui Thales)

2,5/3 = 3,75/x, unde EC = x cm

(3 × 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 cm

EC = 4,5 cm

Prin urmare, AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

Întrebarea 2: În figura 1 DE || î.Hr. Dacă AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm și AC = 9 cm. Găsiți AE?

Soluţie:

Fie AE = x cm.

În △ABC, DE || B.C.

Prin teorema lui Thales avem,

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7×9)/6,8 = 2,25 cm

AE = 2,25 cm

Prin urmare, AE = 2,25 cm

Întrebarea 3: Demonstrați că o linie trasată prin mijlocul unei laturi a unui triunghi (figura 1) paralelă cu o altă latură traversează a treia latură.

Soluţie:

Având în vedere un ΔΑΒC în care D este punctul de mijloc al AB și DE || BC, întâlnirea AC la E.

A DEMONSTRA AE = EC.

Dovada: Din moment ce DE || BC, prin teorema lui Thales, avem:

conversia șir la dată

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, dat)

AE/EC = 1

AE = EC

Întrebarea 4: În figura 2 dată, AD/DB = AE/EC și ∠ADE = ∠ACB. Demonstrați că ABC este un triunghi isoscel.

Soluţie:

Avem AD/DB = AE/EC DE || BC [prin inversul teoremei lui Thales]

∠ADE = ∠ABC (∠s corespunzătoare)

Dar, ∠ADE = ∠ACB (dată).

Prin urmare, ∠ABC = ∠ACB.

Deci, AB = AC [laturile opuse unghiurilor egale].

Prin urmare, △ABC este un triunghi isoscel.

Întrebarea 5: Dacă D și E sunt puncte de pe laturile AB și, respectiv, AC ale lui △ABC (figura 2), astfel încât AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm și AE = 1,8 cm, arătați că DE | | î.Hr.

Soluţie:

Dat fiind, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm și AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 și AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

instrucțiunea java switch

AD/AB = AE/AC

Prin urmare, prin inversul teoremei Thales, DE || î.Hr.

Întrebarea 6: Demonstrați că segmentul de dreaptă care unește punctele medii ale oricăror două laturi ale unui triunghi (figura 2) este paralel cu a treia latură.

Soluţie:

În △ABC în care D și E sunt punctele medii ale AB și, respectiv, AC.

Deoarece D și E sunt punctele medii ale lui AB și, respectiv, AC, avem:

AD = DB și AE = EC.

AD/DB = AE/EC (fiecare egal cu 1)

Prin urmare, prin inversul teoremei Thales, DE || î.Hr

Linkuri importante legate de matematică:

• Ce este interesul simplu
• Formula pierderii
• Proprietatea Sumă unghiului
• Divizibilitate cu 11
• Grafic de bare
• Utilizări ale trigonometriei
• Lista numerelor naturale
• Modelul lui Pitagora
• Proiect de matematică pentru clasa a 9-a

Întrebări practice Triunghiuri similare

Î1. În două triunghi similare △ABC și △ADE, dacă DE || BC și AD = 3 cm, AB = 8 cm și AC = 6 cm. Găsiți AE.

Q2. În două triunghi similare △ABC și △PQR, dacă QR || BC și PQ = 2 cm, AB = 12 cm și AC = 9 cm. Găsiți PR.

Q3. În două triunghiuri similare ΔABC și ΔAPQ, lungimea laturilor este dată ca AP = 9 cm , PB = 12 cm și BC = 24 cm. Aflați raportul dintre ariile lui ΔABC și ΔAPQ.

Î4. În două triunghiuri similare ΔABC și ΔAPQ, lungimea laturilor este dată ca AP = 3 cm , PB = 4 cm și BC = 8 cm. Aflați raportul dintre ariile lui ΔABC și ΔAPQ.

Rezumat – Triunghiuri similare

Triunghiurile similare sunt figuri geometrice care au aceeași formă, dar diferă ca mărime, caracterizate prin unghiuri corespunzătoare egale și laturi corespunzătoare proporționale. Teoreme cheie precum unghi-unghi (AA), latură-unghi-laterală (SAS) și latură-laterală-laterală (SSS) stabilesc criterii pentru asemănarea triunghiului.

Aceste principii sunt fundamentale în domenii precum inginerie, grafică pe computer și arhitectură, datorită capacității lor de a menține integritatea formei la scalare. Teorema lui Thales, sau Teorema de bază a proporționalității, ilustrează modul în care o dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi împarte proporțional pe celelalte două, demonstrând în continuare conceptul de similitudine în triunghiuri.

Triunghiuri similare sunt cruciale pentru aplicații practice, de la calcularea înălțimilor și distanțelor în navigație până la optimizarea proiectelor în tehnologie și construcții, demonstrând relevanța lor largă atât în ​​contexte academice, cât și în lumea reală.

Triunghiuri similare – Întrebări frecvente

Ce sunt triunghiurile similare clasa 10?

Triunghiuri similare sunt triunghiurile care au dat toate unghiurile egale, iar laturile lor sunt într-un raport comun. Au o formă similară, dar nu o zonă similară.

Care sunt formulele triunghiurilor similare?

Formulele triunghiulare similare sunt formulele care ne spun dacă două triunghiuri sunt similare sau nu. Pentru două triunghiuri △ABC și △XYZ, formula triunghiurilor similare este:

• ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y și ∠C = ∠Z
• AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Ce simbol este folosit pentru a reprezenta triunghiuri similare?

Triunghiuri similare sunt reprezentate folosind simbolul „~”. Dacă două triunghiuri △ABC și △XYZ sunt similare, le reprezentăm ca, △ABC ~ △XYZ, se citește ca triunghi ABC similar cu triunghiul XYZ.

Care sunt 3 teoreme triunghiulare similare?

Putem demonstra cu ușurință că două triunghiuri sunt similare utilizând teorema a trei triunghiuri care sunt,

• AA (sau AAA) sau Teorema de similitudine unghi-unghi
• SAS sau Teorema de similitudine latură-unghi-parte
• SSS sau Teorema de similitudine Side-Side-Side

Care sunt proprietățile triunghiurilor similare?

Proprietățile importante ale triunghiului similar sunt:

• Triunghiuri similare au forme fixe, dar dimensiunile lor pot fi diferite.
• Unghiurile corespondente sunt egale într-un triunghi similar.
• Laturile corespunzătoare sunt în rapoarte comune într-un triunghi similar.

Cum să știi dacă două triunghiuri sunt similare?

Dacă toate unghiurile dintr-un triunghi sunt egale, atunci putem spune cu ușurință că triunghiurile sunt similare.

Care triunghiuri sunt întotdeauna asemănătoare?

Triunghiul care este întotdeauna asemănător este un triunghi echilateral. Deoarece toate unghiurile din triunghiurile echilaterale sunt întotdeauna de 60 de grade, oricare două triunghiuri echilaterale sunt întotdeauna similare.

Ce este Aria Triunghiurilor Similare?

Raportul ariei a două triunghiuri similare este întotdeauna egal cu raportul pătratelor laturilor lor. Pentru două triunghiuri △ABC și △XYZ, putem spune că,

• zonă △ABC / zonă △XYZ = (AB / XY)²

Ce este criteriul triunghiului similar?

Criteriile de triunghi similare sunt criteriile în care putem declara trei triunghiuri ca triunghiuri similare și aceste trei criterii sunt:

• Criterii AAA (unghi-unghi-criterii)
• Criterii SAS (criterii laterale-unghi-laterale)
• Criterii SSS (criterii laterale-laterale)

Cine este tatăl unor triunghiuri asemănătoare?

Euclid, matematicianul grec antic despre care se face referire adesea ca părintele geometriei, a oferit principii de bază pentru înțelegerea triunghiurilor similare în lucrarea sa Elemente.

Triunghiurile similare sunt proporționale?

Da, triunghiuri similare sunt proporționale. Aceasta înseamnă că laturile corespunzătoare ale triunghiurilor similare sunt proporționale, ceea ce implică faptul că raportul laturilor corespunzătoare ale triunghiurilor similare rămâne constant.

Care triunghiuri sunt întotdeauna asemănătoare?

Triunghiurile care au aceleași trei unghiuri sunt întotdeauna similare. Aceasta este o proprietate fundamentală cunoscută sub numele de criteriul de similitudine unghi-unghi (AA).

Sunt toate triunghiurile dreptunghiulare asemănătoare?

Nu, nu toate triunghiurile dreptunghiulare sunt similare. În timp ce triunghiurile dreptunghiulare cu aceleași unghiuri ascuțite sunt similare, lungimea ipotenuzei și raportul lungimii laturilor pot diferi, ceea ce duce la neasemănarea triunghiurilor dreptunghiulare.

Care este raportul dintre două triunghiuri similare?

Raportul dintre oricare două laturi corespunzătoare din triunghiuri similare rămâne constant. Aceasta înseamnă că dacă luați laturile corespunzătoare ale triunghiurilor similare și formați un raport, rezultatul va fi întotdeauna același, indiferent de lungimile laturilor specifice alese.