TechCodeview

O funcție recursivă este o funcție pentru care valoarea sa în orice punct poate fi calculată din valorile funcției din anumite puncte anterioare. De exemplu, să presupunem o funcție f(k) = f(k-2) + f(k-3) care este definită peste un întreg nenegativ. Dacă avem valoarea funcției la k = 0 și k = 2, putem găsi valoarea acesteia și la orice alt întreg nenegativ. Cu alte cuvinte, putem spune că o funcție recursivă se referă la o funcție care folosește propriile puncte anterioare pentru a determina termenii următori și formează astfel o secvență de termeni. În acest articol, vom afla despre funcțiile recursive împreună cu anumite exemple.

Ce este recursiunea?

Recursiunea se referă la un proces în care un proces recursiv se repetă. Recursivă este un fel de funcție a uneia sau mai multor variabile, de obicei specificată de un anumit proces care produce valori ale acelei funcții prin implementarea continuă a unei anumite relații cu valorile cunoscute ale funcției.

Aici, vom înțelege recursiunea cu ajutorul unui exemplu.

Să presupunem că veți urca pe o scară pentru a ajunge la primul etaj de la parter. Deci, pentru a face acest lucru, trebuie să faceți pași unul câte unul. Există doar o modalitate de a merge la a doua treaptă, adică la prima treaptă abruptă. Să presupunem că doriți să treceți la al treilea pas; mai întâi trebuie să faci al doilea pas. Aici, puteți vedea clar procesul de repetiție. Aici, puteți vedea că, cu fiecare pas următor, adăugați pasul anterior ca o secvență repetată cu aceeași diferență între fiecare pas. Acesta este conceptul real din spatele funcției recursive.

Pasul 2: Pasul 1 + pasul cel mai de jos.

Pasul 3: Pasul 2 + Pasul 1 + cel mai jos pas.

Pasul 4: Pasul 3 + pasul 2 + pasul 1 + cel mai jos pas și așa mai departe.

Un set de numere naturale este exemplul de bază al funcțiilor recursive care pornesc de la unu până la infinit, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,…….infinitiv. Prin urmare, mulțimea numerelor naturale arată o funcție recursivă deoarece puteți vedea o diferență comună între fiecare termen ca 1; se arată de fiecare dată când următorul termen s-a repetat de termenul anterior.

Ce este o funcție definită recursiv?

Funcțiile definite recursiv cuprind două părți. Prima parte tratează definiția celui mai mic argument, iar pe de altă parte, a doua parte tratează definiția a n-a termen. Cel mai mic argument este notat cu f (0) sau f (1), în timp ce al n-lea argument este notat cu f (n).

Urmați exemplul dat.

Să presupunem că o secvență este 4,6,8,10

Formula explicită pentru secvența de mai sus este f (n)= 2n + 2

Formula explicită pentru secvența de mai sus este dată de

f (0) = 2

f(n) = f (n-1) + 2

Acum, putem obține termenii secvenței aplicând formula recursivă după cum urmează f(2 ) f (1) + 2

f(2) = 6

f (0) = 2

f(1) = f(0) + 2

f (1) = 2 + 2 = 4

f(2) = f (1) + 2

f(2) = 4 + 2 = 6

f(3) = f (2) + 2

f(3 ) = 6 + 2 = 8

Cu ajutorul formulei funcției recursive de mai sus, putem determina următorul termen.

Ce face ca funcția să fie recursivă?

Pentru a face recursiv orice funcție, este nevoie de propriul termen pentru a calcula următorul termen din succesiune. De exemplu, dacă doriți să calculați al n-lea termen al secvenței date, mai întâi trebuie să cunoașteți termenul anterior și termenul anterior termenului anterior. Prin urmare, trebuie să cunoașteți termenul anterior pentru a afla dacă secvența este recursivă sau nu recursivă. Deci putem concluziona că dacă funcția are nevoie de termenul anterior pentru a determina următorul termen din succesiune, funcția este considerată o funcție recursivă.

Formula funcției recursive

În cazul în care o₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, ……..A_n,……este multe seturi sau o secvență, atunci o formulă recursivă va trebui să calculeze toți termenii care existau anterior pentru a calcula valoarea unui

traversare în ordine

A_n= a_{n-1 +}A₁

Formula de mai sus poate fi, de asemenea, definită ca formulă recurstivă a secvenței aritmetice. Puteți vedea clar în succesiunea menționată mai sus că este o secvență aritmetică, care cuprinde primul termen urmat de ceilalți termeni și o diferență comună între fiecare termen. Diferența comună se referă la un număr pe care îl adăugați sau scădeți.

O funcție recursivă poate fi definită și ca și succesiunea geometrică, în care seturile de numere sau o secvență au un factor comun sau un raport comun între ele. Formula pentru succesiunea geometrică este dată ca

A_n= a_{n-1 *}r

De obicei, funcția recursivă este definită în două părți. Primul este enunțul primului termen împreună cu formula, iar altul este enunțul primului termen împreună cu regula aferentă termenilor succesivi.

Cum se scrie o formulă recursiva pentru secvența aritmetică

Pentru a scrie formula recursiva pentru formula secvenței aritmetice, urmați pașii dați

Pasul 1:

În primul pas, trebuie să vă asigurați dacă secvența dată este aritmetică sau nu (pentru aceasta, trebuie să adăugați sau să scădeți doi termeni succesivi). Dacă obțineți aceeași ieșire, atunci secvența este luată ca o secvență aritmetică.

Pasul 2:

Acum, trebuie să găsiți diferența comună pentru secvența dată.

„abc” este în cifre”

Pasul 3:

Formulați formula recursivă folosind primul termen și apoi creați formula folosind termenul anterior și diferența comună; astfel vei obține rezultatul dat

A_n= a_{n-1 +}d

acum, înțelegem formula dată cu ajutorul unui exemplu

să presupunem că 3,5,7,9,11 este o secvență dată

În exemplul de mai sus, puteți găsi cu ușurință că este șirul aritmetic, deoarece fiecare termen din șir crește cu 2. Deci, diferența comună dintre doi termeni este 2. Cunoaștem formula secvenței recursive

A_n= a_{n-1 +}d

Dat,

d = 2

A₁= 3

asa de,

A₂= a_(2-1)+ 2 = a₁+2 = 3+2 = 5

A₃= a_(3-1)+ 2 = a₂+2 = 5+2 = 7

A₄= a_(4-1)+ 2 = a₃+2 = 7+2 = 9

A₅= a_(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11, iar procesul continuă.

Cum se scrie o formulă recursivă pentru secvența geometrică?

Pentru a scrie formula recursiv pentru formula secvență geometrică, urmați pașii dați:

Pasul 1

În primul pas, trebuie să vă asigurați dacă succesiunea dată este geometrică sau nu (pentru aceasta, trebuie să înmulțiți sau să împărțiți fiecare termen cu un număr). Dacă obțineți aceeași ieșire de la un termen la următorul termen, secvența este luată ca o secvență geometrică.

Pasul 2

Acum, trebuie să găsiți raportul comun pentru secvența dată.

Pasul 3

Formulați formula recursivă folosind primul termen și apoi creați formula folosind termenul anterior și raportul comun; astfel vei obține rezultatul dat

A_n= r_*A_n-1

Acum, înțelegem formula dată cu ajutorul unui exemplu

să presupunem 2,8,32, 128,.este o secvență dată

În exemplul de mai sus, puteți găsi cu ușurință că este șirul geometric, deoarece termenul succesiv din șir se obține prin înmulțirea cu 4 la termenul anterior. Deci, raportul comun dintre doi termeni este 4. Cunoaștem formula secvenței recursive

A_n= r_*A_n-1

A_n= 4

A_n-1= ?

Dat,

r = 4

A₁= 2

data de utilizare java

asa de,

A₂= a_(2-1)* 4 = a₁+ * 4 = 2* 4 = 8

A₃= a_(3-1)* 4 = a₂* 4 = 8 * 4 = 32

A₄= a_(4-1)* 4 = a₃* 4 = 32* 4 = 128, iar procesul continuă.

Exemplu de funcție recursivă

Exemplul 1:

Determinați formula recursivă pentru secvența 4,8,16,32,64, 128,….?

Soluţie:

Secvența dată 4,8,16,32,64,128,…..

Secvența dată este geometrică deoarece dacă înmulțim termenul precedent, obținem termenii succesivi.

Pentru a determina formula recursivă pentru secvența dată, trebuie să o scriem sub formă tabelară

Prin urmare, formula recursivă în noțiunea de funcție este dată de

f(1) = 4, f(n) . f(n-1)

În notația cu indice, formula recursivă este dată de

A₁= 4, a_n= 2. a_n-1