Inducția matematică este un concept în matematică care este folosit pentru a demonstra diverse enunțuri și teoreme matematice. Principiul inducției matematice este uneori denumit PMI. Este o tehnică care este folosită pentru a demonstra teoremele de bază în matematică care implică soluția până la n termeni naturali finiți.

Principiul inducției matematice este utilizat pe scară largă în demonstrarea diferitelor afirmații, cum ar fi suma primului n numere naturale este dat de formula n(n+1)/2. Acest lucru poate fi demonstrat cu ușurință folosind Principiul Inducției Matematice.

În acest articol, vom afla despre principiul inducției matematice, declarația sa, exemplul său și altele în detaliu.

Cuprins

• Ce este inducția matematică?
• Principiul Inducției Matematice Enunț
• Etape de inducție matematică
• Exemplu de inducție matematică

Ce este inducția matematică?

Inducția matematică este una dintre metodele fundamentale de scriere a demonstrațiilor și este folosită pentru a demonstra o afirmație dată despre orice mulțime bine organizată. În general, este folosit pentru a demonstra rezultate sau pentru a stabili afirmații care sunt formulate în termeni de n , unde n este un număr natural.

Să presupunem că P(n) este o afirmație pentru n număr natural, atunci poate fi demonstrat folosind Principiul Inducției Matematice, În primul rând vom demonstra pentru P(1), apoi fie P(k) adevărat, apoi dovedim pentru P(k+1) . Dacă P(k+1) este valabil, atunci spunem că P(n) este adevărat prin principiul inducției matematice.

Putem compara inducția matematică cu căderea pieselor de domino. Când un domino cade, acesta dă jos următorul domino succesiv. Primul domino îl dă jos pe al doilea, al doilea îl doboare pe al treilea și așa mai departe. La final, toate piesele de domino vor fi aruncate peste cap. Dar sunt câteva condiții care trebuie îndeplinite:

• Pasul de bază este că dominoul de pornire trebuie să cadă pentru a pune în acțiune procesul de lovire.
• Distanța dintre piesele de domino trebuie să fie egală pentru oricare două piese de domino adiacente. În caz contrar, un anumit domino poate cădea fără să se lase peste următorul. Apoi succesiunea reacțiilor se va opri. Menținerea distanței inter-domino egale asigură că P(k) ⇒ P(k + 1) pentru fiecare număr întreg k ≥ a. Acesta este pasul inductiv.

Principiul Inducției Matematice Enunț

Orice afirmație P(n) care este pentru n număr natural poate fi demonstrată utilizând principiul inducției matematice urmând pașii de mai jos:

Pasul 1: Verificați dacă afirmația este adevărată pentru cazuri triviale ( n = 1) adică verificați dacă P(1) este adevărat.

Pasul 2: Să presupunem că afirmația este adevărată pentru n = k pentru unele k ≥ 1, adică P(k) este adevărată.

Pasul 3: Dacă adevărul lui P(k) implică adevărul lui P(k + 1), atunci afirmația P(n) este adevărată pentru toate n ≥ 1 .

Imaginea adăugată mai jos conține toți pașii inducției matematice

Prima afirmație este faptul și dacă nu este posibil ca toate P(n) să fie adevărate la n = 1, atunci aceste afirmații sunt adevărate pentru alte valori ale lui n spun n = 2, n = 3 și altele.

Dacă afirmația este adevărată pentru P(k), atunci dacă se dovedește că P(k+1) este adevărat, atunci spunem că P(n) este adevărat pentru toate n aparținând numerelor naturale (N)

Etape de inducție matematică

Diferiți pași utilizați în inducerea matematică sunt denumiți corespunzător. Numele diferitelor etape utilizate în principiul inducției matematice sunt:

• Pasul de bază: Demonstrați că P(k) este adevărată pentru k =1
• Pasul ipotezei: Fie P(k) adevărată pentru toți k din N și k> 1
• Etapa de inducție: Demonstrați că P(k+1) este adevărat folosind proprietățile matematice de bază.

Dacă se dovedesc cei trei pași de mai sus, atunci putem spune că Prin principiul inducției matematice, P(n) este adevărat pentru toți n aparținând lui N.

Exemplu de inducție matematică

Inducția matematică este folosită pentru a demonstra diverse afirmații, putem învăța acest lucru cu ajutorul exemplului următor.

Pentru orice număr întreg pozitiv n, demonstrați că n³+ 2n este întotdeauna divizibil cu 3

Soluţie:

Fie P(n): n³+ 2n este divizibil cu 3 fie afirmația dată.

Pasul 1: Pasul de bază

Mai întâi demonstrăm că P(1) este adevărată. Fie n = 1 în n³+ 2n
= 1³+ 2(1)
= 3

Deoarece 3 este divizibil cu 3. Prin urmare, P(1) este adevărată.

Pasul 2: Pasul asumării

Să presupunem că P(k) este adevărată

Apoi, k³+ 2k este divizibil cu 3

Astfel, îl putem scrie ca k³+ 2k = 3n, (unde n este orice număr întreg pozitiv)….(i)

sintaxa git pull

Pasul 3: Etapele de inducție

Acum trebuie să demonstrăm că expresia algebrică (k + 1)³+ 2(k + 1) este divizibil cu 3

= (k + 1)³+ 2(k + 1)

= k³+ 3k²+ 5k + 3

= (k³+ 2 k) + (3k²+ 3k + 3)

din echivalentul (i)

= 3n + 3(k²+ k + 1)

= 3(n + k²+ k + 1)

Deoarece este multiplu de 3 putem spune că este divizibil cu 3.

Astfel, P(k+1) este adevărată, adică (k + 1)³+ 2(k + 1) este divizibil cu 3. Acum, după principiul inducției matematice, putem spune că, P(n): n³+ 2n este divizibil cu 3 este adevărat.

Citeşte mai mult,

• Progresia aritmetică
• Progresia geometrică

Exemple rezolvate pe inducția matematică

Exemplul 1: Pentru toate n ≥ 1, demonstrați că, 1 ² + 2 ² + 3 ² +….+n ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Soluţie:

Fie afirmația dată P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Acum, să luăm un număr întreg pozitiv, k și să presupunem că P(k) este adevărat, adică

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Vom demonstra acum că P(k + 1) este și adevărată, deci acum avem,

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Astfel P(k + 1) este adevărat, ori de câte ori P(k) este adevărat pentru toate numerele naturale. Prin urmare, prin procesul de inducție matematică, rezultatul dat este adevărat pentru toate numerele naturale.

Exemplul 2: Pentru toți n ≥ 1, demonstrați că, 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Soluţie:

Fie afirmația dată S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Acum, să luăm un număr întreg pozitiv, k și să presupunem că S(k) este adevărat, adică

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Vom demonstra acum că S(k + 1) este și adevărată, deci acum avem,

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Astfel S(k + 1) este adevărat, ori de câte ori S(k) este adevărat pentru toate numerele naturale. Și am arătat inițial că S(1) este adevărat, astfel încât S(n) este adevărat pentru toate numerele naturale.

Exemplul 3: Pentru toate n ≥ 1, demonstrați că, 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n ²

Soluţie:

Fie afirmația dată S(n),

și S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n²

Pentru n = 1, 2 × 1 – 1 = 1²Astfel S(1) este adevărată.

Acum, să luăm un număr întreg pozitiv, k și să presupunem că S(k) este adevărat, adică

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

Vom demonstra acum că S(k + 1) este și adevărată, deci acum avem,

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

L.H.S = 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+ 2k + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)²

java are următorul

⇒ L.H.S = R.H.S

Astfel S(k + 1) este adevărat, ori de câte ori S(k) este adevărat pentru toate numerele naturale. Și am arătat inițial că S(1) este adevărat, astfel încât S(n) este adevărat pentru toate numerele naturale.

Exemplul 4: Pentru toți n ≥ 1, demonstrați că, 1,2 + 2,3 + 3,4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

Soluţie:

Fie afirmația dată S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Acum, să luăm un număr întreg pozitiv, k și să presupunem că S(k) este adevărat, adică

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Vom demonstra acum că S(k + 1) este și adevărată, deci acum avem,

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Astfel S(k + 1) este adevărat, ori de câte ori S(k) este adevărat pentru toate numerele naturale. Și am arătat inițial că S(1) este adevărat, astfel încât S(n) este adevărat pentru toate numerele naturale.

Exemplul 5: Demonstrați a _n = a ₁ + (n – 1) d, este termenul general al oricărei secvențe aritmetice.

Soluţie:

Pentru n = 1, avem a_n= a₁+ (1 – 1) d = a₁, deci formula este adevărată pentru n = 1,

Să presupunem că formula a_k= a₁+ (k – 1) este adevărat pentru toate numerele naturale.

Vom demonstra acum că formula este adevărată și pentru k+1, deci acum avem,

A_{k + 1}= a₁+ [(k + 1) – 1] d = a₁+ k · d.

Am presupus că a_k= a₁+ (k – 1) d, iar prin definiția unei secvențe aritmetice a_{k+ 1}- A_k= d,

Apoi o_{k + 1}- A_k

= (a₁+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= a₁- A₁+ kd – kd + d
= d

Astfel, formula este adevărată pentru k + 1, ori de câte ori este adevărată pentru k. Și am arătat inițial că formula este adevărată pentru n = 1. Astfel, formula este adevărată pentru toate numerele naturale.

Întrebări frecvente despre inducția matematică

Ce este principiul inducției matematice?

Principiul inducției matematice este un principiu care spune că pentru orice afirmație P(n) dacă este adevărată pentru orice valoare arbitrară „a” dacă P(a) este adevărat și dacă luăm P(k) drept adevărat, atunci demonstrând P( k+1) pentru a fi adevărat, putem demonstra că P(n) este adevărat pentru toate n ≥ a, și n aparținând numerelor naturale.

Care este utilizarea inducției matematice?

Inducția matematică este principiul de bază folosit în matematică pentru a demonstra afirmațiile de bază din matematică care nu pot fi demonstrate cu ușurință prin alte mijloace.

Care este principiul inducției matematice în matrici?

Principiul inducției matematice în matrici este un principiu de bază care este folosit pentru a demonstra afirmațiile de bază în matrici care nu sunt ușor de demonstrat prin alte mijloace.

Cum se aplică principiul inducției matematice?

Principiul inducției matematice este folosit pentru a demonstra afirmațiile matematice să presupunem că trebuie să dovedim o afirmație P(n), atunci pașii aplicați sunt:

Pasul 1: Demonstrați că P(k) este adevărat pentru k =1

Pasul 2: Fie P(k) adevărată pentru toți k din N și k> 1

Pasul 3: Demonstrați că P(k+1) este adevărat folosind proprietățile matematice de bază.

Astfel, dacă P(k+1) este adevărat, atunci spunem că P(n) este adevărat.

Care sunt pașii pentru a rezolva o problemă folosind inducția matematică?

Trei pași de bază utilizați în inducerea matematică sunt

• Pasul de bază
• Pasul asumării
• Etapa de inducție