Progresia aritmetică, cunoscută și sub numele de A.P. este o succesiune în matematică în care diferența dintre cei doi termeni consecutivi este o constantă. Constanta este cunoscută ca diferența comună. Progresia aritmetică este o succesiune de numere în ordine, în care diferența dintre oricare două numere consecutive este o valoare constantă.

În acest articol, vom afla despre definiția progresiei aritmetice, formulele de progresie aritmetică, exemple înrudite și altele în detaliu.

set vs harta

Cuprins

• Ce este progresia aritmetică?
• Notații în progresia aritmetică
• Diferența comună a progresiei aritmetice
• Primul termen al progresiei aritmetice
• Al N-lea termen al progresiei aritmetice
• Suma progresiei aritmetice
• Formula de progresie aritmetică (formule AP)

Ce este progresia aritmetică?

Progresia aritmetică (AP) este o succesiune de numere în care diferența dintre două numere consecutive este o valoare constantă. Cu alte cuvinte, progresia aritmetică poate fi definită ca O succesiune matematică în care diferența dintre doi termeni succesivi este întotdeauna o constantă.

De exemplu, seria de numere: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... sunt în progresie aritmetică, care are o diferență comună (d) între doi termeni succesivi (să zicem 1 și 2) egali cu 1 (2 – 1). Se poate observa o diferență comună între doi termeni succesivi, chiar și pentru numerele impare și pentru numerele pare cu care 2 este egal. În AP, trei termeni principali sunt Diferența comună (d), al n-lea termen (a_n), și Suma primilor n termeni (S_n); toți cei trei termeni reprezintă proprietățile AP. Să aruncăm o privire la care este diferența comună în detaliu,

Întâlnim cuvinte diferite precum secvență, serie și progresie în AP; acum, să vedem ce definește fiecare cuvânt,

• Secvenţă este o listă finită sau infinită de numere care urmează un anumit model. De exemplu, 0, 1, 2, 3, 4, 5... este șirul, care este o succesiune infinită de numere întregi.

• Serie este suma elementelor cărora le corespunde șirul. De exemplu 1 + 2 + 3 + 4 + 5... este seria numerelor naturale. Fiecare număr dintr-o succesiune sau o serie se numește termen. Aici 1 este un termen, 2 este un termen, 3 este un termen etc.

• Progresie este o secvență în care termenul general poate fi exprimat folosind o formulă matematică sau Secvența, care utilizează o formulă matematică care poate fi definită ca progresie.

Notă: Există în principal trei tipuri de progresie:

1. Progresia aritmetică (AP)
2. Progresia geometrică (GP)
3. Progresie armonică (CP)

Notații în progresia aritmetică

Vom întâlni următoarele notații în progresia aritmetică:

• Primul mandat ⇢ A
• Diferența comună ⇢ d
• Al-lea termen ⇢ A _n
• Suma primilor n termeni ⇢ S _n

Forma generală a progresiei aritmetice este a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Iată câteva exemple de AP:

• 6, 13, 20, 27, 34, 41,…
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
• p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,...

Diferența comună a progresiei aritmetice

Diferența comună se notează cu d în progresia aritmetică. Este diferența dintre următorul termen și cel dinainte. Pentru progresia aritmetică, este întotdeauna constantă sau aceeași. Într-un cuvânt, dacă diferența comună este constantă într-o anumită secvență, putem spune că aceasta este A.P. Dacă șirul este un_1,A₂, A₃, A₄, și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, diferența comună în progresia aritmetică este notă cu d. Diferența dintre termenul succesiv și termenul său precedent. Este întotdeauna constantă sau aceeași pentru progresia aritmetică. Cu alte cuvinte, putem spune că, într-o secvență dată, dacă diferența comună este constantă sau aceeași, atunci putem spune că șirul dată este în Progresia aritmetică (AP).

Formula pentru a găsi diferența comună este,

d = (a _{n + 1} - A _n ) = (a _n - A _n-1 )

• Dacă diferența comună este pozitivă, atunci AP crește . De exemplu 4, 8, 12, 16... în aceste serii, AP crește

• Dacă diferența comună este negativă, atunci AP scade . De exemplu -4, -6, -8..., aici AP scade.

• Dacă diferența comună este zero, atunci AP va fi constant . De exemplu 1, 2, 3, 4, 5…, aici AP este constantă.

Secvența progresiei aritmetice va fi ca a ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ ,…

Diferența comună (d) = A ₂ - A ₁ = d

A ₃ - A ₂ = d

A ₄ - A ₃ = d și așa mai departe.

Primul termen al progresiei aritmetice

Progresia aritmetică poate fi scrisă în termeni de diferență comună (d) ca:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

Unde,

• a este primul termen al AP
• d este diferența comună a AP

Al N-lea termen al progresiei aritmetice

Al n-lea termen poate fi găsit folosind formula menționată mai jos,

T _n = a + (n − 1)d

Unde,

• a este primul termen al AP
• d este diferența comună
• n este numărul de termeni
• T_neste al n-lea termen

Al N-lea termen al progresiei aritmetice

Notă: Comportamentul secvenței aritmetice se bazează pe valoarea unei diferențe comune.

• Dacă d este pozitiv, termenii vor crește la infinit pozitiv.
• Dacă d este negativ, termenii membrilor cresc la infinit negativ

Suma progresiei aritmetice

Formula sumei progresiei aritmetice este explicat mai jos; consideră un AP format din n termeni.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

program simplu python

Suma progresiei aritmetice atunci când este dat primul și ultimul termen,

S = n/2 (primul termen al AP + ultimul termen al AP)

S = N/2[a+ a _n ]

Formula de progresie aritmetică (formule AP)

Pentru un AP cu primul termen „a” și diferența comună „d”, diferitele sale formule sunt:

• Diferența comună a AP: d = a ₂ - A ₁ = a ₃ - A ₂ = a ₄ - A ₃ = … = a _n - A _n-1

• al-lea termen al AP: A _n = a + (n – 1)d

• Suma n termeni ai AP: S _n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , unde l este ultimul termen al progresiei aritmetice.

Rezumatul progresiei aritmetice

• Progresia aritmetică (AP) este o succesiune de numere în care diferența dintre oricare două numere consecutive este o valoare constantă. De exemplu, seria de numere: 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

• Forma generală a progresiei aritmetice este a, a + d, a + 2d, a + 3d...

• Formula pentru al n-lea termen al progresiei aritmetice este A _n = a + (n – 1)d

• Suma primilor n termeni sau formula sumei aritmetice este S _n = n/2[2a + (n – 1) d] , S _n = n/2[a + a _n ]

Articol legat de progresia aritmetică:

• Formula de însumare
• Suma numerelor naturale
• Progresia aritmetică și progresia geometrică

Exemple de progresie aritmetică

Exemplul 1: Găsiți AP dacă primul termen este 15 și diferența comună este 4.

Soluţie:

După cum știm,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Aici, a = 15 și d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, … și așa mai departe.

Deci AP-ul este 15, 19, 23, 27, 31...

vlc pentru a descărca videoclipuri de pe youtube

Exemplul 2: Găsiți al 20-lea termen pentru AP dat: 3, 5, 7, 9, …

Soluţie:

Dat, 3, 5, 7, 9, 11……

Aici,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

A_n= a + (n − 1)d

A_douăzeci= 3 + (20− 1)2

A_douăzeci= 3 + 38

A_douăzeci= 41

Aici al 20-lea termen este a_douăzeci= 41

Exemplul 3: Aflați suma primilor 20 de multipli ai lui 5.

Soluţie:

Primii 20 de multipli ai lui 5 sunt 5, 10, 15, … 100.

Aici, este clar că șirul format este o secvență aritmetică în care,

a = 5, d = 5, a_n= 100, n = 20.

S_n= n/2 [2a + (n − 1) d]

S_n= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

programul java

S_n= 10 [10 + 95]

S_n= 1050

Întrebări practice despre progresia aritmetică

Î1. Suma primilor nn termeni ai unei progresii aritmetice este dată de S _n = 3n ² + 2n. Găsiți diferența comună și primul termen.

Q2. Primul termen al unei progresii aritmetice este 7, iar al 11-lea termen este 31. Aflați suma primilor 11 termeni.

Q3. Într-o progresie aritmetică, suma primilor 10 termeni este 150, iar suma următorilor 10 termeni este 550. Aflați primul termen și diferența comună.

Î4. Dacă al 4-lea termen al unei progresii aritmetice este 10 și al 9-lea termen este 25, găsiți al 15-lea termen.

Î5. O progresie aritmetică are o diferență comună de 5. Dacă al șaselea termen este 22, găsiți primul termen și suma primilor 12 termeni.

Întrebări frecvente despre progresia aritmetică

Ce este progresia aritmetică cu un exemplu?

Progresia aritmetică este o succesiune de numere în care cei doi termeni consecutivi au o diferență comună. De exemplu: 3, 6, 9, 12, 15,...

Cum găsești suma progresiei aritmetice?

Pentru a găsi suma progresiei aritmetice, se pot folosi următoarele formule pe baza informațiilor furnizate:

S = n/2 (primul termen al AP + ultimul termen al AP) = n/2[a+ a _n ]

Care este diferența dintre progresia aritmetică și seria aritmetică?

Progresia aritmetică este numărul de secvențe din orice interval care oferă o diferență comună. În timp ce, seria/siruitura aritmetică este suma tuturor termenilor prezenți în progresia aritmetică.

Care este formula pentru AP și GP?

Formula pentru AP și GP sunt:

• AP: A _n = a + (n – 1).d
• GP: A _n = a.r

Ce este utilizarea progresiei aritmetice?

Progresia aritmetică este seria care dă o diferență comună între doi termeni consecutivi. Este folosit în viața de zi cu zi pentru a generaliza un set de tipare. De exemplu, în așteptarea unui autobuz, să presupunem că autobuzele se deplasează cu o viteză constantă, cu ajutorul AP, puteți spune când va sosi autobuzul. AP poate fi, de asemenea, utilizat în realizarea de structuri asemănătoare piramidei etc.