Metoda Newton Raphson sau Metoda Newton este o tehnică puternică de rezolvare a ecuațiilor numerice. Este cel mai frecvent utilizat pentru aproximarea rădăcinilor funcțiilor cu valori reale. Metoda Newton Rapson a fost dezvoltată de Isaac Newton și Joseph Raphson, de unde și numele de Metoda Newton Rapson.
Metoda Newton Raphson implică rafinarea iterativă a unei ipoteze inițiale pentru a o converge către rădăcina dorită. Cu toate acestea, metoda nu este eficientă pentru a calcula rădăcinile polinoamelor sau ecuațiilor cu grade mai mari, dar în cazul ecuațiilor de grade mici, această metodă dă rezultate foarte rapide. În acest articol, vom afla despre Metoda Newton Raphson și pașii pentru a calcula rădăcinile folosind și această metodă.
Cuprins
- Ce este metoda Newton Raphson?
- Formula metodei Newton Raphson
- Calculul metodei Newton Raphson
- Metoda Newton Raphson Exemplu
- Probleme rezolvate ale metodei Newton Raphson
Ce este metoda Newton Raphson?
Metoda Newton-Raphson, cunoscută și sub numele de metoda lui Newton, este o metodă numerică iterativă utilizată pentru a găsi rădăcinile unei funcții cu valori reale. Această formulă este numită după Sir Isaac Newton și Joseph Raphson, deoarece aceștia au contribuit în mod independent la dezvoltarea sa. Metoda Newton Raphson sau Metoda lui Newton este un algoritm de aproximare a rădăcinilor zerourilor ale funcțiilor cu valori reale, folosind ghici pentru prima iterație (x0) și apoi aproximând următoarea iterație (x1) care este aproape de rădăcini, folosind următoarea formulă.
X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
Unde,
- X 0 este valoarea inițială a lui x,
- f(x 0 ) este valoarea ecuației la valoarea inițială și
- f'(x 0 ) este valoarea derivatei de ordinul întâi a ecuației sau funcției la valoarea inițială x0.
Notă: f'(x0) nu ar trebui să fie zero, altfel partea de fracție a formulei se va schimba la infinit, ceea ce înseamnă că f(x) nu ar trebui să fie o funcție constantă.
Formula metodei Newton Raphson
În forma generală, formula metodei Newton-Raphson este scrisă după cum urmează:
X n = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )
Unde,
- X n-1 este estimat (n-1)thrădăcina funcției,
- f(x n-1 ) este valoarea ecuației la (n-1)thrădăcină estimată și
- f'(x n-1 ) este valoarea derivatei de ordinul întâi a ecuației sau funcției la xn-1.
Calculul metodei Newton Raphson
Să presupunem că ecuația sau funcțiile ale căror rădăcini trebuie calculate ca f(x) = 0.
Pentru a demonstra validitatea metodei Newton Raphson se parcurg următorii pași:
Pasul 1: Desenați un grafic al lui f(x) pentru diferite valori ale lui x, așa cum se arată mai jos:
Pasul 2: O tangentă este trasă la f(x) la x0. Aceasta este valoarea inițială.
Pasul 3: Această tangentă va intersecta axa X într-un punct fix (x1,0) dacă prima derivată a lui f(x) nu este zero adică. f'(x 0 ) ≠ 0.
Pasul 4: Deoarece această metodă presupune iterația rădăcinilor, acest x1este considerată a fi următoarea aproximare a rădăcinii.
Pasul 5: Acum pașii de la 2 la 4 se repetă până ajungem la rădăcina reală x*.
Acum știm că ecuația pantei-intersecție a oricărei drepte este reprezentată ca y = mx + c,
Unde m este panta dreptei și c este interceptarea cu x a dreptei.
Folosind aceeași formulă, obținem
y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )
șir de lungime
Aici f(x0) reprezintă c și f'(x0) reprezintă panta tangentei m. Deoarece această ecuație este valabilă pentru fiecare valoare a lui x, trebuie să fie adevărată pentru x1. Astfel, înlocuind x cu x1, și echivalând ecuația cu zero, deoarece avem nevoie pentru a calcula rădăcinile, obținem:
0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (X 1 − x 0 )
X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )
Care este formula metodei Newton Raphson.
Astfel, metoda lui Newton Raphson a fost dovedită matematic și acceptată ca fiind valabilă.
Convergența metodei Newton Raphson
Metoda Newton-Raphson tinde să converge dacă următoarea condiție este adevărată:
|f(x).f(x)| <|f'(x)|2
Înseamnă că metoda converge atunci când modulul produsului dintre valoarea funcției la x și derivata a doua a unei funcții la x este mai mic decât pătratul modulo al primei derivate a funcției la x. Metoda Newton-Raphson are o convergență de ordinul 2, ceea ce înseamnă că are o convergență pătratică.
Notă:
Metoda lui Newton Raphson nu este valabilă dacă derivata întâi a funcției este 0, ceea ce înseamnă f'(x) = 0. Este posibilă numai atunci când funcția dată este o funcție constantă.
Articole legate de metoda Newton Raphson:
- Metoda lui Newton pentru găsirea rădăcinilor
- Diferența dintre metoda Newton Raphson și metoda Falsi regulată
- Diferența dintre metoda bisecției și metoda Newton Raphson
- Algoritmul de găsire a rădăcinii
Metoda Newton Raphson Exemplu
Să luăm în considerare următorul exemplu pentru a afla mai multe despre procesul de găsire a rădăcinii unei funcții cu valoare reală.
Exemplu: Pentru valoarea inițială x 0 = 3, aproximați rădăcina lui f(x)=x 3 +3x+1.
Soluţie:
Având în vedere, x0= 3 și f(x) = x3+3x+1
f'(x) = 3x2+3
f'(x0) = 3(9) + 3 = 30
f(x0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37
Folosind metoda Newton Raphson:
X1= x0– f(x0)/f'(x0)
= 3 – 37/30
= 1,767
Probleme rezolvate ale metodei Newton Raphson
Problema 1: Pentru valoarea inițială x 0 = 1, aproximați rădăcina lui f(x)=x 2 −5x+1.
Soluţie:
Având în vedere, x0= 1 și f(x) = x2-5x+1
f'(x) = 2x-5
f'(x0) = 2 – 5 = -3
f(x0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3
Folosind metoda Newton Raphson:
X1= x0– f(x0)/f'(x0)
⇒ x1= 1 – (-3)/-3
⇒ x1= 1 -1
⇒ x1= 0
Problema 2: Pentru valoarea inițială x 0 = 2, aproximați rădăcina lui f(x)=x 3 −6x+1.
Soluţie:
Având în vedere, x0= 2 și f(x) = x3-6x+1
f'(x) = 3x2– 6
f'(x0) = 3(4) – 6 = 6
f(x0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3
Folosind metoda Newton Raphson:
X1= x0– f(x0)/f'(x0)
⇒ x1= 2 – (-3)/6
⇒ x1= 2 + 1/2
⇒ x1= 5/2 = 2,5
Problema 3: Pentru valoarea inițială x 0 = 3, aproximați rădăcina lui f(x)=x 2 −3.
Soluţie:
șir în int java
Având în vedere, x0= 3 și f(x) = x2-3
f'(x) = 2x
f'(x0) = 6
f(x0) = f(3) = 9 – 3 = 6
Folosind metoda Newton Raphson:
X1= x0– f(x0)/f'(x0)
⇒ x1= 3 – 6/6
⇒ x1= 2
Problema 4: Aflați rădăcina ecuației f(x) = x 3 – 3 = 0, dacă valoarea inițială este 2.
Soluţie:
Având în vedere x0= 2 și f(x) = x3- 3
f'(x) = 3x2
f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12
f(x0) = 8 – 3 = 5
Folosind metoda Newton Raphson:
X1= x0– f(x0)/f'(x0)
⇒ x1= 2 – 5/12
⇒ x1= 1.583
Folosind din nou metoda Newton Raphson:
X2= 1,4544
X3= 1,4424
X4= 1,4422
Prin urmare, rădăcina ecuației este aproximativ x = 1,442.
Problema 5: Aflați rădăcina ecuației f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, dacă valoarea inițială este 3.
Soluţie:
Având în vedere x0= 3 și f(x) = x3– 5x + 3 = 0
f'(x) = 3x2- 5
f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22
f(x0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15
Folosind metoda Newton Raphson:
X1= x0– f(x0)/f'(x0)
⇒ x1= 3 – 15/22
⇒ x1= 2,3181
Folosind din nou metoda Newton Raphson:
X2= 1,9705
X3= 1,8504
X4= 1,8345
X5= 1,8342
Prin urmare, rădăcina ecuației este aproximativ x = 1,834.
Întrebări frecvente ale metodei Newton Raphson
Î1: Definiți metoda Newton Raphson.
Răspuns:
Metoda Newton Raphson este o metodă numerică de aproximare a rădăcinilor oricărei funcții cu valori reale date. În această metodă, am folosit diverse iterații pentru a aproxima rădăcinile, iar cu cât este mai mare numărul de iterații, cu atât mai puțină eroare în valoarea rădăcinii calculate.
Î2: Care este avantajul metodei Newton Raphson?
Răspuns:
Metoda Newton Raphson are un avantaj că ne permite să ghicim rădăcinile unei ecuații cu un grad mic foarte eficient și rapid.
Î3: Care este dezavantajul metodei Newton Raphson?
Răspuns:
Dezavantajul metodei Newton Raphson este că tinde să devină foarte complexă atunci când gradul polinomului devine foarte mare.
Î4: Precizați orice aplicație în viața reală a Metodei lui Newton Raphson.
Răspuns:
Metoda Newton Raphson este utilizată pentru a analiza debitul de apă din rețelele de distribuție a apei în viața reală.
Î5: Pe ce teorie se bazează metoda Newton-Raphson?
Răspuns:
Metoda Newton Raphson se bazează pe teoria calculului și tangentei la o curbă.