Să presupunem că există două afirmații compuse, X și Y, care vor fi cunoscute ca echivalență logică dacă și numai dacă tabelul de adevăr al ambelor conține aceleași valori de adevăr în coloanele lor. Cu ajutorul simbolului = sau ⇔, putem reprezenta echivalența logică. Deci X = Y sau X ⇔ Y va fi echivalența logică a acestor afirmații.
Cu ajutorul definiției echivalenței logice, am clarificat că dacă enunțurile compuse X și Y sunt echivalență logică, în acest caz, X ⇔ Y trebuie să fie Tautologie.
Legile echivalenței logice
În această lege, vom folosi simbolurile „ȘI” și „SAU” pentru a explica legea echivalenței logice. Aici, AND este indicat cu ajutorul simbolului ∧ și SAU este indicat cu ajutorul simbolului ∨. Există diverse legi ale echivalenței logice, care sunt descrise după cum urmează:
Legea idempotente:
În legea idempotente, folosim doar o singură afirmație. Conform acestei legi, dacă combinăm două afirmații identice cu simbolul ∧(și) și ∨(sau), atunci enunțul rezultat va fi afirmația în sine. Să presupunem că există o declarație compusă P. Următoarea notație este folosită pentru a indica legea idempotente:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
Tabelul de adevăr pentru această lege este descris după cum urmează:
| P | P | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele P, P ∨ P și P ∧ P.
Prin urmare, putem spune că P ∨ P = P și P ∧ P = P.
Legile comutative:
Cele două afirmații sunt folosite pentru a arăta legea comutativă. Conform acestei legi, dacă combinăm două enunțuri cu simbolul ∧(și) sau ∨(sau), atunci enunțul rezultat va fi același chiar dacă schimbăm poziția enunțurilor. Să presupunem că există două afirmații, P și Q. Propoziția acestor afirmații va fi falsă atunci când ambele afirmații P și Q sunt false. În toate celelalte cazuri, va fi adevărat. Următoarea notație este folosită pentru a indica legea comutativă:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
Tabelul de adevăr pentru aceste notații este descris după cum urmează:
| P | Q | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele P ∨ Q și Q ∨ P.
Prin urmare putem spune că P ∨ Q ? Q ∨ P.
La fel cum putem demonstra P ∧ Q ? Q ∧ P.
Drept asociativ:
Cele trei afirmații sunt folosite pentru a arăta legea asociativă. Conform acestei legi, dacă combinăm trei enunțuri cu ajutorul parantezelor prin simbolul ∧(și) sau ∨(sau), atunci enunțul rezultat va fi același chiar dacă schimbăm ordinea parantezelor. Aceasta înseamnă că această lege este independentă de grupare sau asociere. Să presupunem că există trei afirmații P, Q și R. Propoziția acestor afirmații va fi falsă atunci când P, Q și R sunt false. În toate celelalte cazuri, va fi adevărat. Următoarea notație este folosită pentru a indica legea asociativă:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Tabelul de adevăr pentru aceste notații este descris după cum urmează:
| P | Q | R | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele P ∨ (Q ∨ R) și (P ∨ Q) ∨ R.
Prin urmare, putem spune că P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
La fel cum putem demonstra P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Legea distributivă:
meniul de setări Android
Cele trei afirmații sunt folosite pentru a arăta legea distributivă. Conform acestei legi, dacă combinăm o afirmație prin simbolul ∨(SAU) cu celelalte două afirmații care sunt unite cu simbolul ∧(ȘI), atunci enunțul rezultat va fi același chiar dacă combinăm separat afirmațiile cu simbolul ∨(SAU) și combinând afirmațiile unite cu ∧(ȘI). Să presupunem că există trei afirmații P, Q și R. Următoarea notație este folosită pentru a indica legea distributivă:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Tabelul de adevăr pentru aceste notații este descris după cum urmează:
| P | Q | R | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele P ∨ (Q ∧ R) și (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Prin urmare, putem spune că P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
La fel cum putem demonstra P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Legea identității:
O singură declarație este folosită pentru a arăta legea identității. Conform acestei legi, dacă combinăm o afirmație și o valoare adevărată cu simbolul ∨(sau), atunci va genera valoarea adevărată. Dacă combinăm o declarație și o valoare False cu simbolul ∧(și), atunci va genera declarația în sine. În mod similar, vom face acest lucru cu simbolurile opuse. Aceasta înseamnă că dacă combinăm o declarație și o valoare adevărată cu simbolul ∧(și), atunci va genera declarația în sine, iar dacă combinăm o declarație și o valoare falsă cu simbolul ∨(sau), atunci va genera Valoare falsă. Să presupunem că există o declarație compusă P, o valoare adevărată T și o valoare falsă F. Următoarea notație este folosită pentru a indica legea identității:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
Tabelul de adevăr pentru aceste notații este descris după cum urmează:
| P | T | F | P ∨ T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele P ∨ T și T. Prin urmare, putem spune că P ∨ T = T. În mod similar, acest tabel conține și aceleași valori de adevăr în coloanele P ∨ F și P. Prin urmare putem spune că P ∨ F = P.
La fel cum putem demonstra P ∧ T ? P și P ∧ F ? F
Legea complementară:
În legea complementului este utilizată o declarație unică. Conform acestei legi, dacă combinăm o declarație cu enunțul complementar cu simbolul ∨(sau), atunci va genera valoarea Adevărat, iar dacă combinăm aceste afirmații cu simbolul ∧(și), atunci va genera Fals. valoare. Dacă negăm o valoare adevărată, atunci va genera o valoare falsă, iar dacă negăm o valoare falsă, atunci va genera valoarea adevărată.
Următoarea notație este folosită pentru a indica legea complementului:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
Tabelul de adevăr pentru aceste notații este descris după cum urmează:
| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele P ∨ ¬P și T. Prin urmare, putem spune că P ∨ ¬P = T. În mod similar, acest tabel conține, de asemenea, aceleași valori de adevăr în coloanele P ∧ ¬P și F. Prin urmare, putem spune că P ∧ ¬P = F.
Acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele lui ¬T și F. Prin urmare, putem spune că ¬T = F. În mod similar, acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele ¬F și T. Prin urmare, putem spune că ¬F = T.
Legea dublei negații sau Legea involuției
O singură afirmație este folosită pentru a arăta legea dublei negații. Conform acestei legi, dacă facem negația unui enunț negat, atunci enunțul rezultat va fi enunțul însuși. Să presupunem că există o declarație P și o declarație de negare ¬P. Următoarea notație este folosită pentru a indica legea dublei negații:
¬(¬P) ? P
Tabelul de adevăr pentru aceste notații este descris după cum urmează:
strsep
| P | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele ¬(¬P) și P. Prin urmare, putem spune că ¬(¬P) = P.
Din legea lui Morgan:
Cele două afirmații sunt folosite pentru a arăta legea lui De Morgan. Conform acestei legi, dacă combinăm două enunțuri cu simbolul ∧(ȘI) și apoi facem negația acestor enunțuri combinate, atunci enunțul rezultat va fi același chiar dacă combinăm negația ambelor enunțuri separat cu simbolul ∨( SAU). Să presupunem că există două afirmații compuse, P și Q. Următoarea notație este folosită pentru a indica Legea lui De Morgan:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Tabelul de adevăr pentru aceste notații este descris după cum urmează:
| P | Q | ¬P | ¬Q | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele ¬(P ∧ Q) și ¬ P ∨ ¬Q. Prin urmare, putem spune că ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
La fel cum putem demonstra ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Legea absorbției:
Cele două afirmații sunt folosite pentru a arăta legea absorbției. Conform acestei legi, dacă combinăm o afirmație P prin simbolul ∨(OR) cu aceeași afirmație P și o altă afirmație Q, care sunt unite cu simbolul ∧(ȘI), atunci enunțul rezultat va fi primul enunț P. Același rezultat va fi generat dacă schimbăm simbolurile. Să presupunem că există două declarații compuse, P și Q. Următoarea notație este folosită pentru a indica Legea absorbției:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
Tabelul de adevăr pentru aceste notații este descris după cum urmează:
| P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele P ∨ (P ∧ Q) și P. Prin urmare, putem spune că P ∨ (P ∧ Q) ? P.
În mod similar, acest tabel conține și aceleași valori de adevăr în coloanele P ∧ (P ∨ Q) și P. Prin urmare, putem spune că P ∧ (P ∨ Q) ? P.
Exemple de echivalență logică
Există diverse exemple de echivalență logică. Unele dintre ele sunt descrise după cum urmează:
Exemplul 1: În acest exemplu, vom stabili proprietatea de echivalență pentru o declarație, care este descrisă după cum urmează:
p → q ? ¬p ∨ q
Soluţie:
Vom demonstra acest lucru cu ajutorul unui tabel de adevăr, care este descris după cum urmează:
| P | Q | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele p → q și ¬p ∨ q. Prin urmare, putem spune că p → q ? ¬p ∨ q.
Exemplul 2: În acest exemplu, vom stabili proprietatea de echivalență pentru o declarație, care este descrisă după cum urmează:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Soluţie:
| P | Q | P → Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Acest tabel conține aceleași valori de adevăr în coloanele P ↔ Q și (P → Q) ∧ (Q → P). Prin urmare putem spune că P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Exemplul 3: În acest exemplu, vom folosi proprietatea echivalentă pentru a demonstra următoarea afirmație:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
Soluţie:
Pentru a demonstra acest lucru, vom folosi unele dintre legile descrise mai sus și din această lege avem:
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Acum vom folosi legea comutativă în ecuația de mai sus și vom obține următoarele:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Acum vom folosi legea distributivă în această ecuație și vom obține următoarele:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Acum vom folosi legea distributivă în această ecuație și vom obține următoarele:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Acum vom folosi legea complementului în această ecuație și vom obține următoarele:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Acum vom folosi legea identității și vom obține următoarele:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Acum vom folosi legea comutativă în această ecuație și vom obține următoarele:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
În cele din urmă, ecuația (1) devine următoarea:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
În sfârșit, putem spune că ecuația (1) devine p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)