În simplificarea expresiei booleene, legile și regulile algebrei booleene joacă un rol important. Înainte de a înțelege aceste legi și reguli ale algebrei booleene, înțelegeți conceptul de adunare și înmulțire a operațiilor booleene.
Adunarea booleană
Operația de adăugare a algebrei booleene este similară cu operația SAU. În circuitele digitale, operația SAU este utilizată pentru a calcula termenul sumă, fără a utiliza operația AND. A + B, A + B', A + B + C' și A' + B + + D' sunt câteva dintre exemplele de „termen sumă”. Valoarea termenului sumă este adevărată atunci când unul sau mai mulți literali sunt adevărate și false când toate literalele sunt false.
Înmulțirea booleană
Operația de înmulțire a algebrei booleene este similară cu operația AND. În circuitele digitale, operația AND calculează produsul, fără a utiliza operația SAU. AB, AB, ABC și ABCD sunt câteva dintre exemplele termenului de produs. Valoarea termenului de produs este adevărată atunci când toate literalele sunt adevărate și falsă atunci când oricare dintre literale este falsă.
Legile algebrei booleene
Există următoarele legi ale algebrei booleene:
Legea comutativă
Această lege spune că indiferent în ce ordine folosim variabilele. Înseamnă că ordinea variabilelor nu contează. În algebra booleană, operațiile OR și de adunare sunt similare. În diagrama de mai jos, poarta SAU arată că ordinea variabilelor de intrare nu contează deloc.
exemplu de arbore binar de căutare
Pentru două variabile, legea comutativă a adunării se scrie astfel:
A+B = B+A
Pentru două variabile, legea comutativă a înmulțirii se scrie astfel:
A.B = B.A
Drept asociativ
Această lege prevede că operația poate fi efectuată în orice ordine când prioritatea variabilelor este aceeași. Ca „*” și „/” au aceeași prioritate. În diagrama de mai jos, legea asociativă este aplicată porții SAU cu 2 intrări.
Pentru trei variabile, legea asociativă a adunării se scrie astfel:
A + (B + C) = (A + B) + C
Pentru trei variabile, legea asociativă a înmulțirii se scrie astfel:
t ffA(BC) = (AB)C
Conform acestei legi, indiferent în ce ordine sunt grupate variabilele atunci când AND mai mult de două variabile. În diagrama de mai jos, legea asociativă este aplicată porții AND cu 2 intrări.
Legea distributivă:
Conform acestei legi, dacă efectuăm operația SAU a două sau mai multe variabile și apoi efectuăm operația AND a rezultatului cu o singură variabilă, atunci rezultatul va fi similar cu efectuarea operației AND a acelei variabile unice cu fiecare două sau mai multe variabilă și apoi efectuați operația SAU a produsului respectiv. Această lege explică procesul de factoring.
tabel ascii java
Pentru trei variabile, legea distributivă se scrie astfel:
A(B + C) = AB + AC
Regulile algebrei booleene
Există următoarele reguli ale algebrei booleene, care sunt utilizate în principal în manipularea și simplificarea expresiilor booleene. Aceste reguli joacă un rol important în simplificarea expresiilor booleene.
| 1. | A+0=A | 7. | A.A=A |
| 2. | A+1=1 | 8. | A.A'=0 |
| 3. | A.0=0 | 9. | A''=A |
| 4. | A.1=A | 10. | A+AB=A |
| 5. | A+A=A | unsprezece. | A+A'B=A+B |
| 6. | A+A'=1 | 12. | (A+B)(A+C)=A+BC |
Regula 1: A + 0 = A
Să presupunem; avem o variabilă de intrare A a cărei valoare este fie 0, fie 1. Când efectuăm operația SAU cu 0, rezultatul va fi același cu variabila de intrare. Deci, dacă valoarea variabilei este 1, atunci rezultatul va fi 1, iar dacă valoarea variabilei este 0, atunci rezultatul va fi 0. Diagramatic, această regulă poate fi definită ca:
Regula 2: (A + 1) = 1
Să presupunem; avem o variabilă de intrare A a cărei valoare este fie 0, fie 1. Când efectuăm operația SAU cu 1, rezultatul va fi întotdeauna 1. Deci, dacă valoarea variabilei este fie 1, fie 0, atunci rezultatul va fi întotdeauna 1. Diagramatic , această regulă poate fi definită astfel:
Regula 3: (A.0) = 0
Să presupunem; avem o variabilă de intrare A a cărei valoare este fie 0, fie 1. Când efectuăm operația AND cu 0, rezultatul va fi întotdeauna 0. Această regulă spune că o variabilă de intrare AND cu 0 este întotdeauna egală cu 0. Din punct de vedere grafic, această regulă poate fi definită astfel:
Tabel cu cifre romane 1 100
Regula 4: (A.1) = A
Să presupunem; avem o variabilă de intrare A a cărei valoare este fie 0, fie 1. Când efectuăm operația AND cu 1, rezultatul va fi întotdeauna egal cu variabila de intrare. Această regulă spune că o variabilă de intrare AND cu 1 este întotdeauna egală cu variabila de intrare. Din punct de vedere grafic, această regulă poate fi definită astfel:
Regula 5: (A + A) = A
Să presupunem; avem o variabilă de intrare A a cărei valoare este fie 0, fie 1. Când efectuăm operația SAU cu aceeași variabilă, rezultatul va fi întotdeauna egal cu variabila de intrare. Această regulă afirmă că o variabilă de intrare OR cu ea însăși este egală cu variabila de intrare întotdeauna. Din punct de vedere grafic, această regulă poate fi definită astfel:
Regula 6: (A + A') = 1
Să presupunem; avem o variabilă de intrare A a cărei valoare este fie 0, fie 1. Când efectuăm operația OR cu complementul acelei variabile, rezultatul va fi întotdeauna egal cu 1. Această regulă spune că o variabilă OR cu complementul ei este egală cu 1 mereu. Din punct de vedere grafic, această regulă poate fi definită astfel:
Regula 7: (A.A) = A
Să presupunem; avem o variabilă de intrare A a cărei valoare este fie 0, fie 1. Când efectuăm operația AND cu aceeași variabilă, rezultatul va fi întotdeauna egal doar cu acea variabilă. Această regulă spune că o variabilă AND cu ea însăși este întotdeauna egală cu variabila de intrare. Din punct de vedere grafic, această regulă poate fi definită astfel:
Regula 8: (A.A') = 0
Să presupunem; avem o variabilă de intrare A a cărei valoare este fie 0, fie 1. Când efectuăm operația AND cu complementul acelei variabile, rezultatul va fi întotdeauna egal cu 0. Această regulă spune că o variabilă AND cu complementul ei este egală cu 0 mereu. Din punct de vedere grafic, această regulă poate fi definită astfel:
Regula 9: A = (A')'
Această regulă spune că dacă realizăm complementul dublu al variabilei, rezultatul va fi același cu variabila originală. Deci, când efectuăm complementul variabilei A, atunci rezultatul va fi A'. În plus, dacă realizăm din nou complementul lui A', vom obține A, care este variabila inițială.
emoji-uri iPhone pe Android
Regula 10: (A + AB) = A
Putem demonstra această regulă folosind regula 2, regula 4 și legea distributivă ca:
A + AB = A(1 + B) Factorizare (legea distributivă)A + AB = A.1 Regula 2: (1 + B)= 1
A + AB = A Regula 4: A .1 = A
Regula 11: A + AB = A + B
Putem demonstra această regulă folosind regulile de mai sus ca:
A + AB = (A + AB)+ AB Regula 10: A = A + ABA+AB= (AA + AB)+ AB Regula 7: A = AA
A+AB=AA +AB +AA +AB Regula 8: adăugarea AA = 0
A+AB= (A + A)(A + B) Factorizare
A+AB= 1.(A + B) Regula 6: A + A = 1
A+AB=A + B Regula 4: renunțați la 1
Regula 12: (A + B)(A + C) = A + BC
Putem demonstra această regulă folosind regulile de mai sus ca:
(A + B)(A + C)= AA + AC + AB + BC Legea distributivă(A + B)(A + C)= A + AC + AB + BC Regula 7: AA = A
(A + B)(A + C)= A( 1 + C)+ AB + BC Regula 2: 1 + C = 1
(A + B)(A + C)= A.1 + AB + BC Factorizare (legea distributivă)
(A + B)(A + C)= A(1 + B)+ BC Regula 2: 1 + B = 1
(A + B)(A + C)= A.1 + BC Regula 4: A .1 = A
(A + B)(A + C)= A + BC
