Coarda unui cerc este linia care unește oricare două puncte de pe circumferința cercului. Un cerc poate avea diverse coarde și cea mai mare coardă a unui cerc este diametrul cercului. Putem calcula cu ușurință lungimea coardei folosind Formula Chord Length. După cum sugerează și numele, este formula pentru calcularea lungimii coardei într-un cerc în Geometrie.

În acest articol, vom afla despre definiția coardei, teoremele acordurilor și cercului, vom explica proprietățile sale și formulele pentru a calcula lungimea coardei folosind diferite metode. Articolul are și câteva exemple de probleme rezolvate pentru o mai bună înțelegere.

Cuprins

• Definiția cercului
• Definiția acordului unui cerc
• Ce este Formula pentru lungimea acordurilor?
• Teoremele acordurilor unui cerc
• Proprietățile acordurilor unui cerc
• Probleme rezolvate
• Întrebări frecvente

Definiția cercului

Un cerc este o formă rotundă perfectă constând din toate punctele dintr-un plan care sunt plasate la o distanță dată de un punct dat. Ele constau dintr-o linie curbă închisă în jurul unui punct central. Punctele prezente pe linie sunt la aceeași distanță de punctul central. Distanța până la centrul unui cerc se numește rază.

Definiția acordului unui cerc

Segmentul de linie care unește oricare două puncte de pe circumferința cercului este cunoscut sub numele de coarda unui cerc. Deoarece diametrul unește și cele două puncte de pe circumferința unui cerc, astfel este, de asemenea, o coardă cu un cerc. De fapt, diametrul este cea mai lungă coardă la cerc. Cu alte cuvinte, coarda este un segment de linie ale cărui ambele capete se află pe circumferința unui cerc. Următoarea ilustrație ne poate ajuta să înțelegem mai multe.

Ce este Formula pentru lungimea acordurilor?

Există două metode sau formule de bază pentru a calcula lungimea coardei. o lungime a coardei poate fi determinată folosind distanța perpendiculară de la centrul cercului precum și prin metoda trigonometrică. Astfel se poate găsi lungimea unui acord

• Folosind teorema lui Pitagora
• Folosind legea cosinusului

Să înțelegem aceste metode în detaliu, după cum urmează:

Metoda 1: Utilizarea teoremei lui Pitagora

În următoarea diagramă pentru o coardă, după cum știm, perpendiculara trasă din centrul cercului la coardă o bisectează în două jumătăți.

În triunghiuri OAM, folosind Teorema lui Pitagora ,

r²= x²+ d²

⇒ x²= r²– d²

⇒ x = √(r²– d²)

Deoarece x este jumătate din lungimea coardei,

Astfel, lungimea coardei pentru orice cerc cu distanța sa perpendiculară față de centru este cunoscută este dată ca

Lungimea unei coarde a unui cerc = 2 ×[√(r ² – d ² )]

Unde,

• r este raza cercului și
• d este distanța perpendiculară dintre centrul cercului și coarda.

Metoda 2: Utilizarea legii cosinusului

După cum știm pentru un triunghi ABC, cu laturile a, b și c, Legea cosinusului state,

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Folosind această lege din diagrama următoare a unei coarde subtind unghiul θ în centrul cercului, putem afla lungimea coardei.

În triunghiul OAB, folosind legea cosinusului,

⇒ x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

⇒ x²= 2r²– 2r²cos θ

⇒ x²= 2r²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Astfel, lungimea acordului este dată de:

Lungimea coardei = 2r × sin [θ/2]

traversarea comenzilor prin corespondență

Unde,

• i este unghiul subtins de coarda în centru și
• r este raza cercului.

Altă formulă înrudită pentru lungimea acordurilor

Când două cercuri împart o coardă comună, atunci lungimea acelei coarde comune poate fi calculată folosind formula

Lungimea unei coarde comune din două cercuri = 2R ₁ × R ₂ / D

Unde,

• R ₁ și R ₂ se referă la raza cercurilor
• D este distanța dintre cele două centre ale cercului

Teoremele acordurilor unui cerc

Coarda cercului subtinde unghiul din centrul cercului, ceea ce ne ajută să demonstrăm diferite concepte în cerc. Există diverse teoreme bazate pe coarda unui cerc,

• Teorema 1: Acorduri egale Teorema unghiurilor egale
• Teorema 2: Unghiuri egale Teorema acordurilor egale (Conversarea teoremei 1)
• Teorema 3: Acorduri egale echidistante de teorema centrului

Acum, să discutăm același lucru în articolul de mai jos.

Teorema 1: Acorduri egale Teorema unghiurilor egale

Declarații: Coardele egale subtind unghiurile egale în centrul cercului, adică unghiurile subtire ale coardei sunt egale dacă coarda este egală.

Dovada:

sunny deol age

Din figură,

În ∆AOB și ∆DOC

• AB = CD … eq(i) (Dat)
• OA = OD …eq(ii) (Raza cercului)
• OB = OC …eq(iii) (Raza cercului)

Astfel, prin condițiile de congruență SSS triunghiul ∆AOB și ∆COD sunt congruenți.

Prin urmare,

∠AOB = ∠DOC (Prin CPCT)

Astfel, teorema este verificată.

Teorema 2: Unghiuri egale Teorema acordurilor egale (Conversarea teoremei 1)

Afirmație: Acordurile care subtind unghiuri egale în centrul unui cerc au lungime egală. Aceasta este inversul primei teoreme.

Din figură,

În ∆AOB și ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (Dat)
• OA = OD …eq(ii) (Raza cercului)
• OB = OC …eq(iii) (Raza cercului)

Astfel, prin condiții de congruență SAS, triunghiul ∆AOB și ∆COD sunt congruenți.

Prin urmare,

AB = CD (Prin CPCT)

Astfel, teorema este verificată.

Teorema 3: Acorduri egale echidistante de teorema centrului

Afirmație: Coardele egale sunt echidistante de centru, adică distanța dintre centrul cercului și coarda egală este întotdeauna egală.

Din figură,

În ∆AOL și ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 de grade)
• OA = OC …eq(ii) (Raza cercului)
• OL = OM … echivalentul (iii) (Dat)

Astfel, prin condiții de congruență RHS, triunghiul ∆AOB și ∆COD sunt congruenți.

Prin urmare,

AL = CM (Prin CPCT)…(iv)

Acum, știm că perpendiculara trasă din centru traversează coardele.

Din echivalentul (iv)

2AL=2CM

AB = CD

Astfel, teorema este verificată.

Proprietățile acordurilor unui cerc

Există diverse proprietăți ale acordurilor într-un cerc, unele dintre aceste proprietăți sunt după cum urmează:

• O coardă care trece prin centrul unui cerc se numește diametru și este cea mai lungă coardă din cerc.
• Perpendiculara pe o coardă, care este trasă din centrul cercului, traversează coarda.
• Acordurile care sunt echidistante de centrul unui cerc au lungime egală.
• Există un singur cerc care trece prin trei puncte coliniare.
• Acordurile care au lungime egală subtind unghiuri egale în centrul unui cerc.
• Bisectoarea perpendiculară a unei coarde trece prin centrul cercului.
• Dacă o rază este perpendiculară pe o coardă, atunci ea traversează coarda și arcul pe care îl interceptează. Aceasta este cunoscută sub numele de teorema bisectoarei perpendiculare.
• Când unghiurile subîntinse de o coardă sunt egale, atunci lungimea acordurilor este de asemenea egală.
• Dacă două acorduri dintr-un cerc se intersectează, atunci produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor celeilalte coarde. Aceasta este cunoscută sub numele de teorema acordurilor care se intersectează.
• Unghiul subtins de o coardă în centru este de două ori mai mare decât unghiul subîntins de coarda la circumferință.

Citeşte mai mult,

• Ecuația unui cerc
• Aria unui cerc
• Circumferința cercului

Probleme rezolvate pe acordul unui cerc

Problema 1: Un cerc este un unghi de 70 de grade a cărui rază este de 5 cm. Calculați lungimea coardei cercului.

Soluţie:

Dat

• Raza = 5 cm
• Unghi = 70°

Acum,

lungimea coardei = 2R × Sin [unghi/2]

= 2 × 5 × sin [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 × 0,5736

= 5,73 cm

format șir de caractere java

Problema 2: Într-un cerc , raza este de 7cm iar distanța perpendiculară de la centrul cercului la coardele acestuia este de 6cm. Calculați lungimea coardei.

Soluţie:

Dat

• Raza = 7 cm
• Distanța = 6 cm

Acum,

Lungimea coardei = 2 √r²– d²

= 2 √7²– 6²

= 2 √ 49- 36

= 2 √13cm

Problema 3: Un cerc este un unghi de 60 de grade a cărui rază este de 12 cm. Calculați lungimea coardei cercului.

Soluţie:

Dat

• Raza = 12 cm
• Unghi = 60°

Acum,

lungimea coardei = 2R × Sin [unghi/2]

⇒ 2 × 12 × sin [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24 × 0,5

⇒ 12 cm

Problema 4: Într-un cerc, raza este de 16 cm și distanța perpendiculară de la centrul cercului la coardele sale este de 5 cm. Calculați lungimea coardei.

Soluţie:

Dat

• Raza = 16 cm
• Distanța = 5 cm

Acum,

Lungimea coardei = 2 √r²– d²

⇒ 2 √(16)²- (5)²

⇒ 2 √ 256- 25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15,1

⇒ 30,2 cm

Problema 6: Calculați lungimea unei coarde comune între cercurile cu raza de 6cm și respectiv 5cm. Și, distanța dintre cele două centre a fost măsurată a fi de 8 cm.

Soluţie:

Dat

Distanța dintre cele două centre = 8cm

Raza celor două cercuri este R₁și R₂cu lungimi de 6 cm, respectiv 5 cm

Acum,

stdin în c

Lungimea unei coarde comune a două cercuri = (2R₁× R₂) / Distanța dintre două centre ale cercurilor

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Întrebări frecvente despre Chord of a Circle

Definiți acordul.

Un segment de linie care unește două puncte de pe circumferința cercului este cunoscut sub numele de Coardă.

Ce este Formula pentru lungimea acordurilor?

Formula pentru lungimea acordului calculează lungimea unei coarde într-un cerc.

Poate lungimea unei coarde să fie mai mare decât diametrul unui cerc?

Nu, lungimea unei coarde nu poate fi mai mare decât diametrul, deoarece diametrul este coarda cea mai lungă a cercului.

Cum este afectată lungimea unui acord dacă este mai aproape de centrul cercului?

Pe măsură ce coarda se apropie de centrul cercului, lungimea sa se apropie de lungimea maximă, adică diametrul.

Cum este afectată lungimea unui acord dacă este mai aproape de marginea cercului?

Pe măsură ce coarda se apropie de marginea cercului, lungimea lui se apropie de 0. Astfel, lungimea coardei și distanța sa de la margine au o relație inversă.

Care este relația dintre lungimea coardei și unghiul central al unui cerc?

Relația dintre lungimea coardei e și unghiul central al unui cerc este următoarea:

Lungimea coardei = 2r × sin [θ/2]

Unde,

• i este unghiul subtins de coarda în centru și
• r este raza cercului.

Poate fi folosită formula lungimii acordurilor pentru orice cerc?

Da, Formula lungimii acordului poate fi folosită pentru orice cerc, atâta timp cât se cunosc raza și unghiul central.

Este diametrul o coardă a unui cerc?

Da, diametrul este o coardă a unui cerc. Este cel mai lung acord posibil al unui cerc. Este egal cu dublul razei cercului.

D = 2r

Unde,

• D este diametrul cercului
• r este raza cercului