În matematică, însumarea este adunarea de bază a unei secvențe de numere, numite aditivi sau sumanzi; rezultatul este suma sau totalul lor. În Matematică numerele, funcțiile, vectorii, matricele, polinoamele și, în general, elementele oricărui obiect matematic pot fi asociate cu o operație numită adunare/sumare, notată cu +.

Însumarea unei secvențe explicite este desemnată ca o succesiune de adăugiri. De exemplu, însumarea lui (1, 3, 4, 7) se poate baza notat cu 1 + 3 + 4 + 7, iar rezultatul pentru notația de mai sus este 15, adică 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Deoarece operația de adunare este atât asociativă, cât și comutativă, nu este nevoie de paranteze în timp ce enumerați seria/secvența, iar rezultatul va fi același, indiferent de ordinea sumelor.

Cuprins

• Ce este Formula de însumare?
• Unde să folosiți formula de însumare?
• Proprietăți de însumare
• Formule standard de însumare
• Exemplu despre formula de însumare
• Întrebări frecvente despre Formula de însumare

Ce este Formula de însumare?

Suma sau notația sigma (∑) este o metodă folosită pentru a scrie o sumă lungă într-un mod concis. Această notație poate fi atașată oricărei formule sau funcție.

medie vs medie

De exemplu, _i=1 ∑ ¹⁰(i) este o notație sigma a adunării secvenței finite 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 unde primul element este 1 și ultimul element este 10.

Formule de însumare

Unde să folosiți formula de însumare?

Notația de însumare poate fi utilizată în diferite domenii ale matematicii:

• Secvență în serie
• Integrare
• Probabilitate
• Permutare și combinație
• Statistici

Notă: O însumare este o formă scurtă de adunare repetitivă. De asemenea, putem înlocui sumarea cu o buclă de adunare.

Proprietăți de însumare

Proprietatea 1

_i=1 ∑ ⁿc = c + c + c + …. + c (n) ori = nc

De exemplu: Găsiți valoarea lui_i=1 ∑ ⁴c.

Folosind proprietatea 1 putem calcula direct valoarea lui_i=1 ∑ ⁴c ca 4×c = 4c.

Proprietatea 2

_c=1 ∑ ⁿkc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) ori = k × (1 + … + n) = k_c=1 ∑ ⁿc

De exemplu: Găsiți valoarea lui_i=1 ∑ ⁴5i.

Folosind proprietatea 2 și 1 putem calcula direct valoarea lui_{i= 1} ∑ ⁴5i ca 5 ×_i=1 ∑ ⁴i = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Proprietatea 3

_c=1 ∑ ⁿ(k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) ori = (n × k) + (1 + … + n) = nk +_c=1 ∑ ⁿc

De exemplu: Găsiți valoarea lui_i=1∑⁴(5+i).

Utilizând proprietățile 2 și 3, putem calcula direct valoarea lui_i=1 ∑ ⁴(5+i) ca 5×4 +_i=1 ∑ ⁴i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.

crearea listei în java

Proprietatea 4

_k=1 ∑ ⁿ(f(k) + g(k)) =_k=1 ∑ ⁿf(k) +_k=1 ∑ ⁿg(k)

De exemplu: Găsiți valoarea pentru_i=1∑⁴(i + i²).

Folosind proprietatea 4 putem calcula direct valoarea lui_i=1 ∑ ⁴(i + i²) la fel de_i=1 ∑ ⁴eu +_i=1 ∑ ⁴i²= (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Formule standard de însumare

Diverse formule de însumare sunt,

Suma primelor n numere naturale : (1+2+3+…+n) =_i=1 ∑ ⁿ(i) = [n ×(n +1)]/2

Suma pătratului primelor n numere naturale: (1²+2²+3²+…+n²) =_i=1 ∑ ⁿ(i²) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6

Suma cubului primelor n numere naturale: (1³+2³+3³+…+n³) =_i=1 ∑ ⁿ(i³) = [n²×(n +1)²)]/4

Suma primului n numere naturale pare : (2+4+…+2n) =_i=1 ∑ ⁿ(2i) = [n ×(n +1)]

Suma primelor n numere naturale impare : (1+3+…+2n-1) =_i=1 ∑ ⁿ(2i-1) = n²

Suma pătratului primelor n numere naturale pare: (2²+4²+…+(2n)²) =_i=1 ∑ ⁿ(2i)²= [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Suma pătratului primelor n numere naturale impare: (1²+3²+…+(2n-1)²) =_i=1 ∑ ⁿ(2i-1)²= [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Suma cubului primului n numere naturale pare: (2³+4³+…+(2n)3) =_i=1 ∑ ⁿ(2i)³= 2[n(n+1)]²

Suma cubului primului n numere naturale impare: (1³+3³+…+(2n-1)³) =_i=1 ∑ ⁿ(2i-1)³= n²(2n²- 1)

Articole similare:

• Suma numerelor naturale
• Suma la matematică
• Operatii aritmetice
• Progresia aritmetică și progresia geometrică

Exemplu despre formula de însumare

Exemplul 1: Găsiți suma primelor 10 numere naturale, folosind formula de însumare.

Soluţie:

Folosind formula de însumare pentru suma n număr natural_i=1∑ⁿ(i) = [n ×(n +1)]/2

Avem suma primelor 10 numere naturale =_i=1∑¹⁰(i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

Exemplul 2: Găsiți suma a 10 prime numere naturale mai mari decât 5, folosind formula de însumare.

Soluţie:

Conform intrebarii:

Suma a 10 prime numere naturale mai mari decât 5 =_i=6∑^{cincisprezece}(i)

=_i=1∑^{cincisprezece}(i) –_i=1∑⁵(i)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Exemplul 3: Aflați suma șirului finit dat 1 ² + 2 ² + 3 ² +…8 ² .

Soluţie:

turnat în sql

Secvența dată este 1²+ 2²+ 3²+…8², se poate scrie ca_i=1∑⁸i²folosind proprietatea/ formula de însumare

_i=1∑⁸i²= [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Exemplul 4: Simplificați _c=1 ∑ ⁿ kc.

Soluţie:

Având în vedere formula de însumare =_c=1∑ⁿkc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n termeni)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1∑ⁿkc = k _c=1 ∑ ⁿ c

valoarea șirului java

Exemplul 5: Simplificați și evaluați x ₌₁ ∑ ⁿ (4+x).

Soluţie:

Însumarea dată este_x=1∑ⁿ(4+x)

După cum știm că_c=1∑ⁿ(k+c) = nk +_c=1∑ⁿc

Însumarea dată poate fi simplificată ca:

4n+ _x=1 ∑ ⁿ (X)

Exemplul 6: Simplificați _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

Soluţie:

Însumarea dată este_x=1∑ⁿ(2x+x²).

așa cum știm că_k=1∑ⁿ(f(k) + g(k)) =_k=1∑ⁿf(k) +_k=1∑ⁿg(k)

însumarea dată poate fi simplificată ca _x=1 ∑ ⁿ (2x) + _x=1 ∑ ⁿ (X ² ).

Întrebări frecvente despre Formula de însumare

Ce este formula de însumare a numerelor naturale?

Suma numerelor naturale de la 1 la n se găsește folosind formula n (n + 1) / 2. De exemplu, suma primelor 100 de numere naturale este 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Ce este formula generală de însumare?

Formula generală de însumare utilizată pentru a găsi suma unei secvențe {a₁, A₂, A₃,…,A_n} este, ∑a _i = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n

Cum folosești ∑?

∑ este simbolul însumării și este folosit pentru a găsi suma seriei.

Care este formula pentru însumarea n?

Formula pentru suma a n numere naturale este, formula pentru suma n numere este [n(n+1)2]