Aria sub curbă este aria cuprinsă de curbă și axele de coordonate, se calculează luând dreptunghiuri foarte mici și apoi luând suma lor dacă luăm dreptunghiuri infinit de mici, atunci suma lor se calculează luând limita funcției astfel formate.

Pentru o funcție dată f(x) definită în intervalul [a, b], aria (A) sub curba lui f(x) de la „a” la „b” este dată de A = ∫ _A ^b f(x)dx . Aria de sub o curbă se calculează luând valoarea absolută a funcției pe intervalul [a, b], însumată pe interval.

În acest articol, vom afla despre zona de sub curbă, aplicațiile sale, exemplele și altele în detaliu.

Cuprins

• Ce este zona sub curbă?
• Calcularea ariei de sub curbă
• Utilizarea sumelor Reimann
• Utilizarea integralelor definite
• Aproximarea ariei sub curbă
• Calcularea ariei sub curbă
• Formulele zonei sub curbă

Ce este zona sub curbă?

Aria de sub curbă este aria delimitată de orice curbă cu axa x și condiții la limită date, adică aria delimitată de funcția y = f(x), axa x și linia x = a și x = b. În unele cazuri, există doar una sau nicio condiție de limită, deoarece curba intersectează axa x o dată sau, respectiv, de două ori.

Aria de sub curbă poate fi calculată folosind diverse metode, cum ar fi suma Reimann și Integrala definita și putem, de asemenea, să aproximăm aria folosind formele de bază, adică triunghi, dreptunghi, trapez etc.

Citiți în detaliu: Calcul în matematică

Calcularea ariei de sub curbă

Pentru a calcula suprafața sub o curbă, putem folosi următoarele metode, cum ar fi:

• Utilizarea sumelor Reimann
• Utilizarea integralelor definite
• Utilizarea aproximării

Să studiem aceste metode în detaliu, după cum urmează:

Utilizarea sumelor Reimann

Sume Reimann se calculează împărțind graficul unei anumite funcții în dreptunghiuri mai mici și însumând ariile fiecărui dreptunghi. Cu cât luăm în considerare mai multe dreptunghiuri prin subdiviziunea intervalului prevăzut, cu atât aria calculată prin această abordare este mai precisă; cu toate acestea, cu cât luăm în considerare mai multe subintervale, cu atât calculele devin mai dificile.

Suma Reimann poate fi clasificată în alte trei categorii, cum ar fi:

• A stânga Reimann Sum
• Corect Reimann Sum
• Punctul de mijloc Suma Reimann

Aria care utilizează suma Reimann este dată după cum urmează:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

Unde,

• f(x _i ) este valoarea funcției care se integrează la i ^th punct de probă
• Δx = (b-a)/n este lățimea fiecărui subinterval,
  • A și b sunt limitele integrării şi
  • n este numărul de subintervale
• ∑ reprezintă suma tuturor termenilor de la i=1 la n,

Exemplu: Găsiți aria de sub curba pentru funcție, f(x) = x ² între limitele x = 0 și x = 2.

Soluţie:

Dorim să găsim aria de sub curba acestei funcții între x = 0 și x = 2. Vom folosi o Sumă Reimann stângă cu n = 4 subintervale pentru a aproxima aria.

Să calculăm aria de sub curbă folosind 4 subintervale.

Astfel, lățimea subintervalelor, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Toate cele 4 subintervale sunt,

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

X₀= 0, x₁= 0,5, x₂= 1, x₃= 1,5, x₄= 2

Acum putem evalua funcția la aceste valori x pentru a găsi înălțimile fiecărui dreptunghi:

xor c++

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Aria de sub curbă poate fi acum aproximată prin însumarea ariilor dreptunghiurilor formate din aceste înălțimi:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Prin urmare, aria sub curba lui f(x) = x²între x = 0 și x = 2, aproximat folosind o Sumă Reimann stângă cu 4 subintervale, este de aproximativ 1,25.

Utilizarea integralelor definite

Integrala definită este aproape aceeași cu suma Reimann, dar aici numărul de subintervale se apropie de infinit. Dacă funcția este dată pentru intervalul [a, b] atunci integrală definită este definită ca:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

O integrală definită oferă aria exactă de sub curbă, spre deosebire de suma Reimann. Integrala definită se calculează prin găsirea antiderivatei funcției și evaluarea acesteia la limitele integrării.

Zona în raport cu axa X

Curba prezentată în imaginea de mai jos este reprezentată folosind y = f(x). Trebuie să calculăm aria de sub curbă în raport cu axa x. Valorile limită pentru curba de pe axa x sunt a și, respectiv, b. Aria A sub această curbă în raport cu axa x este calculată între punctele x = a și x = b. Luați în considerare următoarea curbă:

Formula pentru suprafața de sub curbă w.r.t față de axa x este dată de:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

Unde,

• A este zona sub curbă
• și sau f(x) este ecuația curbei
• A, și b sunt valorile x sau limita de integrare, pentru care trebuie să calculăm aria

Zona față de axa Y

Curba prezentată în imaginea de mai sus este reprezentată folosind x = f(y). Trebuie să calculăm aria de sub curbă în raport cu axa Y. Valorile limită pentru curba de pe axa Y sunt a și, respectiv, b. Aria A sub această curbă în raport cu axa Y dintre punctele y = a și y = b. Luați în considerare următoarea curbă:

Formula pentru suprafața de sub curbă w.r.t față de axa y este dată de:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

Unde,

• A este zona sub curbă
• X sau f(y) este ecuația curbei
• a, b sunt interceptări y

Află mai multe, Zona dintre două curbe

Aproximarea ariei sub curbă

Aproximarea ariei de sub curbă implică utilizarea unor forme geometrice simple, cum ar fi dreptunghiuri sau trapeze, pentru a estima aria de sub curbă. Această metodă este utilă atunci când funcția este dificil de integrat sau când nu este posibilă găsirea unei antiderivate a funcției. Precizia aproximării depinde de mărimea și numărul formelor utilizate.

Calcularea ariei sub curbă

Putem calcula cu ușurință aria diferitelor curbe folosind conceptele discutate în articolul dat. Acum să luăm în considerare câteva exemple de calcul a ariei sub curbă pentru unele curbe comune.

Zona sub curbă: Parabolă

Știm că o parabolă standard este împărțită în două părți simetrice fie de axa x, fie de axa y. Să presupunem că luăm o parabolă y²= 4ax și apoi aria sa trebuie calculată de la x = 0 la x = a. Și dacă este necesar, îi dublăm aria pentru a găsi aria parabolei în ambele cadrane.

Calcularea suprafeței,

și²= 4ax

y = √(4ax)

A = 2∫₀^Ay.dx

A = 2∫₀^A√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^A√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Astfel, aria de sub parabolă de la x = 0 la x = a este 8/3a ² unități pătrate

Zona sub curbă: cerc

Un cerc este o curbă închisă a cărei circumferință este întotdeauna la o distanță egală de centrul său. Aria sa se calculează mai întâi calculând suprafața din primul cadran și apoi înmulțind-o cu 4 pentru toate cele patru cadrane.

Să presupunem că luăm un cerc x²+ și²= a²iar apoi aria sa trebuie calculată de la x = 0 la x = a în primul cadran. Și dacă este necesar, îi cvadruplam aria pentru a găsi aria cercului.

Calcularea suprafeței,

X²+ și²= a²

y = √(a²- X²).dx

A = 4∫₀^Ay.dx

A = 4∫₀^A√(a²- X²).dx

A = 4[x/2√(a²- X²) + a²/2 fara^-1(x/a)]^A₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.fără^-1} – 0]

A = 4 (a²/2)(p/2)

A = πa²

Astfel, aria de sub cerc este pa ² unități pătrate

Zona sub curbă: elipsă

Un cerc este o curbă închisă. Aria sa se calculează mai întâi calculând suprafața din primul cadran și apoi înmulțind-o cu 4 pentru toate cele patru cadrane.

Să presupunem că luăm un cerc (x/a)²+ (a/b)²= 1 și apoi aria sa trebuie calculată de la x = 0 la x = a în primul cadran. Și dacă este necesar, îi cvadruplam aria pentru a găsi aria elipsei.

șir în matrice în c

Calcularea suprafeței,

(x/a)²+ (a/b)²= 1

y = b/a√(a²- X²).dx

A = 4∫₀^Ay.dx

A = 4b/a∫₀^A√(a²- X²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²- X²) + a²/2 fara^-1(x/a)]^A₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.fără^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Astfel, zona de sub elipsă este πab unități pătrate.

Formulele zonei sub curbă

Formula pentru diferite tipuri de calcul a ariei sub curbă este tabelată mai jos:

De asemenea, Citeste

• Integrale
• Zona ca integrală definită

Exemple de exemple pentru zona sub curbă

Exemplul 1: Găsiți aria de sub curba y ² = 12x și axa X.

Soluţie:

js înlocuitor

Ecuația curbei dată este y²= 12x

Aceasta este o ecuație de parabolă cu a = 3 deci, y²= 4(3)(x)

Graficul pentru zona necesară este prezentat mai jos:

Axa X împarte parabola de mai sus în 2 părți egale. Deci, putem găsi aria din primul cadran și apoi o înmulțim cu 2 pentru a obține aria necesară

Deci, putem găsi zona necesară ca:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 unități mp

Exemplul 2: Calculați aria de sub curba x = y ³ – 9 între punctele y = 3 și y = 4.

Soluţie:

Având în vedere, ecuația curbei este x = y³– 9

Punctele limită sunt (0, 3) și (0, 4)

Deoarece ecuația curbei are forma x = f(y) și punctele sunt, de asemenea, pe axa Y, vom folosi formula,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 unități mp

Exemplul 3: Calculați aria de sub curba y = x ² – 7 între punctele x = 5 și x = 10.

Soluţie:

Având în vedere, curba este y = x²−7 și punctele de limită sunt (5, 0) și (10, 0)

Astfel, aria sub curbă este dată de:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 unități mp

Exemplul 4: Aflați aria cuprinsă de parabola y ² = 4ax și linia x = a în primul cadran.

Soluţie:

Curba și linia dată pot fi trasate după cum urmează:

Acum, ecuația curbei este y²= 4ax

Punctele limită se dovedesc a fi (0, 0) și (a, 0)

Deci aria față de axa X poate fi calculată ca:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Exemplul 5: Aflați aria acoperită de cercul x ² + și ² = 25 în primul cadran.

Soluţie:

Având în vedere, x²+ și²= 25

Curba poate fi trasată astfel:

Zona necesară a fost umbrită în figura de mai sus. Din ecuație putem vedea că raza cercului este de 5 unități.

Ca, x²+ și²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Pentru a găsi zona, vom folosi:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 unități pătrate

Întrebări frecvente despre Area Under Curve

Definiți zona sub o curbă.

Regiunea delimitată de curbă, axă și punctele de limită este denumită zona de sub curbă. Folosind axele de coordonate și formula de integrare, aria de sub curbă a fost determinată ca zonă bidimensională.

Cum se calculează aria sub o curbă?

Există trei metode de a găsi zona sub curbă, și anume:

c# exemplu de cod

• Sume Reimann implică împărțirea curbei în dreptunghiuri mai mici și adăugarea zonelor acestora, numărul de subintervale afectând precizia rezultatului.
• Integrale definite sunt similare cu Sumele Reimann, dar folosesc un număr infinit de subintervale pentru a oferi un rezultat exact.
• Metode de aproximare se folosesc forme geometrice cunoscute pentru a aproxima aria de sub curbă.

Care este diferența dintre o integrală definită și o sumă Reimann?

Diferența cheie dintre o integrală definită și o Sumă Reimann este că o integrală definită reprezintă aria exactă sub o curbă dată, în timp ce o Sumă Reimann reprezintă valoarea aproximativă a ariei, iar acuratețea sumei depinde de dimensiunea partiției aleasă.

Poate zona sub curbă să fie negativă?

Dacă curba este sub axă sau se află în cadranele negative ale axei de coordonate, aria de sub curbă este negativă. Și în acest caz, aria de sub curbă este calculată folosind abordarea convențională, iar soluția este apoi modulată. Chiar și în cazurile în care răspunsul este negativ, se ia în considerare doar valoarea zonei, nu semnul negativ al răspunsului.

Ce reprezintă aria sub curbă în statistici?

Aria sub curbă (ROC) este măsura acurateței unui test de diagnostic cantitativ.

Cum interpretezi semnul zonei sub o curbă?

Semnul ariei arată că aria sub curbă este deasupra axei x sau sub axa x. Dacă aria este pozitivă, atunci aria sub curbă este deasupra axei x, iar dacă este negativă, atunci aria sub curbă este sub axa x.

Cum se aproximează aria sub curbă?

Prin segmentarea regiunii în dreptunghiuri minuscule, aria de sub curbă poate fi estimată aproximativ. Și prin adăugarea zonelor acestor dreptunghiuri, se poate obține aria de sub curbă.