Tipuri de distribuție uniformă

Tipurile de distribuție uniformă sunt:

1. Distribuție uniformă continuă: O distribuție de probabilitate uniformă continuă este o distribuție care are un număr infinit de valori definite într-un interval specificat. Are un grafic de formă dreptunghiulară așa-numita distribuție dreptunghiulară. Lucrează asupra valorilor care sunt de natură continuă. Exemplu: generator de numere aleatorii
2. Distribuție uniformă discretă: O distribuție de probabilitate uniformă discretă este o distribuție care are un număr finit de valori definite într-un interval specificat. Graficul său conține diverse linii verticale pentru fiecare valoare finită. Funcționează pe valori care sunt de natură discretă. Exemplu: se aruncă un zar.

Să discutăm aceste tipuri în detaliu, după cum urmează.

Distribuții uniforme continue sau distribuții dreptunghiulare

Distribuțiile uniforme continue, cunoscute și ca distribuții dreptunghiulare, sunt distribuții de probabilitate în care funcția de densitate a probabilității (PDF) este constantă într-un anumit interval și zero în altă parte. Aceasta înseamnă că toate rezultatele din interval sunt la fel de probabile.

Distribuțiile uniforme continue oferă un cadru simplu, dar puternic pentru înțelegerea și modelarea aleatoriei în intervale definite, făcându-le instrumente esențiale în teoria probabilității și statistica aplicată.

Funcția de densitate a probabilității (PDF)

The funcția de densitate de probabilitate (PDF) a unei distribuții uniforme continue definește probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze într-un anumit interval. Pentru o distribuție uniformă continuă pe intervalul [a, b], PDF este dat de:

f(x) = 1 / (b – a) pentru a ≤ x ≤ b

iar f(x) = 0 în caz contrar.

Funcția de distribuție cumulativă (CDF)

Funcția de distribuție cumulativă (CDF) a unei distribuții uniforme continue oferă probabilitatea ca o variabilă aleatoare să fie mai mică sau egală cu o anumită valoare. Pentru distribuția uniformă continuă pe [a, b], CDF este definită ca:

F(x) = (x – a) / (b – a) pentru a ≤ x ≤ b

și F(x) = 0 pentru x b.

Funcții generatoare

Funcțiile de generare oferă o modalitate de a reprezenta secvențe de numere ca serii de puteri. În teoria probabilității, funcțiile generatoare sunt adesea folosite pentru a manipula secvențe de variabile aleatoare. Ele pot simplifica calculele și pot ajuta la obținerea unor proprietăți importante ale variabilelor aleatoare și ale distribuțiilor.

Distribuție uniformă standard

Distribuția uniformă standard este un caz special al distribuției uniforme continue unde intervalul este [0, 1]. Este utilizat pe scară largă în simulări, generarea de numere aleatoare și diverse aplicații statistice.

Proprietăți ale distribuțiilor uniforme continue

• Densitate de probabilitate egală în interval.
• Funcția de distribuție cumulativă crește liniar în interval.
• Media unei distribuții uniforme continue este punctul de mijloc al intervalului.
• Varianta unei distribuții uniforme continue este [(b – a)²] / 12.

Aplicații ale distribuțiilor uniforme continue

• Modelarea incertitudinii în diverse domenii, cum ar fi inginerie, finanțe și fizică.
• Generarea de numere aleatorii pentru simulări și jocuri.
• Folosit în controlul statistic al calității pentru a modela uniformitatea proceselor de producție.
• În criptografie pentru generarea de chei și crearea de permutări aleatorii.
• Ca o distribuție de bază pentru comparație cu alte distribuții în analiza statistică.

Distribuție uniformă discretă

Distribuția uniformă discretă este a probabilitate distribuție care descrie probabilitatea rezultatelor atunci când fiecare rezultat dintr-un set finit este la fel de probabil. Se caracterizează printr-o funcție de masă cu probabilitate constantă (PMF) pe un interval finit de valori.

Distribuția uniformă discretă servește ca model fundamental în teoria probabilității și statistică, oferind o modalitate simplă, dar eficientă de a descrie incertitudinea în situații în care rezultatele sunt la fel de probabile. Proprietățile și aplicațiile sale se extind în diverse discipline, făcându-l un instrument versatil în analiza datelor și procesele de luare a deciziilor.

Estimarea maximului

În statistici , estimarea maximului se referă la metodele utilizate pentru a estima cea mai mare valoare sau observația maximă dintr-un set de date. Tehnici precum statisticile comenzilor și estimarea probabilității maxime sunt utilizate în mod obișnuit în acest scop.

Permutare aleatorie

O permutare aleatorie este o aranjare aleatorie a unui set de elemente sau elemente. Este adesea folosit în diverse domenii, cum ar fi criptografie, statistică și informatică. Generarea de permutări aleatorii este esențială în algoritmi, simulări și proiecte experimentale.

Proprietăți ale distribuției uniforme discrete

• Fiecare rezultat din spațiul eșantion are o probabilitate egală de apariție.
• Funcția de masă a probabilității (PMF) este constantă în intervalul de rezultate posibile.
• Media unei distribuții uniforme discrete este media valorilor minime și maxime.
• Varianta unei distribuții uniforme discrete este [(n^2 – 1) / 12], unde n este numărul de rezultate posibile.

Aplicații ale distribuției uniforme discrete

• Lansarea de zaruri corecte sau aruncarea de monede corecte, unde fiecare rezultat are o probabilitate egală.
• Modelarea scenariilor în care nu există preferințe sau părtiniri față de un anumit rezultat.
• Eșantionarea fără înlocuire, cum ar fi selectarea de eșantioane aleatoare dintr-o populație finită.
• Generarea de numere aleatorii pentru simulări, metode Monte Carlo și algoritmi randomizați.
• Crearea de permutări aleatorii pentru amestecarea pachetelor de cărți, proiectarea de experimente și aplicații criptografice.

Citeşte mai mult,

• Distribuția Poisson
• Distribuție binomială
• Distributie normala

Exemple de întrebări

Întrebarea 1: O variabilă aleatoare X are o distribuție uniformă peste (-2, 2),

(i) găsiți k pentru care P(X>k) = 1/2 (ii) Evaluați P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

Soluţie:

(i) X =f(x) = 1/(b-a) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

Rezolvând obținem k = 0

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx =(1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X -1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

Întrebarea 2: Dacă X este distribuit uniform în (-1 , 4), atunci

(i) media sa este ______________.