logo

TechCodeview

Formă eșalon de rând

O matrice este în formă de eșalon de rând dacă are următoarele proprietăți:

  • Orice rând format în întregime din zerouri apare în partea de jos a matricei.
  • Pentru fiecare rând care nu conține în întregime zerouri, prima intrare diferită de zero este 1 (numit 1 inițial).
  • Pentru două rânduri succesive (diferice de zero), primul 1 din rândul superior este mai la stânga decât cel din primul rând din rândul de jos.

Pentru forma eșalonului de rând redus, primul 1 al fiecărui rând conține 0 sub și deasupra lui în acea coloană.



Mai jos este un exemplu de formă de rând-eșalon:

egin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 end{bmatrix}

și formă redusă în eșalon de rând:



egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Orice matrice poate fi transformată într-o formă de eșalon de rând redus, folosind o tehnică numită eliminare gaussiană. Acest lucru este util în special pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.

Eliminarea Gaussiană

Eliminarea Gaussiană este o modalitate de a converti o matrice în formă de eșalon de rând redus. Poate fi folosit și ca o modalitate de a găsi o soluție la o soluție a sistemului de ecuații liniare. Ideea din spatele acestui lucru este că efectuăm câteva operații matematice pe rând și continuăm până când rămâne o singură variabilă.



Mai jos sunt câteva operații pe care le putem efectua:

  • Schimbați oricare două rânduri
  • Adăugați două rânduri împreună.
  • Înmulțiți un rând cu o constantă diferită de zero (adică 1/3, -1/5, 2).

Având în vedere următoarea ecuație liniară:

x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

și matricea augmentată de mai sus

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Acum, trebuie să transformăm acest lucru în formă de eșalon de rând. Pentru a converti aceasta în formă de eșalon de rând, trebuie să efectuăm Eliminarea Gaussiană.

  • În primul rând, trebuie să scădem 2*r1din r2și 4*r1din r3pentru a obține 0 pe primul loc al lui r2și r3.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

  • În continuare, vom schimba rândurile, r2 și r3 și după aceea vom scădea 5*r2din r3pentru a obține al doilea 0 în al treilea rând.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

  • Acum, putem deduce valoarea Cu din r3,adică 10 z =0 ⇾ z=0. Cu ajutorul valorii lui z =0, o putem pune la r2, y = 2. În mod similar, putem pune valoarea lui y și z în r1și obținem valoarea x=3

Rangul matricei

Rangul matricei este numărul de rânduri diferite de zero în forma eșalonului de rând. Pentru a găsi rangul, trebuie să parcurgem următorii pași:

  • Găsiți forma rând-eșalon a matricei date
  • Numărați numărul de rânduri diferite de zero.

Să luăm un exemplu de matrice:

egin{bmatrix} 4 și 0 și 1 2 și 0 și 2 3 și 0 și 3 end{bmatrix}

Acum, reducem matricea de mai sus la formă de rând-eșalon

egin{bmatrix} 1 și 0 și frac{1}{4} 0 și 0 și 1 0 și 0 și 0 end{bmatrix}

Aici, doar două rânduri conțin elemente diferite de zero. Prin urmare, rangul matricei este 2.

Implementarea

  • Pentru a converti o matrice într-o formă redusă de eșalon de rând, am folosit pachetul Sympy în python, mai întâi, trebuie să-l instalăm.

python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Ieșire: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>