Permutația și Combinația sunt cele mai fundamentale concepte din matematică și, odată cu aceste concepte, o nouă ramură a matematicii este introdusă studenților, adică combinatoria. Permutarea și Combinația sunt modalitățile de a aranja un grup de obiecte selectându-le într-o anumită ordine și formând subseturile lor.

Pentru a aranja grupuri de date într-o anumită ordine, se folosesc formule de permutare și combinație. Selectarea datelor sau a obiectelor dintr-un anumit grup se spune a fi permutare, în timp ce ordinea în care sunt aranjate se numește combinație.

Permutări și combinații

În acest articol vom studia conceptul de permutare și combinație și formulele acestora, utilizându-le și pentru a rezolva multe probleme de exemplu.

Cuprins

jbutton

• Sens de permutare
• Semnificația combinației
• Derivarea formulelor de permutare și combinație
• Diferența dintre permutare și combinație
• Exemple rezolvate despre permutare și combinație

Sens de permutare

Permutarea reprezintă interpretările distincte ale unui număr furnizat de componente purtate una câte una, sau unele sau toate odată. De exemplu, dacă avem două componente A și B, atunci există două performanțe probabile, AB și BA.

Un număr de permutări atunci când componentele „r” sunt poziționate dintr-un total de componente „n” este ⁿ P _r . De exemplu, fie n = 3 (A, B și C) și r = 2 (Toate permutările de dimensiunea 2). Apoi sunt ³ P ₂ astfel de permutări, care este egal cu 6. Aceste șase permutări sunt AB, AC, BA, BC, CA și CB. Cele șase permutări ale lui A, B și C luate câte trei sunt afișate în imaginea adăugată mai jos:

Sens de permutare

Formula de permutare

Formula de permutare este folosit pentru a găsi numărul de moduri de a alege r lucrurile din n lucruri diferite într-o anumită ordine și înlocuirea nu este permisă și este dată după cum urmează:

Formula de permutare

Explicația formulei de permutare

După cum știm, permutarea este o aranjare a r lucruri din n unde ordinea de aranjare este importantă (AB și BA sunt două permutări diferite). Dacă există trei numere diferite 1, 2 și 3 și dacă cineva este curios să permute numerele care iau 2 la un moment dat, arată (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3). ), (3, 1) și (3, 2). Adică se poate realiza în 6 metode.

Aici, (1, 2) și (2, 1) sunt distincte. Din nou, dacă aceste 3 cifre vor fi puse manevrând toate odată, atunci interpretările vor fi (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1). ), (3, 1, 2) și (3, 2, 1), adică în 6 moduri.

În general, n lucruri distincte pot fi setate luând r (r^thlucru poate fi oricare dintre restul n – (r – 1) lucruri.

Prin urmare, întregul număr de permutări a n lucruri distincte care poartă r la un moment dat este n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)] care este scris caⁿP_r. Sau, cu alte cuvinte,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Semnificația combinației

Sunt secțiunile distincte ale unui număr comun de componente transportate unul câte unul, sau unele sau toate odată. De exemplu, dacă există două componente A și B, atunci există o singură modalitate de a selecta două lucruri, selectați-le pe amândouă.

De exemplu, fie n = 3 (A, B și C) și r = 2 (Toate combinațiile de dimensiune 2). Apoi sunt ³ C ₂ astfel de combinații, care este egal cu 3. Aceste trei combinații sunt AB, AC și BC.

Aici combinaţie dintre oricare două litere din trei litere A, B și C este prezentată mai jos, observăm că, în combinație, ordinea în care sunt luate A și B nu este importantă deoarece AB și BA reprezintă aceeași combinație.

Semnificația combinației

Notă: În același exemplu, avem puncte distincte pentru permutare și combinație. Căci, AB și BA sunt două elemente distincte, adică două permutări distincte, dar pentru selectare, AB și BA sunt aceleași, adică aceeași combinație.

Formula combinată

Formula de combinare este folosită pentru a alege componentele „r” dintr-un număr total de „n” componente și este dată de:

Formula combinată

Folosind formula de mai sus pentru r și (n-r), obținem același rezultat. Prin urmare,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Explicația formulei de combinare

Combinația, pe de altă parte, este un tip de pachet. Din nou, din acele trei numere 1, 2 și 3 dacă se creează mulțimi cu două numere, atunci combinațiile sunt (1, 2), (1, 3) și (2, 3).

Aici, (1, 2) și (2, 1) sunt identice, spre deosebire de permutările în care sunt distincte. Acesta este scris ca³C₂. În general, numărul de combinații de n lucruri distincte luate r la un moment dat este,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Derivarea formulelor de permutare și combinație

Putem deriva aceste formule de permutare și combinație folosind metodele de numărare de bază, deoarece aceste formule reprezintă același lucru. Derivarea acestor formule este următoarea:

Formula de derivare a permutărilor

Permutarea este selectarea a r obiecte distincte din n obiecte fără înlocuire și unde ordinea selecției este importantă, prin teorema fundamentală a numărării și definiția permutației, obținem

P (n, r) = n. (n-1). (n-2). (n-3). . . . .(n-(r+1))

Prin Înmulțirea și Împărțirea de mai sus cu (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, obținem

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Astfel, se derivă formula pentru P (n, r).

Formula de derivare a combinațiilor

Combinația înseamnă alegerea a r articole din n elemente când ordinea selecției nu are importanță. Formula sa se calculează astfel:

C(n, r) = Numărul total de permutări /Numărul de moduri de a aranja r obiecte diferite.
[Deoarece prin teorema fundamentală a numărării, știm acel număr de moduri de a aranja r obiecte diferite în r moduri = r!]

C(n,r) = P (n, r)/ r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Astfel, se derivă formula pentru Combinație, adică C(n, r).

Diferența dintre permutare și combinație

Diferențele dintre permutare și combinație poate fi înțeles prin următorul tabel:

Verificați de asemenea,

• Teorema binomială
• Expansiune binomială
• Variabile aleatoare binomiale
• Teorema fundamentală a numărării

Exemple rezolvate despre permutare și combinație

Exemplul 1: Aflați numărul de permutări și combinații ale lui n = 9 și r = 3 .

Soluţie:

Având în vedere, n = 9, r = 3

Folosind formula de mai sus:

Pentru permutare:

ⁿP_r= (n!) / (n – r)!

⇒ⁿP_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒ⁿP_r= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

orașe din australia

⇒ ⁿ P _r = 504

Pentru combinație:

ⁿC_r= n!/r!(n − r)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(6)!

⇒ⁿC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ⁿ C _r = 84

Exemplul 2: În câte moduri poate fi ales un comitet format din 4 bărbați și 2 femei dintre 6 bărbați și 5 femei?

Soluţie:

Alegeți 4 bărbați din 6 bărbați =⁶C₄căi = 15 căi

cod exemplu de java

Alege 2 femei din 5 femei =⁵C₂căi = 10 căi

Comitetul poate fi ales în⁶C₄×⁵C₂= 150 de moduri.

Exemplul 3: În câte moduri pot fi aranjate 5 cărți diferite pe un raft?

Soluţie:

Aceasta este o problemă de permutare, deoarece ordinea cărților contează.

Folosind formula de permutare, obținem:

⁵P₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Prin urmare, există 120 de moduri de a aranja 5 cărți diferite pe un raft.

Exemplul 4: Câte cuvinte de 3 litere pot fi formate folosind literele din cuvântul FABLE?

Soluţie:

Aceasta este o problemă de permutare, deoarece ordinea literelor contează.

Folosind formula de permutare, obținem:

⁵P₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Prin urmare, există 60 de cuvinte din 3 litere care pot fi formate folosind literele din cuvântul FABLE.

Exemplul 5: Se formează un comitet de 5 membri dintr-un grup de 10 persoane. În câte moduri se poate face acest lucru?

Soluţie:

Aceasta este o problemă de combinație, deoarece ordinea membrilor nu contează.

Folosind formula combinației, obținem:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Prin urmare, există 252 de moduri de a forma un comitet de 5 membri dintr-un grup de 10 persoane.

Exemplul 6: O pizzerie oferă 4 toppinguri diferite pentru pizza. Dacă un client dorește să comande o pizza cu exact 2 toppinguri, în câte moduri se poate face acest lucru?

Soluţie:

Aceasta este o problemă de combinație, deoarece ordinea toppingurilor nu contează.

Folosind formula combinației, obținem:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Prin urmare, există 6 moduri de a comanda o pizza cu exact 2 toppinguri din 4 toppinguri diferite.

Exemplul 7: Cât de considerabile pot fi create cuvinte folosind 2 litere din termenul LOVE?

Soluţie:

matrice de obiecte în java

Termenul IUBIRE are 4 litere distincte.

Prin urmare, numărul necesar de cuvinte =⁴P₂= 4! / (4 – 2)!

Numărul necesar de cuvinte = 4! / 2! = 24 / 2

⇒ Numărul necesar de cuvinte = 12

Exemplul 8: Din 5 consoane și 3 vocale, câte cuvinte din 3 consoane și 2 vocale se pot forma?

Soluţie:

Numărul de moduri de a alege 3 consoane din 5 =⁵C₃

Numărul de moduri de a alege 2 vocale din 3 =³C₂

Numărul de moduri de a alege 3 consoane din 2 și 2 vocale din 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Numărul necesar = 10 × 3

= 30

Înseamnă că putem avea 30 de grupuri în care fiecare grup conține un total de 5 litere (3 consoane și 2 vocale).

Numărul de moduri de aranjare a 5 litere între ele

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Prin urmare, numărul necesar de căi = 30 × 120

⇒ Numărul necesar de căi = 3600

Exemplul 9: Câte combinații diferite obțineți dacă aveți 5 articole și alegeți 4?

Soluţie:

Introduceți numerele date în ecuația combinațiilor și rezolvați. n este numărul de elemente care se află în mulțime (5 în acest exemplu); r este numărul de articole pe care le alegeți (4 în acest exemplu):

C(n, r) = n! /r! (n – r)!

⇒ⁿC_r= 5! / 4! (5 – 4)!

⇒ⁿC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ⁿC_r= 120/24

⇒ⁿC_r= 5

Soluția este 5.

Exemplul 10: Din 6 consoane și 3 vocale, câte expresii din 2 consoane și 1 vocală se pot crea?

Soluţie:

Numărul de moduri de selectare a 2 consoane din 6 =⁶C₂

Numărul de moduri de selectare a 1 vocală din 3 =³C₁

Numărul de moduri de selectare a 3 consoane din 7 și 2 vocale din 4.

⇒ Căi obligatorii =⁶C₂׳C₁

⇒ Căi necesare = 15 × 3

⇒ Căi necesare= 45

Înseamnă că putem avea 45 de grupuri în care fiecare grup conține un total de 3 litere (2 consoane și 1 vocală).

Numărul de moduri de aranjare a 3 litere între ele = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Modalități necesare de aranjare a trei litere = 6

Prin urmare, numărul necesar de căi = 45 × 6

⇒ Căi necesare = 270

Exemplul 11: În câte forme distincte pot fi organizate literele termenului „TELEFON” astfel încât vocalele în mod consecvent vin împreună?

Soluţie:

Cuvântul „TELEFON” are 5 litere. Are vocalele „O”, „E”, iar aceste 2 vocale ar trebui să vină în mod constant împreună. Astfel, aceste două vocale pot fi grupate și privite ca o singură literă. Adică PHN(OE).

Prin urmare, putem lua litere totale precum 4 și toate aceste litere sunt distincte.

Numărul de metode de organizare a acestor litere = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Modalități necesare arrenge literele = 24

Toate cele 2 vocale (OE) sunt distincte.

Numărul de moduri de a aranja aceste vocale între ele = 2! = 2 × 1

⇒ Modalități necesare de aranjare a vocalelor = 2

Prin urmare, numărul necesar de căi = 24 × 2

⇒ Căi necesare = 48.

Întrebări frecvente despre permutări și combinații

Care este formula factorială?

Formula factorială este utilizată pentru calculul permutărilor și combinațiilor. Formula factorială pentru n! este dat ca

n! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

De exemplu, 3! = 3 × 2 × 1 = 6 și 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Ce face ⁿ C _r reprezinta?

ⁿC_rreprezintă numărul de combinaţii din care se pot face n luarea de obiecte r la un moment dat.

Ce înțelegeți prin permutări și combinații?

O permutare este un act de aranjare a lucrurilor într-o anumită ordine. Combinațiile sunt modalitățile de selectare r obiecte dintr-un grup de n obiecte, unde ordinea obiectului ales nu afectează combinația totală.

multithreading în java

Scrie exemple de permutări și combinații.

Numărul de cuvinte din 3 litere care pot fi formate prin utilizarea literelor cuvântului spune, HELLO;⁵P₃= 5!/(5-3)! acesta este un exemplu de permutare.
Numărul de combinații în care putem scrie cuvintele folosind vocalele cuvântului HELLO;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], acesta este un exemplu de combinație.

Scrieți formula pentru găsirea permutărilor și combinațiilor.

• Formula pentru calcularea permutărilor: ⁿ Pr = n!/(n-r)!
• Formula pentru calcularea combinațiilor: ⁿ Cr = n!/[r! (n-r)!]

Scrieți câteva exemple din viața reală de permutări și combinații.

Sortarea persoanelor, numerelor, literelor și culorilor sunt câteva exemple de permutări.
Selectarea meniului, a hainelor și a subiectelor sunt exemple de combinații.

Care este valoarea lui 0!?

Valoarea 0! = 1, este foarte util în rezolvarea problemelor de permutare și combinare.