Funcția obiectivă este obiectivul problemei de programare liniară, așa cum sugerează și numele. În programarea liniară sau optimizarea liniară, folosim diverse tehnici și metode pentru a găsi soluția optimă a problemei liniare cu unele constrângeri. Tehnica poate include, de asemenea, constrângeri de inegalitate. Funcția obiectivă în programarea liniară este de a optimiza pentru a găsi soluția optimă pentru o anumită problemă.

În acest articol, vom afla totul despre funcția obiectivă, inclusiv definiția, tipurile acesteia, cum să formulezi o funcție obiectiv pentru orice problemă dată etc. Vom învăța, de asemenea, diferite reprezentări ale funcțiilor obiective, cum ar fi funcțiile obiective liniare sau obiectivul neliniar. funcții. Deci, să începem să învățăm despre acest concept fundamental în programarea liniară, adică funcția obiectivă.

Ce este funcția obiectivă?

După cum sugerează și numele, funcția obiectiv stabilește practic obiectivul problemei. Se concentrează pe luarea deciziilor bazate pe constrângeri. Este o funcție cu valoare reală care trebuie fie maximizată, fie minimizată în funcție de constrângeri. Este ca o funcție de profit sau pierdere. Este de obicei notat cu Z.

Terminologia asociată cu funcția obiectivă este după cum urmează:

• Constrângeri: Ele sunt practic ecuațiile condiționate care guvernează funcția liniară
• Variabile de decizie: Variabilele ale căror valori sunt de aflat. Ecuațiile sunt rezolvate astfel încât să se obțină valoarea optimă a acestor variabile.
• Regiunea fezabilă: Este regiunea din grafic în care constrângerile sunt satisfăcute și variabilele de decizie se găsesc la colțurile regiunii.
• Soluția optimă: Cea mai bună soluție posibilă care satisface toate constrângerile și atinge obiectivul cel mai înalt sau cel mai scăzut.
• Soluție imposibilă: O soluție care încalcă una sau mai multe constrângeri și nu poate fi implementată sau executată.

Funcția obiectivă în programarea liniară

În programarea liniară, o funcție obiectiv este o funcție liniară care cuprinde două variabile de decizie. Este o funcție liniară care trebuie maximizată sau minimizată în funcție de constrângeri. Dacă a și b sunt constante și x și y sunt variabile de decizie unde x> 0 și y> 0, atunci funcția obiectiv este

Z = ax + by

Deci, pentru a obține valoarea optimă a funcției de optimizare, trebuie mai întâi să rezolvăm constrângerile folosind oricare dintre tehnici și să aflăm variabilele de decizie. Apoi punem valorile variabilelor de decizie în funcția Obiectiv pentru a genera valoarea optimă.

arraylist sortată

Formularea unei funcții obiective

Programarea liniară se referă la găsirea valorilor optime ale variabilelor de decizie și introducerea acestor valori în funcția obiectiv, astfel încât să genereze valoarea maximă sau minimă. Există multe tehnici, cum ar fi Metoda Simplex și Metoda Grafică, pentru a rezolva programarea liniară. Cu toate acestea, metoda grafică este de obicei preferată datorită simplității sale. Pașii pentru a obține valorile optime ale funcției obiectiv sunt următorii:

• Generați ecuațiile de constrângere și funcția obiectiv din problemă.
• Trasează ecuațiile constrângerii pe grafic.
• Acum identificați regiunea fezabilă în care sunt îndeplinite constrângerile.
• Generați valorile variabilelor de decizie care sunt situate la colțurile regiunii fezabile.
• Pune toate valorile generate în funcția obiectiv și generează valoarea optimă.

Tipuri comune de funcții obiective

Există două tipuri de funcții obiective.

• Funcția obiectivă de maximizare
• Funcția obiectiv de minimizare

Să discutăm aceste două tipuri în detaliu, după cum urmează:

Funcția obiectivă de maximizare

În acest tip, ne propunem de obicei să maximizăm funcția obiectiv. Vârfurile care se găsesc după reprezentarea grafică a constrângerilor au tendința de a genera valoarea maximă a funcției obiectiv. Să ilustrăm cu ajutorul unui exemplu

Exemplu: un bărbat investește cel mult 8 ore de timp în fabricarea portofelelor și ghiozdanelor. Investește 2 ore în fabricarea portofelelor și 4 ore în ghiozdane. El își propune să facă cel mult 5 portofele și ghiozdane și vrea să le vândă și să genereze un profit de 20 Rs pe un portofel și 100 Rs pe o ghiozdană. Găsiți funcția obiectiv.

Soluţie:

Fie x numărul de rotis și y numărul de pâine.

Un bărbat poate investi maxim 8 ore investind 2 ore în realizarea unui portofel și 4 ore în realizarea unui ghiozdan. Prin urmare, prima ecuație de constrângere este

2x + 4y ⩽ 8

⇒ x + 2y ⩽ 4

Numărul maxim pe care îl poate face este 5

x+y ⩽ 5

Fie ca funcția obiectiv să fie notată cu Z

Prin urmare, Z = 20x + 100y

Funcția obiectiv de minimizare

În acest tip, ne propunem de obicei să minimizăm funcția obiectiv. Vârfurile care se găsesc după reprezentarea grafică a constrângerilor au tendința de a genera valoarea minimă a funcției obiectiv. Să ilustrăm cu ajutorul unui exemplu

Exemplu: Având în vedere că suma celor două variabile este de cel puțin 20. Se dă o variabilă este mai mare decât egală cu 9. Deduceți funcția obiectiv dacă costul unei variabile este de 2 unități și costul altei variabile este de 9 unități.

Soluţie:

Fie x și y cele două variabile. Se dă ca suma celor două variabile să fie de cel puțin 20.

x+y ⩾ 20

și x ⩾ 9

Peste două inegalități sunt constrângeri pentru următoarea funcție obiectiv.

Fie ca funcția obiectiv să fie notată cu Z. Prin urmare, Z este

Z = 2x + 9y

Reprezentarea matematică a funcției obiective

După cum am discutat despre funcția obiectiv în contextul programării liniare, dar și funcția obiectiv poate fi neliniară.

• Funcții obiective liniare: în acest tip de funcție obiectiv, atât constrângerile, cât și funcțiile obiective sunt de natură liniară. Exponenții variabilelor sunt 1.
• Funcții obiective neliniare: în acest tip de funcție obiectiv, atât constrângerile, cât și funcțiile obiective sunt de natură liniară. Exponenții variabilelor sunt fie 1, fie mai mari decât 1.

Aplicații ale funcțiilor obiective

Funcțiile obiective sunt importante în scenariile din viața reală. De exemplu, aceste funcții sunt folosite de oamenii de afaceri. Oamenii de afaceri îl folosesc pentru a-și maximiza profitul. Funcțiile obiective sunt utile și pentru problemele de transport. Prin configurarea unei funcții, se poate analiza cât de mult se consumă combustibil și modul în care utilizatorul poate reduce în consecință prețurile pentru acesta. Funcțiile obiective sunt utile și în problemele de distanță.

Probleme rezolvate pe funcția obiectivă

Problema 1: O persoană vrea niște curele și portofele. Are economii totale de 6000 Rs și dorește să-și cheltuiască toate economiile pentru achiziționarea de curele și portofele, astfel încât să le poată vinde mai târziu. Valoarea portofelului este de 20 lei, iar valoarea curelei este de 10 lei. Vrea să le depoziteze într-un dulap și capacitatea maximă a dulapului este de 50 de unități. Se așteaptă la un profit de 2 Rs la centură și 3 Rs la portofel. Găsiți constrângerile și funcția obiectiv rezultată.

Soluţie:

Fie x numărul de portofele care trebuie achiziționate și y numărul de curele care trebuie achiziționate. De remarcat, ori de câte ori maxim este menționat în problemă, ar trebui să folosim „⩽” pentru a găsi constrângerile

Investiția maximă este de Rs 6000. Prima ecuație de constrângere este

20x+10y⩽6000

Capacitatea maximă de depozitare a dulapului este de 50

x+y⩽50

Aici funcția profit este practic funcția obiectiv. Fie aceasta notată cu P. Prin urmare funcția profit este

P = 3x + 2y

Problema 2: Identificați ecuațiile de constrângere și funcția obiectiv din mulțimea dată

• 2x + 3y ⩾ 50
• x + y ⩽ 50
• 5x + 4y ⩽ 40
• Z = 7x + 8y

Unde x și y sunt mai mari decât 0.

Soluţie:

Constrângerile pot fi format de inegalitate sau inegalitate. Dar o funcție obiectivă are întotdeauna un simbol de egalitate

Prin urmare, ecuațiile de constrângere sunt

2x + 3y ⩾ 50

x + y ⩽ 50

5x + 4y ⩽ 40

Ecuația obiectivă este Z = 7x + 8y

Problema 3: O femeie investește cel mult 7 ore de timp în a face roti și pâine. Ea investește 2 ore pe rotis și 4 ore pe pâine. Ea își propune să facă cel mult 20 de pâine și roti și vrea să le vândă și să genereze un profit de 2 Rs pe roti și 1 Rs pe pâine. Găsiți funcția obiectiv.

Soluţie:

Fie x numărul de rotis și y numărul de pâine.

O femeie poate investi maxim 7 ore investind 2 ore la prepararea unui roti si 4 ore la prepararea unei paini. Prin urmare, prima ecuație de constrângere este

2x + 4y ⩽ 7

Numărul maxim de pâine și rotișuri pe care le poate face este de 20

x + y ⩽ 20

Fie ca funcția obiectiv să fie notată cu Z

Prin urmare Z = 2x + y.

Problema 4: Compania dorește să producă Produsul A și Produsul B. Produsul A necesită 4 unități de cacao praf și 1 unitate de lapte praf Produsul B necesită 3 unități de cacao pudră și 2 unități de lapte praf. Sunt disponibile 87 de unități de pudră de cacao și 45 de unități de lapte praf. Profitul care trebuie obținut pentru fiecare produs este de 3 USD, respectiv 5 USD. Găsiți funcția obiectiv.

Soluţie:

Fie că x reprezintă numărul de Produs A și y numărul de articole de tip B.

Cantitatea maximă de pudră de cacao este de 87 de unități. Deci prima ecuație de constrângere este

4x + 3y ⩽ 87

Cantitatea maximă de lapte praf disponibilă este de 45 de unități. Deci a doua ecuație de constrângere este

x + 2y ⩽ 45

Aici scopul nostru este de a maximiza profitul. Deci funcția noastră de profit este funcția Obiectiv. Fie notat cu Z

Z = 3x + 5y

Problema 5: Urmează să fie generate două tipuri de pachete de alimente A și B care conțin vitamine. Există cel puțin 45 de unități de pachet alimentar A care trebuie puse la dispoziție și fabricarea ambelor pachete de alimente ar trebui să fie de cel puțin 30. Generați funcția obiectiv care trebuie generată în cazul în care pachetul alimentar A are 6 unități de vitamine și pachetul alimentar B are 8 unități .

Soluţie:

Fie x numărul de pachete de alimente A și y numărul de pachete de alimente B

Vor fi puse la dispoziție cel puțin 45 de pachete cu alimente. Prin urmare, prima ecuație de constrângere este

x ⩾ 45

A doua ecuație de constrângere este

x + y ⩾ 30

Funcția obiectiv este următoarea:

Z = 6x + 8y

Întrebări frecvente despre funcția obiectiv

Î1: Care este funcția obiectivă în problema de programare liniară?

Răspuns:

O funcție obiectiv este o funcție cu valoare reală care trebuie fie maximizată, fie minimizată în funcție de constrângeri. Acesta cuprinde două variabile de decizie.

Î2: Care este scopul funcției de obiectiv?

Răspuns:

Scopul funcției obiectiv este de a maximiza sau de a minimiza valoarea rezultată. Este o ecuație care este exprimată în termeni de variabile de decizie și joacă un rol crucial în programarea liniară.

Î3: Cum înțelegem dacă o funcție trebuie maximizată sau minimizată?

Răspuns:

Pentru a verifica dacă o funcție trebuie să fie maximizată sau nu, ar trebui să fim familiarizați cu termeni precum „cel mult”, „cel puțin”. Dacă termenul „cel puțin” este dat în discuție, atunci funcția obiectiv trebuie redusă la minimum. Pentru termenul „cel mult” funcția ar trebui să fie maximizată.

fcfs

Î4: Numiți tipurile comune de funcții obiective.

Răspuns:

Există două tipuri de funcții obiective:

• Funcția obiectiv de maximizare
• Funcția obiectiv de minimizare

Î5: Care sunt aplicațiile funcției de obiectiv?

Răspuns:

Există diferite aplicații ale funcției Obiectiv. Sunt utile în scenarii din viața reală. Ele sunt utilizate practic pentru a estima profitul sau pierderea în fiecare caz. Funcțiile obiective sunt utile în probleme de transport, probleme de constrângere de timp etc.