Legea probabilității totale este importantă pentru a afla probabilitatea ca un eveniment să se întâmple. Dacă probabilitatea ca un eveniment să se întâmple este cunoscută a fi 1, atunci pentru un eveniment imposibil este probabil să fie 0. O regulă fundamentală în teoria probabilității care este interconectată cu probabilitatea marginală și probabilitate condițională se numește legea probabilității totale sau teorema probabilității totale.
După mai multe evenimente, se știe că probabilitatea tuturor posibilităților ar trebui cunoscută. The teorema probabilității totale este fundamentul de bază al teoremei lui Baye. În acest articol, am discutat concepte importante legate de probabilitatea totală, inclusiv legea probabilității totale , afirmații, dovezi și câteva exemple.
Legea Probabilității Totale
Având în vedere n evenimente care se exclud reciproc A1, A2, …Ak astfel încât suma probabilităților lor este unitatea și uniunea lor este spațiul evenimentelor E, atunci Ai ∩ Aj= NULL, pentru toate I nu sunt egale cu j și
A1 U A2 U ... U Ak = E>
Apoi Teorema probabilității totale sau Legea probabilității totale, este: 
unde B este un eveniment arbitrar și P(B/Ai) este probabilitatea condiționată ca B presupunând că A a avut deja loc.
Teorema Probabilității Totale Demonstrație
Fie A1, A2, …, Ak evenimente disjunctive care formează o partiție a spațiului eșantion și presupunem că P(Ai)> 0, pentru i = 1, 2, 3….k, astfel încât:
A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>
Atunci, pentru orice eveniment B, avem,
B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>
Întrucât intersecția și Unirea sunt Distributive. Prin urmare,
B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>
Deoarece toate aceste partiții sunt disjunctive. Deci avem,
P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>
Aceasta este teorema de adunare a probabilităților pentru o uniune de evenimente disjunctive. Utilizarea probabilității condiționate
P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>
Sau după regula înmulțirii,
P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>
Aici se spune că evenimentele A și B sunt evenimente independente dacă P(B|A) = P(B), unde P(A) nu este egal cu Zero(0),
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>
unde P(B|A) este probabilitatea condiționată care dă probabilitatea de apariție a evenimentului B când evenimentul A a avut deja loc. Prin urmare,
elementele de bază ale seleniului
P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>
Aplicând această regulă de mai sus obținem,
Acesta este legea probabilității totale . Legea probabilității totale este, de asemenea, denumită teorema probabilității totale sau legea alternativelor.
Notă:
Legea probabilității totale este folosită atunci când nu cunoașteți probabilitatea unui eveniment, dar cunoașteți apariția acestuia în mai multe scenarii disjunctive și probabilitatea fiecărui scenariu.
Aplicarea teoremei probabilității totale
Este folosit pentru evaluarea numitorului în teorema lui Bayes . Teorema lui Bayes pentru n mulțime de evenimente este definită ca:
Fie E1, ȘI2,…, ȘInsă fie un set de evenimente asociate cu spațiul eșantion S, în care toate evenimentele E1, ȘI2,…, ȘInau o probabilitate de apariție diferită de zero. Toate evenimentele E1, ȘI2,…, E formează o partiție a lui S. Fie A un eveniment din spațiul S pentru care trebuie să găsim probabilitatea, apoi conform teoremei lui Bayes,
P(E i |A) = P(E i )P(A|E i ) / ∑ P(E k )P(A|E k )
pentru k = 1, 2, 3, …., n
svm
Exemplu
1. Tragem două cărți dintr-un pachet de cărți amestecate cu înlocuitori. Găsiți probabilitatea de a obține a doua carte un rege.
Explicaţie:- Fie, A – reprezintă evenimentul obținerii primei cărți a unui rege. B – reprezintă evenimentul că prima carte nu este un rege. E – reprezintă evenimentul că a doua carte este un rege. Atunci probabilitatea ca a doua carte să fie sau nu rege va fi reprezentată de legea probabilității totale ca:
P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>
Unde, P(E) este probabilitatea ca a doua carte să fie rege, P(A) este probabilitatea ca prima carte să fie rege, P(E|A) este probabilitatea ca a doua carte să fie rege, având în vedere că prima carte este un rege, P(B) este probabilitatea ca prima carte să nu fie rege, P(E|B) este probabilitatea ca a doua carte să fie rege, dar prima carte extrasă să nu fie rege. Conform intrebarii:
P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>
Prin urmare,
P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>
Întrebări frecvente despre Legea probabilității totale
Î.1: La ce folosește probabilitatea totală?
Răspuns:
Legea probabilității totale este utilizată pentru a calcula probabilitatea unui eveniment având în vedere orice număr de evenimente înrudite. Folosind teorema lui Baye pentru a actualiza probabilitatea unei ipoteze, având în vedere noi dovezi.
Î.2: Probabilitatea totală este întotdeauna 1?
Răspuns:
Suma probabilităților tuturor evenimentelor este întotdeauna 1.
Q.3: Probabilitatea totală poate fi mai mare decât 1?
Răspuns:
Nu, probabilitatea totală nu poate fi mai mare de 1.