Regulile de logaritm sau Regulile de log sunt esențiale pentru simplificarea formulărilor complicate care includ funcții logaritmice. Regulile jurnalelor facilitează calcularea și manipularea logaritmilor într-o varietate de aplicații matematice și științifice. Dintre toate aceste reguli de jurnal, trei dintre cele mai comune sunt regula produsului, regula coeficientului și regula puterii. În afară de acestea, avem multe reguli ale logaritmului, pe care le vom discuta în continuare în articol. Acest articol explorează toate regulile pentru loguri, inclusiv derivate și integrale, în detaliu cu exemplele de reguli de logaritm. Deci, să începem să învățăm despre toate regulile pe care le au logaritmii.

Cuprins

• Ce sunt regulile de jurnal?
• Tipuri de logaritm
• Lista regulilor logaritmului
• Reguli de jurnal natural
• Aplicații ale logaritmului
• Regula de produs a logaritmilor
• Regula puterii logaritmului
• Regula coeficientului logaritmilor
• Exemple rezolvate de reguli de jurnal
• Întrebări practice despre regulile de jurnal

Ce sunt regulile de jurnal?

Regulile de logaritm în matematică sunt regulile și legile care sunt utilizate în simplificarea și manipularea expresiilor funcției logaritmice. Aceste principii creează relații între formele exponențiale și logaritmice și oferă o tehnică sistematică pentru a gestiona calculele logaritmice complicate.

Regulile cheie sunt următoarele: regula produsului : care ne permite să împărțim un produs dintr-un logaritm într-o sumă de logaritmi separati; regula coeficientului : care ne permite să împărțim un coeficient dintr-un logaritm într-o diferență de logaritmi; regula puterii: care ne permite să extragem exponenți din interiorul unui logaritm; regula de comutare de bază sau schimbarea regulii de bază : care ne permite să schimbăm baza unui logaritm.

Aceste legi sunt cruciale în multe aplicații matematice și științifice, făcând din logaritmi un instrument valoros pentru rezolvarea ecuațiilor, modelarea creșterii exponențiale și analiza unor cantități mari de date.

Tipuri de logaritm

De obicei avem de-a face cu două tipuri de logaritmi:

• Logaritm comun
• Logaritmul natural

Notă: Poate exista un logaritm cu orice număr real ca bază, dar aceste două, adică logaritmul comun și natural, sunt cele mai comune și standard.

Să discutăm aceste tipuri în detaliu.

Logaritmul comun

Un logaritm obișnuit, adesea cunoscut sub numele de baza logaritmică 10 sau pur și simplu log, este o funcție matematică care reprezintă exponentul la care trebuie crescut un anumit număr pentru a ajunge la un anumit număr. Acesta calculează puterea a zece necesară pentru a obține un anumit număr.

De exemplu, log₁₀(100) este egal cu 2, deoarece 10 ridicat la puterea lui 2 este egal cu 100. Logaritmul comun al lui 100 în acest caz este 2, arătând că 10²= 100. Logaritmii obișnuiți sunt utilizați în multe sectoare, inclusiv știință, inginerie și finanțe, pentru a simplifica reprezentările de numere uriașe și pentru a ajuta la calculele care necesită puteri de 10.

Logaritmul natural

Logaritmul natural este o funcție matematică care exprimă logaritmul la baza „e” (numărul lui Euler, aproximativ 2,71828). Este inversul funcției exponențiale și reprezintă timpul necesar pentru ca o mărime să crească sau să scadă cu un factor constant.

De exemplu, ln (10) ≈ 2,30259 înseamnă că e înmulțit cu 2,30259 este egal cu 10. Logaritmul natural este folosit în multe domenii, inclusiv matematică, fizică și finanțe, pentru a descrie fenomene care prezintă creștere sau decădere exponențială, cum ar fi expansiunea populației, dezintegrarea radioactivă și calculele de interes compus.

Ce sunt regulile logaritmului?

Operațiile logaritmice pot fi efectuate conform unor reguli specifice. Aceste reguli sunt cunoscute ca:

• Regula produsului
• Regula coeficientului
• Regula zero
• Regula de identitate
• Regula puterii sau regula exponențială
• Schimbarea regulii de bază
• Regula reciprocă

În afară de aceste reguli comune, putem avea și câteva reguli neobișnuite, cum ar fi:

• Proprietatea inversă a logaritmului
• Derivată din Log
• Integrarea Log

Regula de produs a jurnalului

Conform regulii produsului, logaritmul unui produs este suma logaritmilor elementelor sale.

Formulă: Buturuga_A(XY) = log_AX + log_AȘI

Exemplu: Buturuga₂(3 × 5) = log₂(3) + log₂(5)

Regula coeficientului de jurnal

Regula coeficientului afirmă că logaritmul unui cot este egal cu diferența dintre logaritmii numărătorului și numitorului.

Formulă: Buturuga_A(X/Y) = log_AX – jurnal_AȘI

Exemplu: Buturuga₃(9 / 3) = log₃(9) – jurnal₃(3)

Regula zero a jurnalului

Conform regulii zero, logaritmul lui 1 la orice bază este întotdeauna 0.

Formulă: Buturuga_A(1) = 0

Exemplu: Buturuga₄(1) = 0

Regula de identitate a jurnalului

Conform regulii de identitate, logaritmul unei baze față de sine este întotdeauna 1.

Formulă: Buturuga_A(a) = 1

Exemplu: Buturuga₇(7) = 1

Regula reciprocă

Conform regulii reciproce a logaritmilor, logaritmul reciprocei unui număr (1 împărțit la acel număr) este egal cu negativul logaritmului numărului inițial. În notație matematică:

Formula: Buturuga_A(1/X) = – log_A(X)

Exemplu: Buturuga_A(1/2) = – log_A(2)

Regula de putere sau regula exponențială a jurnalului

Conform regulii puterii, logaritmul unui număr ridicat la un exponent este egal cu exponentul înmulțit cu logaritmul bazei.

Formulă: Buturuga_A(Xⁿ) = n × log_AX

Exemplu: Buturuga₅(9²) = 2 × log₅(9)

Schimbarea regulii de bază a jurnalului

Regula de schimbare a bazei vă permite să calculați logaritmul unui număr într-o bază diferită folosind un logaritm comun (de obicei baza 10 sau baza e). Schimbarea regulii de bază se mai numește Regula comutatorului de bază.

Formulă: Buturuga_A(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Exemplu: Buturuga₃(7) = log₁₀(7) / jurnal₁₀(3)

Proprietatea inversă a logaritmului

Proprietatea inversă a logaritmului afirmă că prin calcularea logaritmului unei valori exponențiate se obține exponentul original.

Formulă: Buturuga_A(aⁿ) = n

Exemplu: log₄(4²) = 2

Derivată din Log

Derivata logaritmului natural al unei funcții este reciproca funcției înmulțită cu derivata funcției.

Formulă: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Exemplu: Dacă y = ln(x²), atunci dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integrarea Log

În afară de diferențiere, putem calcula și integrala logaritmului. Integrala funcției Log este dată după cum urmează:

Formulă: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Reguli de jurnal natural

Deoarece buștenii naturali și comuni, ambii bușteni au doar o diferență de bază, astfel regulile pentru buștenii naturali sunt aceleași cu buștenii comune, care sunt deja discutate. Singura diferență este că în regulile logului natural, în loc de log (simbol al jurnalului comun cu baza 10) folosim ln (simbol pentru baza logului natural e). Aceste reguli pot fi formulate după cum urmează:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• în mⁿ= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• Este^{ln x}= x

Aplicații ale logaritmului

Să ne uităm la unele dintre aplicațiile log.

• Utilizăm logaritmi pentru a calcula aciditatea și alcalinitatea soluțiilor chimice.
• Scala Richter este folosită pentru a calcula intensitatea cutremurului.
• Cantitatea de zgomot este măsurată în decibeli (dB) pe o scară logaritmică.
• Logaritmii sunt utilizați pentru a analiza procese exponențiale, cum ar fi dezintegrarea izotopilor activi, dezvoltarea bacteriilor, răspândirea unei epidemii într-o populație și răcirea unui cadavru mort.
• Un logaritm este utilizat pentru a calcula timpul de rambursare a unui împrumut.
• Logaritmul este folosit în calcul pentru a diferenția ecuațiile dificile și pentru a calcula aria sub curbe.

Regula de produs a logaritmilor

Conform regulii produsului pentru logaritmi, logaritmul înmulțirii a doi termeni este același cu adăugarea logaritmilor acelor termeni individuali. Cu alte cuvinte, această regulă este exprimată ca log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n). Să trecem la derivarea acestei reguli.

Procesul de derivare:

Să începem prin a presupune log_b(m) = x și log_b(n) = y. Convertind ambele în formele lor exponențiale, obținem:

Buturuga_b(m) = x implică m = b^X… (1)

Buturuga_b(n) = y implică n = b^și… (2)

Când înmulțim ecuațiile (1) și (2) împreună,

mn = b^{X .}b^și

Folosind regulile de înmulțire a exponenților,

mn = b^{x + y}

Conversia înapoi în formă logaritmică are randamente,

Buturuga_b(mn) = x + y

Prin înlocuirea înapoi cu x și y,

Buturuga_b(mn) = log_b(m) + log_b(n)

Astfel, am derivat regula produsului a logaritmilor. Această regulă poate fi utilizată în diferite moduri, cum ar fi:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Este important de reținut că regula produsului pentru logaritmi nu se aplică logului (m + n), care nu poate fi împărțit în logaritmi separati. Această regulă se referă strict la logaritmul unui produs, log(mn).

Regula puterii logaritmului

Regula puterii logaritmului spune că atunci când argumentul unui logaritm este ridicat la o putere, acel exponent poate fi mutat în fața logaritmului. Cu alte cuvinte, logb mn = n logb m. Să explorăm derivarea acestei reguli.

Procesul de derivare:

Începe prin a presupune log_bm este egal cu x. Conversia acesteia în forma sa exponențială ne dă:

b^X= m

Apoi, ridicați ambele părți la puterea lui n, rezultând:

actualizare din join sql

(b^X)ⁿ= mⁿ

Aplicând regula puterii exponentului rezultă:

b^nx= mⁿ

Convertind înapoi la forma logaritmică, obținem:

Buturuga_bmⁿ= nx

Prin înlocuirea x cu log_bm, ajungem la:

Buturuga_bmⁿ= n log_bm

Aceasta încheie derivarea regulii puterii logaritmului. Mai jos sunt câteva exemple despre cum se aplică această regulă:

bash dacă altceva

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Regula coeficientului logaritmilor

Conform regulii coeficientului pentru logaritmi, logaritmul unei diviziuni între două numere este scăderea logaritmilor fiecărui număr.

Mai exact, regula prevede că jurnalul_b(m/n) = log_bm – buștean_bn. Să trecem la derivarea acestei reguli.

Procesul de derivare:

Să presupunem că log_bm este egal cu x și log_bn este egal cu y. Le vom exprima în formele lor exponențiale.

Buturuga_bm = x implică m = b^X… (1)

Buturuga_bn = y implică n = b^și… (2)

Când împărțim ecuația (1) la ecuația (2),

m/n = b^X/ b^și

Aplicând regula coeficientului pentru exponenți,

m/n = b^{X y}

Convertirea înapoi în formă logaritmică,

Buturuga_b(m/n) = x – y

Prin înlocuirea înapoi cu x și y,

Buturuga_b(m/n) = log_bm – jurnal_bn

Astfel, am derivat regula coeficientului pentru logaritmi. Această regulă poate fi utilizată după cum urmează:

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Este important de reținut că regula coeficientului nu implică nimic pentru log (m – n).

Subiecte asemănătoare:

• Tabel antilog
• Calculator de jurnal
• Jurnal natural
• Tabel de jurnal

Exemple rezolvate de reguli de jurnal

Exemplul 1: Simplificați jurnalul ₂ (4 × 8).

Soluţie:

Folosind regula produsului, împărțim produsul într-o sumă de logaritmi:

Buturuga₂(4 × 8) = log₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5.

Exemplul 2: Simplificați jurnalul ₄ (16/2).

Soluţie:

Folosind regula coeficientului, împărțim coeficientul într-o diferență de logaritmi:

Buturuga₄(16 / 2) = log₄(16) – jurnal₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Exemplul 3: Simplificați jurnalul ₅ (25 ³ ).

Soluţie:

Folosind regula puterii, putem reduce exponentul ca coeficient:

Buturuga₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 × 2 = 6.

Exemplul 4: Conversie jurnal ₃ (7) într-o expresie cu baza 10.

Soluţie:

Folosind regula comutatorului de bază, împărțim la logaritmul noii baze:

Buturuga₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Exemplul 5: Evaluați jurnalul ₇ (49) folosind modificarea regulii de bază cu baza 2.

Soluţie:

Folosind modificarea regulii de bază cu baza 2:

Buturuga₇(49) = log₂(49) / log₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (aprox).

Întrebări practice despre regulile de jurnal

Problema 1: Simplificați expresia: log₂(4) + log₂(8).

Problema 2: Simplificare: log₅(25) – jurnal₅(5).

Problema 3: Simplificați expresia: log₃(9²).

Problema 4: Jurnal expres₄(25) în termeni de logaritmi comuni.

Problema 5: Simplificați folosind Reguli de jurnal: log₇(49) + 2 log₇(3).

Problema 6: Rezolvați pentru x: log₂(x) = 3.

Problema 7: Rezolvați pentru x: 2^{3x – 1}= 8.

Reguli de jurnal – Întrebări frecvente

Ce sunt regulile logaritmului?

Regulile logaritmice sunt o colecție de recomandări pentru manipularea și simplificarea formulelor folosind funcții logaritmice. Ele oferă o metodă sistematică pentru a face față calculelor complicate și interacțiunilor dintre exponențiale și logaritmi.

Câte reguli de logaritm cheie există?

Regula produsului, regula coeficientului, regula puterii, regula comutatorului de bază și regula de schimbare a bazei sunt toate regulile majore de logaritm. Aceste principii permit modificări și calcule ale expresiei logaritmice.

Ce este regula produsului logaritmic?

Conform regulii produsului, logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor factorilor individuali: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Care sunt două tipuri de logaritmi?

Cele mai utilizate două tipuri de logaritmi sunt:

• Logaritm comun sau logaritm de bază 10
• Logaritmul natural sau logaritmul de bază

Ce este regula jurnalului pentru schimbarea bazei?

Conform modificării regulii de bază a jurnalului, jurnal_A(b)=[log_c(b)]/[log_c(a)], unde c este orice număr real pozitiv.

Ce este Log 0?

Logaritmul lui zero este necunoscut. Nu dobândim niciodată numărul 0 ridicând orice valoare la puterea oricărei alte valori.

Ce este Log 1?

Din cauza regulii zero, logaritmul lui 1 la orice bază este întotdeauna 0, adică log_A(1) = 0.

Ce este logaritmul oricărui număr pentru sine ca bază?

Conform regulii de identitate, logaritmul unei baze față de sine este întotdeauna 1, adică log_A(a) = 1.

Care este relația dintre logaritmi și exponențiali?

Logaritmii și exponențialele sunt operații inverse. Un logaritm vă spune exponentul necesar pentru a ajunge la un anumit număr, în timp ce un exponențial ridică o bază la un exponent.

Care sunt cele 7 reguli ale logaritmilor?

Cele 7 reguli ale logaritmilor includ

• Regula produsului
• Regula coeficientului
• Regula puterii
• Schimbarea regulilor de bază
• Regula zero
• Regula de identitate
• Regula negativă

Aceste reguli sunt folosite pentru simplificarea expresiilor logaritmice.

Ce este regula exponentului jurnalului?

Regula exponentului logaritmic spune că baza logaritmică b a lui a^Xeste egal cu x ori baza log b a a, adică log_bA^X= x log_bA.

Care este diferența cheie dintre jurnalul comun și jurnalul natural?

Diferența cheie dintre logul comun și cel natural este că bustenii obișnuiți folosesc baza 10, în timp ce bustenii naturali folosesc constanta matematică „e” ca bază.

Care este regula derivată pentru jurnal?

Regula derivată pentru funcțiile log este: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), unde „b” este baza logaritmului.

Ce este regula de comutare de bază?

Conform regulii de comutare a bazei, baza oricărui logaritm poate fi schimbată la orice altă bază dorită folosind formula: loga(X) = logb(X) / logb(a).